考研数学-第一章--函数与初等数学基础

这里是函数与初等数学基础的知识框架图，清晰有逻辑地整理了函数的五个考点，包括函数的概念、函数的四大特性、基本初等函数的性质及图形、了解常见的函数形式，理解复合函数及分段函数的概念，初等数学常用公式。

函数与初等数学基础

• 考点1 理解函数的概念
• 考点2 了解函数的四大特性
  • 四大特性
    • ❶ 有界性 m≤f(x)≤M
      • 证明有界：⑴利用函数有界性定义对函数取绝对值，然后对不等式进行放缩处理 ⑵根据连续函数的性质→f(x)连续在 [a,b]上有界 ⑶利用导数求最值确定有界 ⑷极限局部有界性
    • ❷ 单调性
    • ❸ 周期性 f( x+T )=f(x)
      • 注：
        • a) f(x)~~T === f(ax+b)~~T/|a| b) f(x)~~g(x)~~T === f(x)±g(x)~~T c) f(x)~~T₁~~g(x)~~T₂ === f(x)±g(x)~~T=T₁与T₂最小公倍数 d) f(x)~~T === f'(x)~~T
    • ❹ 奇偶性
      • a) f(x)=-f(-x) 奇 b) f(x)=f(-x) 偶
        • 运算性质：⑴ 偶+偶=偶，奇+奇=奇 ⑵ 偶×偶=偶，奇×奇=偶 ⑶ 奇×偶=奇
        • 注：
          • a) f(x)=偶+奇
          • b) f(x) 奇 → f'(x) 偶 ----- f(x) 偶 → f'(x) 奇
          • c) f(x) 连续奇 { F(x)偶 }，偶(奇)
          • d) y=f(t) , t=g(x) 奇偶性不同 ☛ y=f[g(x)] 必为偶 ----- 奇偶性相同，与外层函数 f 相同
          • e) 常见特殊奇偶函数
            • 奇
        • 注：
          • f(x) 奇 所有原函数 F(x) 为偶 f(x) 偶 有且仅有一个函数 F(x) 为奇
  • 函数图形的奇偶性与对称性
    • 平面直角坐标系表示的函数图形
      • 适用于 重积分
      • 变量代换
        • 对称性
          • 函数
      • 用 -x 代换 x 用 -y 代换 y 用 -x 代换 x，-y 代换 y 将 x 与 y 交换
        • 函数图形关于 y 轴 对称 函数图形关于 x 轴 对称 函数图形关于 原点 对称 函数图形关于 y=x 对称
          • 偶函数，如函数 y=x² 如函数 x=y² 奇函数，如函数 y=x³ 如函数 xy=1
    • 空间坐标系表示的函数图形
      • 二元连续函数 z=f(x,y) 为空间曲面
      • 变量代换
        • 关于平面或轴对称
      • 用 -z 代换 z 用 -y 代换 y 用 -x 代换 x 用 -x ,-y 代换 x , y 用 -x ,-z 代换 x , z 用 -y ,-z 代换 y , z
        • 函数图形关于 xOy面 对称 函数图形关于 xOz面 对称 函数图形关于 yOz面 对称 函数图形关于 z 轴 对称 函数图形关于 y 轴 对称 函数图形关于 x 轴 对称
• 考点3 掌握基本初等函数的性质及图形
  • ⒈ 常值函数
    • y=C (C为常数)
  • ⒉ 幂函数
  • ⒊ 指数函数
  • ⒋ 对数函数
  • ⒌ 三角函数
    • 函数
      • 1. 正弦函数 y=sin x
        • 2. 余弦函数 y=cos x
          • 3. 正切函数 y=tan x
            • 4. 余切函数 y=cot x
              • 5. 正割函数 y=sec x
                • 6. 余割函数 y=csc x
    • 常用公式
  • ⒍ 反三角函数
    • 函数
      • 1. 反正弦函数 y=arcsin x
        • 2. 反余弦函数 y=arccos x
          • 3. 反正切函数 y=arctan x
            • 4. 反余切函数 y=arccot x
    • 公式
• 考点4 了解常见的函数形式，理解复合函数及分段函数的概念
  • 1. 复合函数
    • 
  • 2. 分段函数
    • 例
      • 绝对值函数
      • 符号函数（克罗内克函数）
        • • 如 x 的绝对值函数 |x| 可表示为 |x|=x · sgn x
      • 取整函数
        • • 取整函数必满足 x-1<[x]≤ x
  • 3. 反函数
    • y=f(x) 的逆映射，即 
      • 坐标系图像关于 y=x 对称
  • 4. 隐函数
    • F(x，y) → y=f(x)
  • 5. 参数方程
    • 设 x=x(t) , y=y(t) t 为参数
    • 几个常见的
      • 星形线
      • 摆线
  • 6. 极坐标
    • r=r(θ) or ρ=ρ(θ)
      • 极坐标与直角坐标关系
    • 几种常用曲线
      • ❶
        • 表示圆心在原点、半径为 a 的圆
      • ❷
        • 表示垂直于 x 轴的直线
      • ❸
        • 表示垂直于 y 轴的直线
      • ❹
        • 表示一条直线
      • ❺ 心形线
      • ❻ 阿基米德螺线
      • ❼ 伯努利双纽线
      • ❽ 玫瑰线
• 考点5 初等数学常用公式
  • 初等代数
  • 初等几何
  • 平面解析几何
  • 立体几何