考研数二笔记

满满知识点，考研数二笔记思维导图分享！ 第二章导数与微分知识回顾总结笔记图示，里面讲解了导数与微分的基本概念、求导公式与法则和隐函数与参数方程求导的知识点。可以让你更便捷的去学习和复习理解。建议收藏学习。

高 等 数 学 （仅适用于考研数学二）

第一章 函数 极限 连续

函数

函数的概念

定义

设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于每个数x∈D，变量x按照一定的法则总有一个确定的数值y和它对应，则称y是x的函数，记为y=f（x），x∈D 其中x称为自变量，y称为因变量，D称为函数的定义域，记为Df，即Df=D。函数值f（x）的全体所构成的集合称为函数f的值域，记为Rf或分（D），即Rf=f(D)={yIy=f（x），x∈D}

函数两个基本要素：定义域 对应规则

常见函数

复合函数

定义域为空集则无法复合

反函数

概念：反函数是对一个给定函数做逆运算的函数，一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x) 。反函数存在的条件为原函数的函数关系必须是一一对应的（不一定是整个数域内的），它的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域。

性质

（1）函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称； 函数及其反函数的图形关于直线y=x对称

（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；

3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

（5）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性

（6）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；

（7）反函数是相互的且具有唯一性；

（8）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；

9）反函数的导数关系：如果x=f(y)在开区间I上严格单调，可导，且f'(y)≠0，那么它的反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I }内也可导，且：

10）y=x的反函数是它本身。

值域是否有唯一的x，是则有反函数

单调函数一定有反函数，反之不然

找出x=y的表达式，然后交换xy的位置

基本初等函数

幂函数

x在底数位置，大

求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂

幂函数知识总结

定义

图像

性质

指数函数

x在指数位置，小

对数函数

概要

高中数学幂函数、指数函数、对数函数知识点总结

三角函数

反三角函数

三角函数及反三角函数图像性质、知识点总

初等函数

由常数和基本初等函数经过 有限次四则运算 和 有限次的函数复合 所构成并可用一个式子表达的函数

符号函数

取整函数

设x为任意实数，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记为[x].函数y=[x]称为取整函数。

取整函数的基本不等式:x-1<[x]≤x.[

函数的性质

单调性

概念

一般地,设函数f(x)的定义域为I： 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2).那么就说f(x)在 这个区间上是增函数. 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数.

利用单调性的定义和一阶导数的正负进行判断

奇偶性

概念

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x）=f(x)，那么函数f(x)就叫偶函数。一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x），那么函数f(x)就叫奇函数。”

奇 + 奇 = 奇

偶 + 偶 = 偶

奇 x 奇 = 偶

偶 x 偶 = 偶

奇 x 偶 = 奇

周期性

概念

子主题

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．

有界性

概念

设函数f(x)的定义域为D，f（x）集合D上有定义。 如果存在数K1，使得 |f(x)|≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在X上有上界。 反之，如果存在数字K2，使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。 如果存在正数M，使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立，则称函数在X上有界。如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界；等价于，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界。

极限

极限的概念

数列的极限

概念

设函数f(x)的定义域为D，f（x）集合D上有定义。 如果存在数K1，使得 |f(x)|≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在X上有上界。 反之，如果存在数字K2，使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。 如果存在正数M，使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立，则称函数在X上有界。如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界；等价于，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界。

数列的极限值等于多少 与 数列的前有限项 无关

函数的极限

自变量趋于无穷大时

定理：函数极限存在的充要条件是：x→-∞和x→+∞的函数极限都存在且相等

自变量趋于有限值时

定理：函数极限存在的充要条件是：x→x0时左极限和右极限都存在且相等

需要分左右极限的常见题型

分段函数在分界点处的极限，在分界点两侧函数表达式不同，也包括带绝对值函数

e的∞次方 型极限

arctan∞ 型极限

arctanx 值域为(-π/2, π/2)

