第三章多维随机变量及其分布思维导图

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第三章 多维随机变量及其分布

• 二维随机变量及其分布
  • 二维随机变量
    • 定义：一般地，设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e}，设X=X{e}和Y=Y{e} 是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量（X,Y），叫做二维随机变 量。
    • 联合分布函数
      • 定义：设（X,Y）是二维随机变量，对于任意实数x,y二元函数 F(x,y)=P(X≤x)∩P(Y≤y) 记作：P(X≤x,Y≤y) （x,y）∈R²
      • 性质：①定义域 D∈R² ②值域 F(x,y)∈（0,1） ③单调不减性（将另一个看做为常数） ④右连续
  • 二维离散型随机变量 （偏导数，二重积分）
    • 联合分布律
      • 解析式法： P(X=xi,Y=yj)=Pij
      • 表格法： 
    • 性质:①：非负性 ②归一性
  • 二维连续型随机变量
    • 联合概率密度：对于二维随机变量（X,Y）的分布函数F（x,y），如果存在非负可积函数f(x,y)使对任意x,y有  则称F（X,Y）是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)称二维随机变量（x,y）的联合概率密度。
    • 性质：①f(x,y)≥0 非负性 ②  ③设点G是XOY平面上的区域，点（x,y）落在区域内的概率为：  ④若f(x,y)在点（x,y）连续，则有（已知分布函数，求密度函数）： 
• 边缘分布 即每个分量的分布
  • 定义：设（X,Y）位二维随机变量F（X,Y）为其联合分布函数  ，称为边缘分布。
  • 离散型二维随机变量
    • 表格： 
    • 解析式:  
  • 二维连续型随机变量边缘密度函数：X的边缘分布密度： Y的边缘分布密度：
    • 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布， 并且都不依赖于参数ρ。
• 条件分布
  • 定义：对于二维随机变量(X，Y)，可以考虑在其中一个随机变量取得(可能的)固定值的条件下，另一随机变量的概率分布，这样得到的X或Y的概率分布叫做条件概率分布，简称条件分布
  • 离散型：为在给定 Y=yj条件下X的条件分布列。 为给定 X=xi条件下Y的分布律。
  • 连续型： 
• 相互独立的随机变量
  • 定义：
  • 离散型：
  • 连续型：X 和 Y 相互独立充分必要条件: 
• 两个随机变量的函数的分布
  • 离散型随机变量
  • 连续型随机变量
    • 和的分布：设随机变量是二维连续型随机变量，它具有 概率密度f(x,y),则Z=X+Y仍为连续型随机变量，其概率密度为： 
      • 又若X和Y相互独立，则可化简为： 
  • 最大值和最小值
    • 条件：X,Y是两个相互独立；分布函数分别为FX(x) 和FY(y)
    • 最大值：
    • 最小值：
    • 推广至n个相互独立的随机变量