概率论与数理统计

重磅！关于概念论与数理统计思维导图来啦！随机事件与概率、离散型随机变量及其分布、连续型随机变量及其分布、随机变量的数字特征等等，你想知道的概率论与数理统计这张图里都有！赶快跟着这份导图学起来吧！

概率论

• 一，随机事件和概率
  • I.随机事件，事件的关系和运算
    • 随机事件
      • 重复进行；结果可知且不唯一；结果无法预知
    • 事件关系
      • 相等
        • A=B
      • 包含(A发生B必然发生)
      • 互斥(互不相容)
        • AB=ø
      • 对立
        • A∪B=Ω,A∩B=ø
    • 事件运算
      • 并/和
        • A∪B或A+B
      • 交/积
        • A∩B或AB
      • 差
        • A-B
      • 非/bar
    • 事件的运算规律
  • II.概率及概率公式
    • 概率
      • 定义
      • 概率性质
      • 条件概率
        • • 事件A发生下事件B发生的概率
    • 独立性
      • 两个事件
        • P(AB)=P(A)P(B)
      • 三个事件
        • P(AB)=p(A)P(B)P(AC)=p(A)P(C)P(BC)=p(B)P(C)P(ABC)=p(A)P(B)P(C)
    • 五大公式
      • 加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
        • P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-p(AB)-P(AC)-P(BC)-P(ABC)
      • 减法公式：P(A-B)=P(A)-P(AB)
      • 乘法公式：若P(A)>0,P(AB)=P(A)P(A|B)
      • 完备事件组：B₁,B₂…满足
      • 全概率公式：对于完备事件组，若有
      • 贝叶斯公式：对于完备事件组，若有
    • 概率无法逆推出事件关系
  • III.古典概型&伯努利概型
    • 古典概型：P(A)=A中样本数/样本总数
    • 伯努利概型
      • 伯努利实验：每次实验只用两个结果：A和Ã，进行n次为n伯努利实验
      • 二项概率公式：n重伯努利实验发生k次概率为：
  • 考点
    • 1.翻译
    • 2.事件运算（bar）
    • 3.五大公式
    • 4.伯努利概型
• 二，随机变量及概率分布
  • I.随机变量及其分布函数
    • 定义
      • 在样本空间Ω上的实质函数X=X(ω),ω∈Ω,称X(ω)为随机变量
    • 离散型随机变量
      • 取值为有线多个或者无穷可数个
      • 概率分布/分布律
    • 分布函数
      • 对任意实数x,X的分布函数：F(x)=P{X≤x},-∞<x<+∞
      • 性质
        • F单调不降，右连续
        • P(X=x)=F(x)-F(x-0)
        • 检验是否是分布函数
        • 其它
          • 0≤F(x)≤1
            • P(x₁<X≤x₂)=F(x₂)-F(x₁)
    • 连续型随机变量
      • 概率密度：f(x)，要求非负可积
      • 分布函数：
      • 性质
        • F(x)连续
        • F(x)单调不减，因为F'(x)=f(x)≥0
  • 常用分布
    • 0-1分布
      • 可看成单次伯努利实验
    • X~B(n,p)二项分布
      • 可看成多次伯努利实验
    • 几何分布
      • 则称X为服从参数p的几何分布
    • 超几何分布
      • 则称X为服从参数n,N,M的超几何分布
    • X~P(λ)泊松分布
      • k=0,1,2…；常数λ>0
      • 泊松定理
        • 若n↑会导致p↓，则
    • X~U(a,b)均匀分布
      • 区间(a,b),则X~U(a,b)
      • 区间[a,b],则X~U[a,b]
      • 性质
        • • 落入[c,d]可能性为该区间长度与[a,b]的比例
    • X~E(λ)指数分布
      • 性质：无记忆性
        • P{X>t}=P{X>t+s | X>s }=e^(-λt)
    • X~N(μ,σ²)正态分布又叫高斯分布
      • 标准正态分布：X~N(0,1)时，分布函数
      • 正态分布标准化：
      • Φ(-x)=1-Φ(x),Φ(0)=1/2
      • 性质
  • 随机变量函数Y=g(x)的分布
    • 离散型
      • Y也是离散型，此时只需要根据分布律写出P{Y=g(xk)}=pk
    • 连续型
      • 公式法
