矩阵基础知识

矩阵是线性代数里的重点知识。下面的思维导图总结了矩阵的相关概念、定理、求解方法等，通过不同符号标识重点、易错点，总结性展示矩阵的整体考点。喜欢麻烦点赞哦。

矩阵

• 矩阵的基础知识
  • 矩阵的定义
    • 矩阵是一个数表，描述的是系统化的信息，矩阵不能运算，但是矩阵下可以显示行向量或者列向量之间的某些关系。 矩阵可以理解为一个筐，筐里放着很多的向量，n个行向量，m个列向量。 矩阵可以是n*m，也可以是n*n。n*n的矩阵称为n阶方阵
  • 矩阵的秩
    • 秩的理解
      • 秩表示的就是矩阵A中线性无关向量的个数
    • 公式
• 矩阵的运算法则
  • 矩阵加法
    • 矩阵的加法，必须要求想加的两个矩阵是同型矩阵。（行列数相等）
  • 矩阵乘法
    • 定义
      • 矩阵做乘法时，前一个矩阵A的列数和后一个矩阵B的行数要相等。
    • 矩阵的乘法法则
      • 矩阵数乘
        • 矩阵的数乘，要将数k乘在矩阵里的每一个数上。
      • 结合律和分配律
        • A*（B+C）=A*B+A*C，（A+B）*C=A*C+B*C，【注意顺序】 A（BC）=（AB）C
      • 矩阵没有交换律，但是一些特殊情况下矩阵相乘可以交换
  • 算行列式
    • 行列式
      • 行列式必须要求矩阵A为n阶方阵，且称为n阶行列式。 行列式是一种算法。
  • 求逆
    • 逆矩阵
      • 逆矩阵的求法 求逆矩阵必须要求A是n阶方阵
        • 定义法
          • A是n阶矩阵，如果找到一个矩阵B使得AB=BA=E，则称AB可逆，B是A的逆矩阵
        • 拆分法
          • 若A=B×C，BC均可逆，则A可逆 且A逆=B逆×C逆
        • 用伴随矩阵求
        • 初等变换法
          • 理论基础1，可逆矩阵A一定可以经过有限次初等变换化为同阶单位矩阵E 理论基础2，对n阶方阵（不一定可逆）A进行一次初等变换相当于左乘一个相应的初等矩阵
          • 一个可逆矩阵一定可以通过左乘初等矩阵的方式化为PA=E。 矩阵P就是A的逆矩阵
      • 逆矩阵公式
      • 矩阵可逆的充要条件是其行列式为0
  • 算伴随
    • 伴随矩阵
      • 定义
      • 公式
  • 算转置
    • 转置矩阵
      • 定义
        • 行列互换
      • 公式
• 分块矩阵
  • 分块矩阵求行列式（拉普拉斯展开式）
    • 主对角线 A为m阶矩阵 B为n阶矩阵 副对角线同理
    • 副对角线
    • 某些行列式0的位置很工整，可以通过互换行列的方式将其转化为分块矩阵再用拉普拉斯展开式
  • 运算法则
    • 加法
    • 转置
    • 分块矩阵求逆（负的左乘同行右乘同列）
      • 主对角线
      • 副对角线
• 矩阵公式总结
  • 任意两个三大运算（不包括算行列式）交换计算顺序结果不变