导图社区 第一章 函数 极限 连续
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第一章 函数 极限 连续
第一节 函数
函数
定义
两个基本要素：定义域，对应关系
复合函数
不是任意两个函数都能复合
反函数
不是每个函数都有反函数
单调函数一定有反函数，反之则不然
恒等映射
基本初等函数
幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
反三角函数
初等函数
函数的性质
单调性
奇偶性（直接运算）
周期性
有界性
有界和无界的定义（在指定范围内）
常考题型
函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定
第二节 极限
极限的概念
数列的极限
定义n（a，伊普西隆，N）
数列极限存在与否与前有限项无关
部分列极限都存在，则数列极限存在
函数的极限
自变量趋于无穷大
定义（伊普西隆，X，A）
自变量趋于有限值
定义（伊普西隆，德尔塔，A）
某点处的极限值与该点值，存不存在无关，与其去心邻域的函数值有关
极限存在的充要条件是左右极限都存在且相等
分界点处的极限
arctan无穷型
e的无穷型
极限的性质
数列（数列收敛，则一定有界）
函数（某点的极限存在则某点的去心邻域有界）
保号性
数列
极限保数列
数列保极限
极限保去心邻域
去心邻域保极限
极限值与无穷小的关系
极限的存在准则
夹逼准则（n项和）
单调有界准则（递推关系）
无穷小量
定义（极限为零）
无穷小的比较
无穷小的性质
有限个无穷小的和是无穷小
有限个无穷小的积是无穷小
无穷小量与有界量的积是无穷小
无穷大量
概念（函数值趋向无穷）
常用的一些无穷大量的比较
无穷大量的性质
两个无穷大量的积任为无穷大量
无穷大量与有界变量之和任为无穷大
无穷大量与无界变量的关系
无穷大量（都很大）
无界变量（仅要求有一项很大即可）
无穷大量必为无界变量，反之则不一定
无穷大量和无穷小量之间的关系
无穷大的倒数是无穷小，无穷小（但不为零）的倒数为无穷大
极限的概念、性质及存在准则
求极限
利用基本极限求极限
常用的基本极限
1的无穷型
利用等价无穷小代换求极限
利用有理运算法则求极限
加减乘除
利用洛必达法则求极限
需要查看是否满足洛必达法则的条件，特别是分母在该点的导数不为零
利用泰勒公式求极限
展开到相减不为零即可，或者看看分子或者分母的阶数
利用夹逼准则求极限
利用单调有界准则求极限
证明单调递增或者单调递减（也可以通过图像性质）
若单增，则求出上界 若单减，则求出下界
设极限等于a，两段都用a代入求解
利用定积分定义求极限
无穷小量阶的比较
洛必达
等价无穷小
泰勒展开
函数的连续性
连续的概念
在某点的领域有定义，且该点有极限且等于该点的值
既左连续又右连续，则函数在该点连续
在（a，b）内连续，若在a处右连续，b处左连续，则函数在[a，b]连续
间断点及其分类
在某点的去心邻域内有定义，但在该点不连续，则该点～
间断点的分类
第一类间断点（左右极限都存在）（两种分类完全）
可去间断点（左极限=右极限）
跳跃间断点（左极限≠右极限）
第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）（两种分类并不完全）
无穷间断点
振荡间断点
连续性的运算与性质
连续函数通过四则运算后在该点仍就连续
两连续函数的复合函数在该点处也连续
基本初等函数在其定义域内都是连续的
初等函数在其定义区间（包含在定义域内）内都是连续的
闭区间上连续函数的性质
最值定理
在闭区间内连续，则必有最大值和最小值
有界性定理
在闭区间上连续，则必有界
介值定理
在闭区间上连续，则必有一个值介于两端点函数值之间
零点定理
闭区间上连续，且两端点函数值相乘小于零，则必有一点的函数值为零
讨论函数的连续性及间断点的性质
有关闭区间上连续函数性质的证明题