极限的性质

有界性

对于数列

数列收敛，则数列一定有界。反之不成立，反例为-1的n次方，有界但发散

对于函数

若在x=x0处函数极限存在，则函数在x0某去心邻域有界，即局部有界。反之不成立，反例为sin1/x，该函数在x=0去心邻域有界，但x=0处极限不存在

保号性

对于数列

对于函数

极限值与无穷小之间的关系

函数的极限=A 可推出 函数=A+无穷小

极限的存在准则

夹逼准则：比较多用在n项和的数列极限，函数极限也有用到

内容：x ≤ y ≤ z，且limx=limz=a，则limy=a

单调有界准则：比较多用在递推关系Xn+1 = f(Xn)所定义的数列极限，函数极限也有用到

内容：单调有界数列必有极限

无穷小量

无穷小量的概念

函数极限为零，则称函数为x→x0时的无穷小量

无穷小的比较

高阶

lim α/β = 0，记为：α=o(β)，称α是β的高阶无穷小量，含义为在某一过程中α→0比β→0快

低阶

lim α/β = ∞，称α是β的低阶无穷小量，含义为在某一过程中α→0比β→0慢

同阶

lim α/β = C ≠ 0

等价

lim α/β = 1，记为：α ~ β

无穷小的阶

lim α / (β的k次方) = C ≠ 0，称α是β的k阶无穷小量

无穷小的性质

有限个无穷小的和仍是无穷小

有限个无穷小的积仍是无穷小

无穷小量与有界量的积仍是无穷小

无穷大量

无穷大量的概念

当x→x0时函数趋向于无穷，则称函数为x→x0时的无穷大量

常用的无穷大量比较

条件：x →+∞时，α>0, β>0, a>1

结论：(lnx)的α次方 << x的β次方 << a的x次方

可用洛必达法则证明，个人理解即反映对数函数、幂函数、指数函数变化速度快慢

条件：n → ∞时，α>0, β>0, a>1

结论：(ln n)的α次方 << n的β次方 << a的n次方 << n！<< n的n次方

无穷大量的性质

两个无穷大量的积仍为无穷大量

无穷大量与有界变量之和仍为无穷大量

无穷大量与无界变量的关系

无穷大量必为无界变量，而无界变量不一定是无穷大量

无穷大量与无穷小量的关系

在同一极限过程中，如果f(x)是无穷大，则1/f(x)是无穷小；反之同理

f(x)≡0，是x→x0时的无穷小量，但1/f(x)无意义，所以不是无穷大量

连续

连续性的概念

定义1：设函数在点x0的某邻域内有定义，若x→x0时函数极限等于x0点极限，则称函数在点x0处连续

定义2：若x→x0-时函数极限等于x0点极限，则称函数在点x0处左连续

定义3：若x→x0+时函数极限等于x0点极限，则称函数在点x0处右连续

定理：函数在点x0处连续的充要条件是函数在x0点处既左连续又右连续

定义4：如若函数在区间(a,b)内每点都连续，则称函数在(a,b)内连续

定义5：若函数在区间(a,b)内连续，在x=a处左连续，在x=b处右连续，则称函数在[a,b]上连续

间断点及其分类

间断点的定义

若函数在x0某去心邻域内有定义，但在x0处不连续，则称x0为函数的间断点

间断点的分类

第一类间断点：函数在x=0处无定义，且左、右极限都存在

可去间断点：左、右极限都存在且相等

跳跃间断点：左、右极限都存在但不相等

第二类间断点：函数在x=0处无定义，且左、右极限至少有一个不存在

无穷间断点：函数中x→x0点的左边时，函数极限 = ∞ 或 x→x0点右边函数极限 = ∞

震荡间断点：函数在x=0处无定义，且左、右极限都不存在。例如sin1/x，点x=0为函数震荡间断点，这是由于当x→0时，函数值在-1与1之间无穷多次震荡造成的

连续性的运算与性质

定理1：四则运算。若函数f(x)和函数g(x)在点x0处连续，则f±g、f·g、f/g (g≠0)在点x0处也连续

定理2：复合函数。若函数 u=φ(x) 在点 x=x0 处连续，且 φ(x0)=u0，而函数 y=f(u) 在点u=u0 处连续，则复合函数 y=f[ φ(x) ] 在点 x=x0 处也连续

定理3：基本初等函数在其定义域内都是连续的

定理4：初等函数在其定义区间内都是连续的

注：定义区间，是指包含在定义域内的区间

闭区间上连续函数的性质

最值定理：设f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值

有界性定理：设f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有界

介值定理：设f(x)在闭区间[a,b]上连续，且 f(a)≠f(b)，则对于任意介于f(a)与f(b)之间的数C，至少存在一点 ξ∈(a,b)，使 f(ξ)=C

介值定理推论：若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可取到介于最小值m与最大值M之间的任何值

零点定理：设f(x)在闭区间[a,b]上连续，且 f(a) · f(b)＜0，则至少存在一点 ξ∈(a,b)，使 f(ξ)=0

第二章 导数与微分

导数与微分的概念

导数的概念

定义：导数。若函数在x0的某邻域内有定义，如果极限存在，则称函数在点x0处可导，并称此极限值为函数在点x0处的导数；如果上述极限不存在，则称函数在点x0不可导

定义：左导数。若函数在x0的某邻域及其某左邻域内有定义，如果左极限存在，则称该极限值为函数在点x0处的左导数

定义：右导数。若函数在x0的某邻域及其某右邻域内有定义，如果右极限存在，则称该极限值为函数在点x0处的右导数

定理：函数在点x0处可导的充分必要条件是它在该点处左导数与右导数都存在且相等

定义：区间上可导及导函数。若函数在开区间(a,b)内每一点都可导，则称函数在区间(a,b)内可导。此时对于(a,b)区间内的每一点x，都对应一个导数值 f'(x)，称其为函数在(a,b)区间内的导函数，简称为导数。若函数在区间(a,b)内可导，且a点右导数和b点左导数都存在，则称函数在区间[a,b]上可导

手动添加：复合函数可导性 同 复合函数连续性

微分的概念

定义：微分。若函数在点x0的某一邻域内有定义，如果函数的增量△y = f(x0+△x) - f(x0)，可以表示为：△y = A·△x + o(△x) (△→0)其中A为不依赖于△x的常数，则称函数在点x0处可微，称A·△x为函数在点x0处相应于自变量增量△x的微分，记为dy = A·△x

定理：“函数在点x0处可微”的充分必要条件是“函数在点x0处可导”，且有：dy = f'(x0)·△x = f'(x0)·dx，在点x处，常记 dy = f'(x)·dx

导数与微分的几何意义

导数的几何意义

导数在几何上表示切线的斜率

若曲线函数f(x)在点x0处可导，则曲线y在点( x0, f(xo) )处必有切线，切线方程为：y - f(xo) = f'(xo)·(x-x0)

若f'(xo)≠0，则曲线f(x)在点( x0, f(xo) )处的法线方程为：y - f(xo) = -1/f'(xo)·(x-x0)

若f'(xo)=0，则曲线f(x)在点( x0, f(xo) )处的切线方程为：y = f(xo)，即该曲线有水平切线

【注】若函数在点x0处可导，则曲线在该点处有切线，反之不然。例如：y=x^(1/3)在点(0,0)处有水平切线x=0，但函数在0点不可导（无左极限，f'(0) = ∞）

微分的几何意义

微分在几何上表示曲线 y=f(x) 的切线上的增量（即小三角的竖边）

△y = f(x0+△x) - f(x0) 在几何上表示曲线 y=f(x) 上的增量

△y ≈ dy

一元函数连续、可导、可微之间的关系

连续不一定可导，可导一定连续（记忆：可导老大）

连续不一定可微，可微一定连续（记忆：可微老大）

可导一定可微，可微一定可导（记忆：可导可微，平起平坐，三者对比，连续最弱）

导数公式及求导法则

基本初等函数的导数公式

......

