导图社区 第三章多维随机变量及其分布思维导图
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第三章 多维随机变量及其分布
二维随机变量及其分布
二维随机变量
定义:一般地,设E是一个随机试验,它的样本空间是S={e},设X=X{e}和Y=Y{e} 是定义在S上的随机变量,由它们构成的一个向量(X,Y),叫做二维随机变 量。
联合分布函数
定义:设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y二元函数 F(x,y)=P(X≤x)∩P(Y≤y) 记作:P(X≤x,Y≤y) (x,y)∈R²
性质:①定义域 D∈R² ②值域 F(x,y)∈(0,1) ③单调不减性(将另一个看做为常数) ④右连续
二维离散型随机变量 (偏导数,二重积分)
联合分布律
解析式法: P(X=xi,Y=yj)=Pij
表格法: 
性质:①:非负性 ②归一性
二维连续型随机变量
联合概率密度:对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y),如果存在非负可积函数f(x,y)使对任意x,y有  则称F(X,Y)是连续型的二维随机变量,函数f(x,y)称二维随机变量(x,y)的联合概率密度。
性质:①f(x,y)≥0 非负性 ②  ③设点G是XOY平面上的区域,点(x,y)落在区域内的概率为:  ④若f(x,y)在点(x,y)连续,则有(已知分布函数,求密度函数): 
边缘分布 即每个分量的分布
定义:设(X,Y)位二维随机变量F(X,Y)为其联合分布函数  ,称为边缘分布。
离散型二维随机变量
表格: 
解析式:  
二维连续型随机变量边缘密度函数:X的边缘分布密度: Y的边缘分布密度:
二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布, 并且都不依赖于参数ρ。
条件分布
定义:对于二维随机变量(X,Y),可以考虑在其中一个随机变量取得(可能的)固定值的条件下,另一随机变量的概率分布,这样得到的X或Y的概率分布叫做条件概率分布,简称条件分布
离散型:为在给定 Y=yj条件下X的条件分布列。 为给定 X=xi条件下Y的分布律。
连续型: 
相互独立的随机变量
定义:
离散型:
连续型:X 和 Y 相互独立充分必要条件: 
两个随机变量的函数的分布
离散型随机变量
连续型随机变量
和的分布:设随机变量是二维连续型随机变量,它具有 概率密度f(x,y),则Z=X+Y仍为连续型随机变量,其概率密度为: 
又若X和Y相互独立,则可化简为: 
最大值和最小值
条件:X,Y是两个相互独立;分布函数分别为FX(x) 和FY(y)
最大值:
最小值:
推广至n个相互独立的随机变量