离散数学：五、函数

离散数学的《函数》章节，参考教材为XJTU出版的离散数学。离散数学（Discrete mathematics）是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。离散的含义是指不同的连接在一起的元素，主要是研究基于离散量的结构和相互间的关系，其对象一般是有限个或可数个元素。

五、函数

• 函数的基本概念
  • 函数是后者唯一的关系
    • 不允许一对多，允许多对一
  • 定义域、值域、象、逆象、全函数（处处有定义）、偏函数
  • 函数的相等
    • 函数的相等是逐点相等
  • n元运算，X的n维叉积到X的函数
    • 封闭性
  • 单射、满射、双射
    • 1.单射函数概念主要是限制了函数概念中的多对一； 允许的是一对一； 2.满射函数概念主要是不允许函数的后集中有元素 无前集中元素和其对应； 3.在有限集的情况， 双射函数的存在，保证前集和后 集一样大小。即 |X| = |Y| 4.在有限集的情况，若 |X| = |Y| ，则可证： f是单射函数 = f是满射函数 = f是双射函数
  • 逆（反）函数
    • 双射函数的逆关系
    • 反身性
• 函数的复合
  • 函数的复合其实就是关系的合成， 只不过记法上有所不同； 函数的复合是(向)左复合，右(边)优先； 而关系的合成是(向)右复合，左(边)优先；
  • 性质
    • 结合律
    • f，g都是单/满/双射，则f o g也是单/满/双射
  • 函数的复合幂、幂等函数
  • 置换
    • 是从X到X的一个双射函数，即 P:X→X 。并且称n为置换P的阶（|X|=n ）
    • 
• 集合的基数
  • A与B为两个集合，若存在着一个双射f : A→B，则称A与B等势（同浓），记作A≈B
  • 等势则基数相等
  • 
  • 与空集或Nn等势的集合称为有穷集，否则称为无穷集
  • 与自然数集合等势，则称为可数集
    • 可数集取出有限个元素后仍可数
    • 可数集可以与它的一个无穷真子集等势
    • 任意有穷个可数集之并为可数集
    • 集合X为无穷集当且仅当X有一子集为可数集