求导法则

有理运算法则

(u±v)'

(u·v)'

(u/v)' (v≠0)

复合函数求导法

y = f(u)，u = φ(x) 复合求导y=f(φ(x)) = f'(u)·φ'(x)

隐函数求导法

若y=y(x)是由方程F(x,y)=0所确定的可导函数，为求得y'，可在方程F(x,y)=0两边对x求导，可得到一个含有y'的方程，从中解出y'即可

【注】y' 也可由多元函数微分法中的隐函数求导公式 dy / dx = - F'x / F'y 得到，使用时，需要变换为 XXX+XXX-X/X... = 0 的形式

反函数的导数

若函数在某区间内可导，且f'(x)≠0，则其反函数 x=φ(y) 在对应区间内也可导，且 φ'(y) = 1/f'(x)，即 dx/dy = 1/ (dy/dx)

记忆：原函数的导数 x 反函数的导数 = 1

参数方程求导法

若函数是由参数方程x=φ(t)、y=ψ(t)确定的函数，则：

一阶情况：若φ(t)、ψ(t)都可导，且φ'(t)≠0，则dy / dx = ψ'(t) / φ'(t)

二阶情况：若φ(t)、ψ(t)二阶可导，且φ'(t)≠0，则 d平方y / dx的平方 = [ d(dy/dx) / dt ] / (dx/dt)

对数求导法

若y=y(x)的表达式由多个因式的乘除、乘幂构成，或是幂指函数的形式，则可先将函数取对数，然后两边对x求导

高阶导数

高阶导数的概念

定义：高阶导数。若y'=f'(x)作为x的函数在点x可导，则称y'的导数为y=f(x)的二阶导数，记为y''，或 d平方y / dx的平方

同理，n阶导数也适用该定义。若函数在点x处n阶可导，则在点x的某邻域内函数必定具有一切低于n阶的导数

常用的高阶导数公式

(sinx)^(n) = sin(x + n·π/2)

(cosx)^(n) = cos(x + n·π/2)

(u±v)^(n) = u^(n) ± v^(n)

(u·v)^(n) = ∑ [ Cnk u^(k) · v^(n-k) ]

第三章 微分中值定理及导数应用

微分中值定理

费马定理：设函数在点x0处可导，若函数在点x0处取得极值，那么该点导数为0

罗尔定理：若函数满足三个条件，

1. 在闭区间[a, b]上连续

2. 在开区间(a, b)内可导

3. 两端函数值 f(a) = f(b)

则在(a, b)内至少存在一点 ξ，使 f'(ξ) = 0

拉格朗日中值定理：若函数满足两个条件，

1. 在闭区间[a, b]上连续

2. 在开区间(a, b)内可导

则在(a, b)内至少存在一点 ξ，使 f(b) - f(a) = f'(ξ)·(b-a)

推论：若在(a, b)内恒有f'(x) = 0，则在(a, b)内f(x)为常数

柯西中值定理

如果f(x)、F(x)满足条件两个条件，

1. 在闭区间[a, b]上连续

2. 在开区间(a, b)内可导，且F'(x)在(a, b)内每一点处均不为0

则在(a, b)内至少存在一点 ξ，使 f(b)-f(a) / F(b)-F(a) = f'(ξ) / F'(ξ)

皮亚诺型余项泰勒公式/定理

若函数在点x0有直至n阶的导数，则有......，最后的无穷小尾巴 Rn(x) = o(x - x0)^n 称为皮亚诺型余项。其中当x0 = 0时，则得到麦克劳林公式：......

拉格朗日型余项泰勒公式/定理

设函数在含有x0的开区间(a, b)内有 n+1 阶导数，则当 x∈(a, b)时，有......与皮亚诺余项的区别在于，小尾巴Rn变成了一项关于 n+1 阶的描述，在此描述中，将分子f^(n+1)后的x0换为 ξ，即对 ξ 取n+1阶导数，其他不变，这里 ξ 介于x0与x之间，变更后的小尾巴称为拉格朗日型余项

导数应用

函数的单调性

定理：设函数在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，若在开区间内导数 > 0，则在闭区间内单调增；若在开区间内导数 < 0，则在闭区间内单调减

函数的极值

定义：设函数在x0的某邻域内有定义，若对于该邻域内任何x，恒有函数值不超过或不低于x0点处函数值，则称x=x0为函数的一个极大/极小值点，其对应的函数值为极值，导数为零的点称为函数的驻点

定理：极值的必要条件。设函数在点x0处可导，若x0为函数的极值点，则f'(xo) = 0

定理：极值的第一充分条件。设函数在点x0的某去心邻域内可导，且f'(xo) = 0 或 函数在x0处连续，则：

若x<x0, 函数单调增；x>x0, 函数单调减；则x0为极大值点

若x<x0, 函数单调减；x>x0, 函数单调增；则x0为极小值点

若函数导数在x0两侧同号，则x0不为函数的极值点

定理：极值的第二充分条件。设函数在点x0处二阶可导，且f'(xo) = 0，则：

若f''(x0) < 0，则x0为函数极大值点

若f''(x0) > 0，则x0为函数极小值点

若f''(x0) = 0，则此方法不能判定x0是否为极值点

函数的最大值与最小值

定义：函数在闭区间上有定义，对于此区间任意x恒有小于（或大于）x0处函数值，则称x0点函数值为函数在闭区间上的最大值（或最小值），称x0为函数在闭区间上的最大（最小值）点

