高等数学第一章

这是一篇关于高等数学第一章的思维导图，包含函数的连续性、极限的运算法则与性质、无穷小与无穷大等。

极限与连续

微积分导读

微积分与初等数学研究对象研究视角的区别

微积分研究的经典问题

函数

概念

集合，区间，领域

反函数

特性

有界性，单调性，奇偶性，周期性

初等函数

复合函数

极限

概念

有次序的一数列

若存在常数a,当n无限增大时无限接近于常数a，称a为数列的极限

性质

唯一的，有界的

无穷小与无穷大

无穷小与无穷大

无穷小

概念

无穷小是一个无限接近于0的数，但永远不等于0

无穷小具有极限性质，即当x趋于某一值时，无穷小趋于0

性质

无穷小具有可加性、可乘性和可除性

无穷小具有单调性，即当x趋于某一值时，无穷小趋于0

应用

无穷小在微积分中用于计算极限和求导

无穷小在函数分析中用于研究函数的连续性和可微性

无穷大

概念

无穷大是一个无限大的数，但永远不等于正无穷大

无穷大具有极限性质，即当x趋于某一值时，无穷大趋于正无穷大

性质

无穷大具有可加性、可乘性和可除性

无穷大具有单调性，即当x趋于某一值时，无穷大趋于正无穷大

应用

无穷大在微积分中用于计算极限和求导

无穷大在函数分析中用于研究函数的连续性和可微性;

极限的运算法则与性质

极限的四则运算法则

极限的加法法则

两个函数f(x)和g(x)在x趋近于某一点a时，如果lim(x>a)f(x) = A，lim(x>a)g(x) = B，则lim(x>a)(f(x) + g(x)) = A + B

加法法则的证明

利用定义证明加法法则

利用极限的性质证明加法法则

极限的减法法则

两个函数f(x)和g(x)在x趋近于某一点a时，如果lim(x>a)f(x) = A，lim(x>a)g(x) = B，则lim(x>a)(f(x) g(x)) = A B

减法法则的证明

利用定义证明减法法则

利用极限的性质证明减法法则

极限的乘法法则

两个函数f(x)和g(x)在x趋近于某一点a时，如果lim(x>a)f(x) = A，lim(x>a)g(x) = B，则lim(x>a)(f(x) * g(x)) = A * B

乘法法则的证明

利用定义证明乘法法则

利用极限的性质证明乘法法则

极限的除法法则

两个函数f(x)和g(x)在x趋近于某一点a时，如果lim(x>a)f(x) = A，lim(x>a)g(x) = B，且B不为0，则lim(x>a)(f(x) / g(x)) = A / B

除法法则的证明

利用定义证明除法法则

利用极限的性质证明除法法则

极限的性质

极限的唯一性

如果函数f(x)在x趋近于某一点a时，lim(x>a)f(x) = A，则A是唯一的

唯一性的证明

利用定义证明唯一性

利用极限的性质证明唯一性

极限的保号性

如果函数f(x)在x趋近于某一点a时，lim(x>a)f(x) = A，且A > 0，则存在一个正数δ，使得当0 < x a < δ时，f(x) > 0

保号性的证明

利用定义证明保号性

利用极限的性质证明保号性

极限的局部有界性

如果函数f(x)在x趋近于某一点a时，lim(x>a)f(x) = A，则存在一个正数δ，使得当0 < x a < δ时，f(x) < M，其中M是一个正常数

有界性的证明

利用定义证明有界性

利用极限的性质证明有界性

极限的夹逼准则

如果函数f(x)、g(x)和h(x)在x趋近于某一点a时，lim(x>a)f(x) = A，lim(x>a)g(x) = A，lim(x>a)h(x) = A，且f(x) <= g(x) <= h(x)，则lim(x>a)f(x) = lim(x>a)g(x) = lim(x>a)h(x) = A

夹逼准则的证明

利用定义证明夹逼准则

利用极限的性质证明夹逼准则

极限的柯西准则

如果函数f(x)在x趋近于某一点a时，对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0 < x a < δ时，f(x) A < ε，则lim(x>a)f(x) = A

柯西准则的证明

利用定义证明柯西准则

利用极限的性质证明柯西准则

极限的连续性

如果函数f(x)在x趋近于某一点a时，lim(x>a)f(x) = A，且对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0 < x a < δ时，f(x) A < ε，则f(x)在点a处连续

连续性的证明

利用定义证明连续性

利用极限的性质证明连续性;

函数的连续性

性质

要求

初等函数的连续性

直奔初等函数在其定义域内都是连续的

闭区间连续函数的性质

最大值最小值定理

有界性定理

根的存在定理

介值定理