随机变量及其分布

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随机变量及其分布

• 离散随机变量是指仅取有限或可数个数值的随机变量。例如，掷骰子的点数就是一个离散随机变量。
  • 示例：投掷一枚均匀骰子，其点数X为离散随机变量，可能取得的数值为1、2、3、4、5、6。
    • 示例：设定随机变量X表示掷骰子的点数，则X=1的概率为1/6，X=2的概率为1/6，依此类推。
    • 示例：随机变量X的概率分布函数可以表示为：P(X=x)=1/6，其中x取1到6之间的整数值。
• 连续随机变量是指可以取得无限个数值的随机变量。例如，测量某物体长度的结果就是一个连续随机变量。
  • 示例：测量一根木材的长度，假设木材的长度服从正态分布。
    • 示例：设定随机变量X表示木材的长度，则X为连续随机变量，可以取得的数值为任意实数。
    • 示例：随机变量X的概率密度函数可以表示为：f(x) = 1/(σ√(2π)) * exp(-((x-μ)^2/(2σ^2)))，其中μ和σ为参数。
• 分布是指描述随机变量取值的概率情况的函数或公式。常见的分布包括二项分布、泊松分布、正态分布等。
  • 二项分布是指在n次独立重复试验中成功次数的概率分布。例如，抛硬币的结果就可以用二项分布描述。
    • 示例：进行10次抛硬币实验，设X表示正面出现的次数，则X服从二项分布。
      • 示例：随机变量X的概率函数可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示组合数。
  • 泊松分布是指在一段时间内某事件发生次数的概率分布。例如，一定时间段内收到的邮件数量就可以用泊松分布描述。
    • 示例：某公司的客服人员每小时接到的电话数量服从泊松分布。
      • 示例：随机变量X的概率函数可以表示为：P(X=k) = (λ^k * exp(-λ))/k!，其中λ为平均发生率。
  • 正态分布是指服从正态曲线的连续型分布。正态分布具有对称性和钟形曲线特点。
    • 示例：测量人的身高，其分布大致符合正态分布。
      • 示例：随机变量X的概率密度函数可以表示为：f(x) = 1/(σ√(2π)) * exp(-((x-μ)^2/(2σ^2)))，其中μ和σ为参数。