函数的最值问题

连续函数在闭区间[a, b]上的最大最小值

第一步，求出函数在开区间(a, b)内的驻点和不可导的点

第二步，求出函数在不可导的点和区间端点a, b处函数值

第三步，比较以上各点函数值，找出最大或最小，即为闭区间内函数的最大值或最小值

【注】当连续函数在闭区间内仅有唯一极值点，若在该点处取极大或极小值，则它也称为该函数的最大值或最小值

最大最小值的应用题

首先建立目标函数并确定定义域，而后同上解得

曲线的凹凸性

定义：设函数在区间上连续，若对区间上任意两点x1, x2恒有：

f[ (x1+x2) / 2 ] < [ f(x1)+f(x2) ] / 2 ，则称函数在区间上的图形是凹的

f[ (x1+x2) / 2 ] > [ f(x1)+f(x2) ] / 2 ，则称函数在区间上的图形是凸的

定理：设函数在闭区间上连续，在开区间内二阶可导，则：

若在开区间内有f''(x) > 0, （原函数斜率递增），则函数在区间上的图形是凹的

若在开区间内有f''(x) < 0, （原函数斜率递减），则函数在区间上的图形是凸的

定义：拐点。连续曲线弧上的凹与凸的分界点称为曲线弧的拐点

定理：拐点的必要条件。设函数在点x0处二阶可导，且点( x0, f(xo) )为函数曲线的拐点，则f''(x0) = 0

定理：拐点的第一充分条件。设函数在点x0的某去心邻域内二阶可导，且f''(x0) = 0（或函数在x0处连续），则：

若f''(x)在x0左右两侧异号，则点( x0, f(xo) )为函数曲线的拐点

若f''(x)在x0左右两侧同号，则点( x0, f(xo) )不为函数曲线的拐点

定理：拐点的第二充分条件。设函数在点x0处三阶可导，且f''(x0) = 0，则：

若f'''(x) ≠ 0，则点( x0, f(xo) )为函数曲线的拐点

若f'''(x) = 0，则此方法不能判定点( x0, f(xo) )是否为函数曲线的拐点

曲线的渐近线

定义：渐近线。若点M沿曲线无限远离原点时，它与某条定直线L之间的距离将趋近于零，则称直线L为曲线的一条渐近线

水平渐近线

若limx→∞ f(x) = A，(或x→-∞ 或x→+∞)，则y = A是曲线的水平渐近线

垂直/铅直渐近线

若limx→x0 f(x) = ∞，(或x→x0- 或x→x0+)，则x = x0是曲线的垂直/铅直渐近线

斜渐近线

若limx→∞ f(x)/x = a，且limx→∞ f(x)-ax = b，(或x→-∞ 或x→+∞)，则y = ax+b是曲线的斜渐近线

水平渐近线和斜渐近线不同时存在，前提是x趋向相同，即x同时趋向于+∞或-∞ 二者可以同时存在时，则X的趋向一定不同，如x趋向+∞时存在水平渐近线，x趋向-∞时存在斜渐近线 垂直/铅直渐近线一般到函数间断点寻找

函数的作图

利用函数的单调性、极值、曲线的凹凸性、拐点及渐近线可以做出函数曲线

曲线的弧微分与曲率

定义：设函数在(a, b)内有连续导数，则有弧微分:

定义：设函数在(a, b)内有二阶导数，则有曲率:

称 ρ=1/K 为曲率半径

定义：若曲线在点M处的曲率为K (K≠0)，在点M处曲线的法线上，曲线凹的一侧取一点D，使|DM| = 1/K = ρ，以D为圆心，ρ为半径的圆称为曲线在点M处的曲率圆，圆心D称为曲线在点M处的曲率中心

第四章 不定积分

不定积分的概念与性质

原函数

定义：设函数在区间(a, b)内有定义，若存在函数F(x)，使其在区间内任一点都有F'(x)=f(x)，则称F(x)为f(x)在该区间内的原函数

定义：若F(x)为f(x)在某区间内的原函数，则F(x) + C (C为任常) 也为f(x)在该区间内的原函数

定义：若F(x)、G(x)都是f(x)在某区间内的原函数，则F(x) - G(x) = C (C为某确定常数)

不定积分

定义：f(x)的原函数全体称为f(x)的不定积分，记为：

定义：若F(x)为f(x)的原函数，则有：

不定积分的几何意义

设F(x)为f(x)的原函数，则从几何上来看，F(x)表示平面上的一条曲线，称之为f(x)的积分曲线，因此，不定积分 = F(x) + C 在几何上表示一族积分曲线，这族积分曲线对应于横坐标x处的切线都相互平行（即斜率、导数相同）

原函数存在定理

定理：若函数在区间I上连续，则函数在区间I上一定存在原函数

引申：若函数不连续，只有间断点是震荡间断点的函数，才可能有原函数，与是否有界无关。另外，也有存在震荡间断点但是无原函数的函数

导数连续定理：若函数在区间I上有第一类间断点或无穷间断点，则函数在区间I上没有原函数

不定积分的性质

加减性质、乘除性质等常见的

不定积分基本公式

求导的逆运算

复习全书基础篇 P48、P49

三种主要积分法

第一换元积分法

定理：

常见的凑微分形式

复习全书基础篇 P49

第二换元积分法

定理：设φ(t)是单调的、可导的函数，且φ'(t) ≠ 0，又有：

其中 φ-1(x) 是x = φ(t)的反函数

常用的三种变量代换

一二类换元法的区别： 第一换元法来用的是“凑积分”的办法，即不改变原有字母和数字，通过凑出相同的“数字和字母团”来求不定积分 第二换元法则是用另外的字母来替代第一换元法中的“数字和字母团”，最后通过回代的方式来求不定积分。这只是让式子更简洁而已，两种换元法可以互用,但有时候能用第二换元法的却很难用第一换元法，因为要凑出“数字和字母团”难度大，经典的有万能公式的替换，即在三角函数中令 x=tan(u/2)，可以将原式三角函数符号消除