        • f=g(x)单调，导数不为0的可导函数，h(y)为它的反函数，（α，β）为x可能区间上的值域
      • 定义法
  • 此章节均为基础知识，所有带星号都应牢牢掌握
• 三，多维随机变量及其分布
  • 二维随机变量及分布
    • 二维随机变量
      • 定义
      • 性质
        • F(-∞,y)=F(x,-∞)=F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1
        • F(x,y)关于x,y单调不减右连续
        • P{a<X≤b,c<Y≤d}=F(b,d)+F(a,c)-F(b,c)-F(a,d)
        • 概率分布/分布律：
      • 边缘分布
      • 条件分布
    • 二维离散型
      • 边缘分布：
        • 对应j个元素的和
          • 对应i个元素的和
      • 条件分布：
    • 二维连续型
      • 定义
      • 性质
        • (X,Y)落在D内的概率为
      • 边缘密度
      • 条件密度
        • f(x,y)在点(x,y)连续，fY(y)连续且fY(y)>0,则
          • 考点
  • 随机变量的独立性
    • 定义
      • F{x,y}=FX(x)FY(y)
    • 充要条件
      • 离散型：
      • 连续型：
  • 均匀和正态
    • 二维均匀分布
      • 定义：如果A为有界区域的面积，如果概率密度为
    • 二维正态分布
      • 概率密度
        • 若xy无关
      • 性质
        • X，Y相互独立的充分必要条件：ρ=0
  • 两个随机变量Z=g（X,Y）的分布
    • X,Y均离散
    • X,Y均连续
    • X离散，Y连续
      • 把X用全概率公式展开
    • Z=max{X,Y}
      • 等价于X和Y都不大于z
    • Z=min{X,Y}
      • 等价于X和Y都不小于z
    • 考点
  • 考点
    • • 先考虑范围，再考虑端点
      • 定义域的扩展与缩小
      • 考虑端点符号是<还是≤
• 四，随机变量的数字特征
  • 数学期望与方差
    • E(X)
      • 离散型
      • 连续型
      • 性质
        • E(C)=C
        • E(CX)=CE(X)
        • E(X±Y)=E(X)±E(Y)
        • 如XY独立,E(XY)=E(X)E(Y)
      • 随机变量函数
        • Y=g(X)
          • 离散
          • 连续
        • Z=g(X,Y)
          • 离散
          • 连续
    • D(X)
      • 标准差
      • 性质
        • D(C)=0
        • D(aX+b)=a²D(X)
        • XY相互独立，D(X±Y)=D(X)+D(Y)
    • 常见
      • X~B(n,p)二项分布
        • E(X)=np
          • D(X)=np(1-p)
      • X~P(λ)泊松分布
        • E(X)=λ
          • D(X)=λ
      • X~U(a,b)均匀分布
        • E(X)=(a+b)/2
          • D(X)=(b-a)²/12
      • X~E(λ)指数分布
        • E(X)=1/λ
          • D(X)=1/λ²
      • X~N(μ,σ²)正态分布
        • E(X)=μ
          • D(X)=σ²
  • 矩协方差和相关系数
    • 矩
      • k阶原点矩
        • E(X^k)
      • k阶中心矩
        • E{[X-E(X)]^k}
      • k+l阶混合矩
      • k+l阶混合中心矩
      • 第7章会涉及到
    • cov(X,Y)-协方差
      • cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
      • 性质
        • 展开形式:cov(X,Y)==E(XY)-E(X)E(Y)
        • D(X ± Y)=D(X) + D(Y) ± 2cov(X,Y)
        • cov(X,Y)=cov(Y,X)
        • cov(aX+c,bY+d)=abcov(X,Y)
        • cov(X₁+X₂,Y)=cov(X₁,Y)+cov(X₂,Y)
    • 相关系数
      • 如果D(X)D(Y)=0则
      • 性质
      • 独立与不相关
