导图社区 矩阵基础知识
矩阵是线性代数里的重点知识。下面的思维导图总结了矩阵的相关概念、定理、求解方法等,通过不同符号标识重点、易错点,总结性展示矩阵的整体考点。喜欢麻烦点赞哦。
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矩阵
矩阵的基础知识
矩阵的定义
矩阵是一个数表,描述的是系统化的信息,矩阵不能运算,但是矩阵下可以显示行向量或者列向量之间的某些关系。 矩阵可以理解为一个筐,筐里放着很多的向量,n个行向量,m个列向量。 矩阵可以是n*m,也可以是n*n。n*n的矩阵称为n阶方阵
矩阵的秩
秩的理解
秩表示的就是矩阵A中线性无关向量的个数
公式
矩阵的运算法则
矩阵加法
矩阵的加法,必须要求想加的两个矩阵是同型矩阵。(行列数相等)
矩阵乘法
定义
矩阵做乘法时,前一个矩阵A的列数和后一个矩阵B的行数要相等。
矩阵的乘法法则
矩阵数乘
矩阵的数乘,要将数k乘在矩阵里的每一个数上。
结合律和分配律
A*(B+C)=A*B+A*C,(A+B)*C=A*C+B*C,【注意顺序】 A(BC)=(AB)C
矩阵没有交换律,但是一些特殊情况下矩阵相乘可以交换
算行列式
行列式
行列式必须要求矩阵A为n阶方阵,且称为n阶行列式。 行列式是一种算法。
求逆
逆矩阵
逆矩阵的求法 求逆矩阵必须要求A是n阶方阵
定义法
A是n阶矩阵,如果找到一个矩阵B使得AB=BA=E,则称AB可逆,B是A的逆矩阵
拆分法
若A=B×C,BC均可逆,则A可逆 且A逆=B逆×C逆
用伴随矩阵求
初等变换法
理论基础1,可逆矩阵A一定可以经过有限次初等变换化为同阶单位矩阵E 理论基础2,对n阶方阵(不一定可逆)A进行一次初等变换相当于左乘一个相应的初等矩阵
一个可逆矩阵一定可以通过左乘初等矩阵的方式化为PA=E。 矩阵P就是A的逆矩阵
逆矩阵公式
矩阵可逆的充要条件是其行列式为0
算伴随
伴随矩阵
算转置
转置矩阵
行列互换
分块矩阵
分块矩阵求行列式(拉普拉斯展开式)
主对角线 A为m阶矩阵 B为n阶矩阵 副对角线同理
副对角线
某些行列式0的位置很工整,可以通过互换行列的方式将其转化为分块矩阵再用拉普拉斯展开式
运算法则
加法
转置
分块矩阵求逆(负的左乘同行右乘同列)
主对角线
矩阵公式总结
任意两个三大运算(不包括算行列式)交换计算顺序结果不变