分部积分法

分部积分公式

分部积分法所适用的函数类：较适用于两类不同函数相乘，如：

这里Pn(x)为x的n次多项式

分部积分法中u，v的选取（即：把谁凑到微分号里去）

Pn(x)·e^x、Pn(x)·sinx、Pn(x)·cosx这三种积分应把多项式Pn(x)以外的函数凑进微分号

留多项式

e^x·sinx、e^x·cosx这两种把指数函数或三角函数凑进微分号都可以，但把指数凑进去更简单，连续两次将指数函数凑进去分部积分换元便可求解

【重要】将e的指数模块进微分号，分部积分后，会形成一个永远剩余不定积分尾巴的循环，观察第一次和第二次循环多出来的部分，令多出部分相等，就可以消除最后剩余的不定积分小尾巴，别忘记再加C

Pn(x)·lnx、Pn(x)·arctanx、Pn(x)·arcsinx这三种积分都应把多项式函数凑进微分号

进多项式

三类常见可积函数积分

有理函数积分

一般方法（部分分式法）

特殊方法（加项减项拆或凑微分降幂）

三角有理式积分

一般方法（万能代换）

令 tan x/2 = t，

特殊方法（三角变形，换元，分部）

几种常用的换元法

若 R( - sinx, cosx) = - R( sinx, cosx)，则令 u = cosx，或凑 dcosx

若 R( sinx, - cosx) = - R( sinx, cosx)，则令 u = sinx，或凑 dsinx

若 R( - sinx, - cosx) = R( sinx, cosx)，则令 u = tanx，或凑 dtanx

简单无理函数积分

第五章 定积分与反常积分

定积分

定积分的概念

定积分的定义

定义：设函数在闭区间上有定义且有界

分割

在闭区间中任意插入n-1个分点，将闭区间分成n个小区间，△xi = △xi - △x i-1表示第i个小区间的长度

【注】这里不一定是等分，因为有下面“取极限”条件约束，最后看起来都是无穷小近乎于0的小区间

求和

在n个小区间任取一点ξi，作和式

【注】找小区间中最大的长度

取极限

则称函数在[a, b]上可积，并称此极限为函数在闭区间上的定积分，

【注】如果连上一步中小区间中最大的值都趋于0，即极限存在，则可积

注1：λ→0，则n→∞，反之不然，因为可能只将区间的一半划为n份，另一半没划分 注2：定积分表示一个数值，它取决于积分区间[a, b]与被积函数，与积分变量无关，因此有f(x)dx从a积到b = f(t)dt从a积到b，即积分变量只在积分中起作用，积分做完后就不存在了，且积分变量可以随便换字母 注3：极限与点的取法和区间的分法无关

定积分存在的充分条件

定理：若函数在[a, b]上连续，则函数在ab区间上的定积分必定存在

定理：若函数在[a, b]上有界，且只有有限个间断点，则函数在ab区间上的定积分必定存在

定理：若函数在[a, b]上只有有限个第一类间断点，则函数在ab区间上的定积分必定存在

定积分的几何意义

设函数在ab区间上积分存在，若在闭区间ab上 f(x) ≥ 0，则积分的值等于以曲线y = f(x)，x = a，x = b 及 x轴所围成的曲边梯形的面积

若在闭区间ab上 f(x) ≤ 0，则积分的值等于以曲线y = f(x)，x = a，x = b 及 x轴所围成的曲边梯形面积的负值

若在闭区间ab上函数的值有正也有负，则定积分的值等于x轴上方的面积 - x轴下方的面积所得之差

定积分的性质

不等式性质

面积不等，定积分亦不等，

积分值介于全部下限面积和全部上限面积之间，

正负区域抵消后的积分绝对值 ≤ 全部变为正值后再积分的值，

中值定理

积分第一中值定理：

积分第二中值定理：

积分中值定理应用： 积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。因此，对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式，或者要证的结论中含有定积分，或者所求的极限式中含有定积分时，一般应考虑使用积分中值定理，去掉积分号，或者化简被积函数 积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值，或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法，是数学分析的基本定理和重要手段，在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面应用广泛

积分上限的函数

变上限的积分（上限为x）是其上限的函数，常称之为积分上限函数

定理：

由原函数概念可知，若函数在闭区间ab上连续，则Φ(x)为函数在闭区间ab上的一个原函数。由此可知，连续函数必有原函数

【注】

意义：变上限积分表示一个函数，因此，经常会遇到与函数相关的问题，如：求极限、判定连续性、求导数、求微分、判定单调性、曲线的凹凸性等

定积分的计算方法

牛顿 - 莱布尼茨公式（Newton - Leibniz）

换元积分法

分部积分法

利用奇偶性和周期性

利用奇偶性：设函数为[-a, a]上的连续函数(a > 0)，则：

利用周期性：设函数是以T为周期的连续函数，则对任意数a，总有：

利用已有公式

当特征为：积分区间为[0, π/2]、积分函数为sinx或cosx的n次方，

且n为正偶数时：

且n为正奇数时：

反常积分/广义积分

无穷区间上的反常积分（积分区间无穷）

定义：设函数为[a, +∞)上的连续函数，若极限limt→+∞ ∫a→t f(x)dx存在，则称此极限为函数在无穷区间[a, +∞)上的反常积分，记作：∫a→+∞ f(x)dx，即：