        • 独立→不相关，反之不成立
        • 对二维正态(X,Y),相互独立，不相关，ρ=0三者互为充要条件
  • 考点
    • 几乎全是考点
    • 尤其掌握常见分布
• 五，大数定理和中心极限定理
  • 切尔雪夫不等式
    • E(X),D(X)存在，对任意ε>0,有
  • 依概率收敛
    • X₁,X₂…为随机变量序列,A为常数，若对任意ε>0有
  • 切尔雪夫大数定理
    • X₁,X₂…两两不相关，方差收敛于常数，则对任意ε>0
  • 伯努利大数定理
    • X~B(n,p),n=1,2…,对于任意ε>0
  • 辛钦大数定理
    • X₁,X₂…独立同分布，期望E(X)=μ，则对任意ε>0
  • 根据条件判断用哪个定理第七章一致性用得上
  • 拉普拉斯中心极限定理
    • X~B(n,p),n=1,2…,对于任意X有
  • 林德伯格中心极限定理
    • X₁,X₂…独立同分布，期望E(X)=μ，D(X)=σ²，则对任意实数x有
      • 近似看做
  • 考点
    • 考的很少
    • 考前背一下
    • 之间联系去理解
• 六，数理统计的基本概念
  • 基本知识
    • 总体
      • 总体
        • 随机变量
      • 总体分布
        • X的概率分布
      • 总体数字特征
        • X数字特征
      • 个体
        • 总体中的每个元素
    • 样本
      • 简单随机样本(样本)
        • X1,X2…Xn独立同分布
      • 样本容量
        • n
      • 样本值(观测值)
        • x1,x2,…xn
    • 统计量
      • 样本均值
      • 样本方差
      • 其他
        • 标准差S
        • k阶原点矩
        • k阶中心矩
    • 性质
      • E(X拔)=E(X)=μ
      • D(X拔)=D(X)/n=σ²/n
      • E(S²)=D(X)=σ²
      • 以概率分布
    • 必考
    • *数学三*
      • 经验分布函数
        • 30+年未考
      • 数学三
  • 常用抽样分布
    • χ²分布(χ²~χ²(n))读作卡方分布
      • X₁,X₂,…,Xn相互独立服从N(0,1)，记作χ²~χ²(n)(典型模式)
      • 性质
        • E(χ²)=n,D(χ²)=2n
        • χ₁²~χ²(n₁),χ₂²~χ²(n₂),χ₁²与χ₂²相互独立，χ₁²+χ₂²~χ²(n₁+n₂)
        • α分位点
      • 见到平方找卡方
    • t分布(T~t(n))
      • X和Y相互独立，X~N(0,1),Y~χ(n²)，记作T~t(n))(典型模式)
      • 性质
        • t分布概率密度是偶函数n很大时近似N(0,1)
        • 偶函数t1-α(n)=-tα(n)
        • α分位点
      • 常作为本章考点
    • F分布(F~F(n₁,n₂))
      • X和Y相互独立，X~χ²(n₁),Y~χ²(n₂),记作F~F(n₁,n₂)
  • 正态总体抽样分布
    • 一个正态总体
      • X~N(μ,σ²),X₁,X₂~Xn是来自总体的样本，样本均值为
      • X拔与S²独立，且
    • 两个正态总体
      • X~N(μ₁,σ₁²)和Y~N(μ₂,σ₂²),X₁,X₂…Xn和Y₁,Y₂…Yn来自X和Y且相互独立，样本均值分别为X拔和Y拔，样本方差为S₁²和S₂²
      • σ₁²=σ₂²,则
  • 考点
    • 超高频
      • X拔，S²，E(X拔)
      • D(X拔)，E(S²)
      • t分布
      • χ²分布
    • 中频
      • 一个正态总体
      • D(S²)=2σ⁴/n-1
      • F分布
    • 低频
      • 两个正态总体
      • ……
• 七，参数估计
  • 点估计
    • 点估计
      • 用样本X₁,X₂…Xn构造的估计量θ帽(X₁,X₂…Xn)来估计参数θ称为点估计
    • 估计量
      • θ帽(X₁,X₂…Xn)
      • 估计值：估计量取得的值
    • 无偏性
      • 如果E(θ帽)=θ，称θ帽是θ的无偏估计量。
    • 有效性
      • 如果θ₁帽和θ₂帽都是无偏估计量，且D(θ₁帽)≤D(θ₂帽)，则称θ₁帽比θ₂帽更有效，或者是它的更有效估计量
    • 一致性
      • 如果θ帽依概率收敛于θ，则称θ帽是θ的一致估计量
    • 数学一
  • 估计量的求法和区间估计
    • 矩估计法
      • • 此为l 阶矩估计，常用1阶矩估计一阶无参数再上升到2阶
    • 最大似然估计法
      • 1.