定义：设函数为(-∞, b]上的连续函数，则可类似地定义函数在无穷区间(-∞, b]上的反常积分，即：

定义：设函数为(-∞, +∞)上的连续函数，

无界函数的反常积分（某点有问题）（瑕积分）

若函数在点a的任一邻域内都无界，则点a成为函数的瑕点（也称为无界点）。无界函数的反常积分也成为瑕积分

定义：设函数在(a, b]上连续，点a为函数的瑕点，

定义：设函数在[a, b)上连续，点a为函数的瑕点，则可类似地定义函数在区间[a, b]上的反常积分，即：

定义：设函数在[a, b]上除点c (a < c < b) 外连续，点c为函数的瑕点，

反常积分/广义积分的计算：先按照不定积分计算（注意定积分内参数代换时，上下限别忘记随之更新），再对其整体求极限即可

第六章 定积分的应用

定积分总思想

用定积分可表示一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、压力和函数平均值等），定积分的这些应用有个共同思想，即建立“微元”，然后微元积分就得到所求量

几何应用

平面图形的面积

若平面域D 由曲线 y = f(x)，y = g(x) ( f(x) ≥ g(x))，x = a，x = b (a ＜ b)所围成，则平面域D的面积为

若平面域D 由曲线ρ = ρ(θ)，θ = α，θ = β (α ＜β) 所围成，则其面积为

旋转体体积

若区域D 由曲线y = f(x) ( f(x) ＞0 )，和直线 x = a，x = b ( 0 ≤ a ＜ b) 及x轴所围成，则：

区域D 绕x轴旋转一周所得到的旋转体体积为

记忆：只有绕x轴旋转f(x)带平方，其余情况均不带

区域D 绕y轴旋转一周所得到的旋转体体积为

使用柱壳法推导

曲线弧长

旋转体侧面积

曲线 y = f(x) ( f(x) ≥ 0 ) 和直线 x = a，x = b ( 0 ≤ a ＜ b ) 及x轴所围成区域绕x轴旋转所得旋转提的侧面积为：

物理应用

压力

变力做功

引力

第七章 微分方程

常微分方程的基本概念

微分方程：含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程，简称方程

微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶

微分方程的解：满足微分方程的函数，称为该方程的解

微分方程的通解：若微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称之为微分方程的通解

微分方程的特解：微分方程的不含任意常数的解，称之为特解

初始条件：确定特解的一组常数称为初始条件

积分曲线：方程的一个解在平面上对应一条曲线，称为该微分方程的积分曲线

一阶微分方程

可分离变量的方程

能表示为 g(y) dy = f(x) dx 的方程，称为可分离变量的方程

齐次微分方程

求解的方法是令 u = y/x，则 y' = u + xu'，代入原方程，从而化为 u + xu' = φ(u)，移项得 xu' = φ(u) - u，此方程为可分离变量的方程，即 du/[ φ(u) - u ] = dx/x，两边再同时积分求解

【注】看到 y/x 出现则判断为天然的齐次方程，直接令 u = y/x，接着同上

一阶线性微分方程

形如 y' + p(x)y = Q(x) 的方程称为一阶线性微分方程

Q(x) = 0，齐次

Q(x) ≠ 0，非齐次

当遇到一阶线性齐次微分方程时（ 即Q(x)=0 ），可以直接使用此种情况下的通解公式：

当遇到一阶线性齐次微分方程时（ 即Q(x)≠0 ），求解的方法为常数变易法，可直接利用常数变易法求出的通解公式：

关于常数变易法的思想总结：将齐次通解公式中常数C视为函数C(x)，将y的通解带回到非齐次微分方程中，抵消化简，可得C(x)的表达式，代回到齐次通解中替换C（ 因对C'(x)积分得到的C(x)，故不定积分后要加常数C），即得到一串非齐次的通解。 PS：此方法为拉格朗日历经十一年的研究成果，我们只使用其结论，不讨论其过程

伯努利方程

全微分方程

数二不考

【注】若给定的一阶微分方程不属于上述五种标准形式，首先考虑将x，y对调，即认定x为y的函数，再判定新方程的类型；或者利用简单的变量代换将其化为上述五种类型之一而求解

可降阶的高阶方程

特征：看起来各方面都很正常

特征：缺y，但x，y'，y'' 都在

特征：缺x，但y，y'，y'' 都在

可降阶的高阶方程解法总思路：使微分方程中只有两个未知变量，从而化简为一阶微分方程或可分离变量的方程来求解

【注】关于↑↑↑可降阶的高阶方程 和 常系数齐次线性微分方程↓↓↓ 的解法区别

二者形式相同，常系数齐次线性微分方程解 y'' = f (y, y') 型用降阶法需要积两次分，较麻烦，而由于其方程的特殊性，可以通过特殊方法，不用积分，从而转化成解一元二次的代数方程，这比作变量代换令 y' = p 再积分要简单很多，但降阶法优点为无视齐次或非齐次，两次积分用公式便可求出，所以二者各有利弊

高阶线性微分方程

分类

常系数齐次线性微分方程

二阶常系数线性齐次微分方程的一般形式为：y'' + py' + qy = 0（p、q为常数），其特征方程为： r^2 + pr + q = 0，设 r1，r2为该方程的两个根，则：

若 r1 ≠ r2 为两个不相等的实特征根，则方程的通解为：

若 r1 = r2 为二重实特征根，则方程的通解为：

若 r1 = α+iβ、 r2 = α-iβ 为一对共轭复根，则方程的通解为：

三阶常系数线性齐次微分方程的一般形式为：y''' + py'' + qy' + ry = 0（p、q、r为常数），其特征方程为： λ^3 + pλ^2 + qλ + r = 0，则：

常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式为：y'' + py' + qy = f(x)（p、q为常数），则：

李永乐老师解法

y* 类型一：

y* 类型二：

汤家凤老师解法

若 k = 0，则f(x)只有多项式形式，令f(x) = ax + b，求出f'(x)、f''(x)代回原微分方程，观察等式左右两边，得到ab，加齐次通解，结束

若 k ≠ 0，则：

k ≠ 齐次通解中的任何一个 λ

令 f(x) = (ax + b) · e^kx，求出f'(x)、f''(x)代回原微分方程，观察等式左右两边，得到ab，加齐次通解，结束

k = 齐次通解中的一个 λ，但不等于另一个

令 f(x) = x · (ax + b) · e^kx，求出f'(x)、f''(x)代回原微分方程，观察等式左右两边，得到ab，加齐次通解，结束

k = 齐次通解中两个相等的 λ

令 f(x) =x^2 · (ax + b) · e^kx，求出f'(x)、f''(x)代回原微分方程，观察等式左右两边，得到ab，加齐次通解，结束

若 k = 0，则：

f(x) = a，所以f'(x)、f''(x)都为0，然后同上

若 k ≠ 0，则：

k ≠ 齐次通解中的任何一个 λ

令 f(x) = a · e^kx，同上

k = 齐次通解中的一个 λ，但不等于另一个

令 f(x) = x · a · e^kx，同上

k = 齐次通解中两个相等的 λ

令 f(x) = x^2 · a · e^kx，同上

特殊情况1：当特征方程为一对共轭复根时，观察等号右边e的α次方乘以cos/sinβ次方，是否等于其中的共轭复根，从而判断假设的形式前是否乘以x或x次方，其他解法同上 特殊情况2：当微分方程等号右边形式为 e^kx · (1+多项式) 时要给拆开为 (常数乘以e的kx次方 + 多项式乘以ekx次方) 形式，分别求出特解再加一起，其他解法同上

二阶常系数非齐次找通解步骤：先令方程=0，找出齐次通解，再求方程=f(x)时的特解y*，最后通解 = 齐次通解 + y*，y*有两种类型，求法在上一行↑↑↑

欧拉方程

差分方程

数二不考

线性微分方程的解的结构

（均以二阶举例，也可推广到更高阶）二阶线性微分方程的一般形式：y'' + p(x)·y' + q(x)·y = f(x)，其中p(x)、 q(x)、f(x)均为连续函数

f(x) = 0，齐次

f(x) ≠ 0，非齐次

定理：若y1(x)、y2(x)分别是齐次方程的两个线性无关特解，则 y = C1y1(x) + C2y2(x)为二阶齐次微分方程的通解

【注】两个解线性无关的充要条件是它们之比不为常数

定理：若y*是非齐次方程的一个特解，y1(x)、y2(x)是齐次方程的两个线性无关特解，则 y = C1y1(x) + C2y2(x) + y*(x) 为二阶非齐次微分方程的通解

即：非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解

定理：若 y1*(x)、y2*(x)分别是非齐次方程的两个特解（ = f1(x)、= f2(x) ），则 y(x) = y1*(x) + y2*(x) 是齐次微分方程（=0）的解

定理：

第八章 多元函数微分学

多元函数的基本概念

多元函数的极限

定义：设D是平面上的一个点集，若对每个点P(x, y) ∈ D，变量z按照某一对应法则f有一个确定的值与之对应，则称z为x, y的二元函数，记为：z = f(x, y)，其中点集D称为该函数的定义域，x, y称为自变量，z称为因变量，函数值f(x, y)的全体所构成的集合称为函数f的值域，记为：f(D)

通常情况下，二元函数 z = f(x, y)在几何上表示一张空间曲面

【注1】这里的极限是要求点(x, y)在D内以任意方式趋近于点(x0, y0)时，函数f(x, y)都趋近于同一确定的常数A，否则该极限就不存在【注2】一元函数极限中的下述性质对多元函数仍成立：1)局部有界性 2)保号性 3)有理运算 4)极限与无穷小的关系 5)夹逼性

多元函数的连续性

连续的概念

连续函数的性质

性质1 多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数

性质2 多元连续函数的复合函数也是连续函数

性质3 多元初等函数在其定义域内连续

性质4 最大值定理：有界闭区域D上的连续函数在区域D上必能取得最大值与最小值

性质5 介值定理：有界闭区域D上的连续函数在区域D上必能取得介于最大值与最小值之间的任何值

偏导数

偏导数的定义

【注】由以上定义，偏导数本质上就是一元函数的导数，其中fx'(x0, y0)就是一元函数 f(x, y0) 在x = x0处的导数，fy'(x0, y0)就是一元函数 f(x0, y) 在y = y0处的导数，类似地，可以定义三元函数乃至n元函数的偏导数

二元函数偏导数的几何意义

高阶偏导数

定理：若函数 z = f(x, y) 的两个二阶混合偏导数 塔西x塔西y 和 塔西y塔西x 在区域D内连续，则在该区域内，这两个混合偏导数必定相等

【注】对于二元以上的函数，也可以类似地定义二阶或更高阶偏导数，且二阶与高阶混合偏导数连续时，混合偏导数的值与求导次序无关

全微分

定理（全微分存在的必要条件）：若函数z = f(x, y)在点(x, y)处可微，则该函数在点(x, y)处的偏导数 塔西z/塔西x、塔西z/塔西y 必定存在，且