      • 2. 一阶求导
        • 二阶求偏导
      • 3. 提示:通过求导不一定能求出θ的具体值，此时需要进一步判定若导数大于0，说明单调递增，取θ能取到的最大值若导数小于0，说明单调递减，取θ能取到的最小值
    • 必考
      • 最大似然估计要L(θ)取最大值当导数没有零点时，根据3求值例：当样本为[0,θ]均匀估计样本样本值为x1x2…xn时，若求导<0则θ应该max{x1x2…xn}。解释，θ≥样本值，取样本最大值作为θ就是θ的最小取值
    • 区间估计
      • 置信区间P{θ₁<θ<θ₂}=1-α
        • 称随机区间(θ₁,θ₂)为参数θ的置信水平为1-α的置信区间
        • 区间下限：θ₁区间上限：θ₂
        • 置信水平（置信度）：1-α
          • 区间包含参数的概率
      • 一个正态的区间估计
        • 求μ
          • 已知σ²
            • 错误
          • 已知σ²
        • 求σ²
          • 未知μ
          • 已知μ
        • 解题步骤
          • 1. 确定统计量T
          • 2. 给出T的置信范围
          • 3. 代入T到置信范围
      • 二个正态的区间估计
        • 几乎不考
      • 数学一
• 八，假设检验*数学一*
  • 假设
    • 基本假设H0
      • 可以加上备选假设
  • 两类错误
    • 第一类错误(弃真)拒绝真实的假设
    • 第二类错误(纳假)接受不真的假设
  • 假设检验
    • 根据样本辨别H0的真伪，做出拒绝或者接受的决定
  • 显著性检验
    • 显著性水平(检验水平)
      • 犯第一类错误的概率α
        • 表现对第一类错误的控制程度值越小表示控制越好
    • 显著性检验
      • 只控制第一类错误概率α的检验
    • 解题步骤检验步骤
      • 1. 提出假设H0或者
      • 2. 确定统计量U
      • 3. 确定拒绝域
      • 4. 代入T到置信范围
      • 和置信区间求解对比
    • 拒绝域
      • 单测检验(例如H0:λ<40;H1λ≥40)
        • 拒绝域为α/2
      • 双侧检验(例如H0:λ=40;H1:λ≠40)
        • 拒绝域为α
      • 考点
      • 临界点：拒绝域的边界
    • 一个正态的区间检验
      • 求μ
        • 已知σ²
          • 统计量
        • 已知σ²
      • 求σ²
        • 未知μ
        • 已知μ
      • 确定拒绝域
    • 二个正态的区间检验
      • 几乎不考
  • 考点
    • 弄清楚单测分布(α)与双侧分布(α/2)
    • 搞懂第一类错误
• 注意大纲规定与部分教材的区别
  • 概率分布F(x)=P(X≤x)
    • 有的书本是X<x
  • 指数分布
    • 有的书本可能是1/λ
  • 样本方差
    • 有的书本可能是1/n