这两个公式可以相互转化

定理（全微分存在的充分条件）：若函数z = f(x, y)的偏导数 塔西z/塔西x、塔西z/塔西y 在点(x, y)处连续，则函数z = f(x, y)在点(x, y)处可微

多元函数连续、可导(偏导)、可微、一阶偏导数连续之间的关系

连续 不一定 可导(偏导)，可导(偏导) 不一定 连续（记忆：连续可导，两个小弟）

连续 不一定 可微，可微 一定 连续（记忆：可微老大）

可导(偏导) 不一定 可微，可微 一定 可导(偏导)（记忆：可微老大）

一阶偏导数连续 一定 可微，可微 不一定 一阶偏导数连续（记忆：小弟组合，干过老大）

多元函数的微分法

复合函数的微分法

定理：设函数 u = u(x, y)，v = v(x, y)在点(x, y)处有对x及对y的偏导数，函数z = f(u, v)在对应点(u, v)处有连续偏导数，则复合函数 z = f [ u(x, y)，v(x, y) ] 在点(x, y)处的两个偏导数存在，且有：

全微分形式的不变性

即：不论把函数z看做自变量x，y的函数，还是看作中间变量u，v的函数，函数z的全微分形式都是一样的

隐函数的微分法

由方程 F(x, y) = 0 确定的隐函数 y = y (x)

由方程 F(x, y, z) = 0 确定的隐函数 z = z (x, y)

由方程组 F1(x, y, u, v)、F2(x, y, u, v) 确定的隐函数 u = u(x, y), v = v(x, y)

数二不考

多元函数的极值与最值

无约束极值

定义：设函数 z = f(x, y) 在点 P (x0, y0) 的某邻域内有定义，若对该邻域内任意的点P (x, y) 均有 f(x, y) ≤ f(x0, y0) （ 或f(x, y) ≥ f(x0, y0) ），则称(x0, y0)为f(x, y)的极大值点（或极小值点）；称 f(x0, y0) 为 f(x, y) 的极大值（或极小值），极大值和极小值统称为极值

定理（极值的必要条件）：

定理（极值的充分条件）：

(1) 若AC - B方 ＞ 0，则 (x0, y0) 为 f(x, y) 的极值点

A＜0，为极大值点

A＞0，为极小值点

(2) 若AC - B方 ＜ 0，则 (x0, y0) 不为 f(x, y) 的极值点

(3) 若AC - B方 = 0，则 (x0, y0) 可能为 f(x, y) 的极值点，也可能不为f(x, y) 的极值点（此时一般用定义判定）

求具有二阶连续偏导数二元函数 z = f(x, y) 极值的一般步骤为： 1) 求出f(x, y) 的驻点P1 ... Pk2) 利用极值的充分条件判定驻点 Pi 是否为极值点

【注】1) 二元函数 z = f(x, y) 在偏导数不存在的点也可能取到极值（如 f(x, y) = 根号下[x方 + y方] ），而这种点是否取得极值一般用极值定义判定2) 二元函数 z = f(x, y) 可能取得极值的点就两种情况：驻点和偏导数不存在的点

条件极值及拉格朗日乘数法

二元函数一个约束条件：求 z = f(x, y) 在条件 φ(x, y) = 0下的条件极值的一般方法为：

推广：以上方法可推广到对于n元函数在m个约束条件下的极值问题，如求 u = f(x, y, z)在条件 φ(x, y, z) = 0，ψ(x, y, z) = 0下的极值，可构造拉格朗日函数：F(x, y, z, λ, μ) = f + λφ + μψ，对 F 的 x, y, z, λ, μ 分别求偏导数，并构造方程组：

【注1】用拉格朗日乘数法求出来的驻点，因与无条件极值理论不同，所以不能用 AC - B^2 来证明极值问题。用来考研的这里不要求掌握怎么证明是不是极值点，知道结论即可

【注2】对于实际问题，若驻点唯一，且由实际意义知问题存在最大（小）值，则该驻点即为最大（小）值点；若存在多个驻点，且由实际意义知道问题即存在最大值也存在最小值，只需比较各驻点处的函数值，最大的则为最大值，最小的则为最小值

最大最小值

常见考题类型

求连续函数 f(x, y) 在有界闭域 D 上的最大最小值，常用方法为（即三步曲）：

(1) 求 f(x, y) 在 D 内部可能的极值点

(2) 求 f(x, y) 在 D 的边界上的最大最小值

(3) 比较

应用题

首先将要求最大或最小的变量用一个多元函数表示出来，即建立目标函数 z = f(x, y) ，然后按照上面的三步曲求解

第九章 二重积分

二重积分的概念及性质

二重积分的概念

几何意义：二重积分是一个数。当 f(x, y) ≥ 0 时，其值等于以区域 D 为底，以曲面 z = f(x, y) 为曲顶的曲顶柱体的体积；当 f(x, y) ≤ 0 时，二重积分的值为负值，其绝对值等于上述曲顶柱体的体积

二重积分的性质

性质1（不等式性质）

性质2（中值定理）

二重积分的计算

利用直角坐标计算

先积 y 后积 x

先积 x 后积 y

利用极坐标计算

先积 ρ 后积 θ

【注】适合用极坐标计算的二重积分特征：

利用对称性和奇偶性计算

若积分域 D 关于 y轴对称，f(x, y) 关于x有奇偶性，则：

若积分域 D 关于 x轴对称，f(x, y) 关于y有奇偶性，则：

利用变量对称性计算

若积分域 D 关于直线 y = x 对称，则：