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考研数学-函数、极限、连续
武忠祥、张宇、函数、极限、连续、知识点系统且全面，有助于知识点的理解和记忆，希望对大家有用。
编辑于2024-04-30 12:52:41- 张宇
- 武忠祥
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中心主题
函数、极限、连续
第一节 函数
一、函数概述与常见类型
(一)函数的概念
对于每一个 x∈D， 有一个确定的y与之对应
函数 f(μx)定义域是 a＜x＜b
需要分左右极限求极限
arctan∞、|u|、e^∞、[u]、√(ax²+bx+c) 需要讨论考虑左右邻域
lime^1/x(x→∞)不需要讨论左右直接=1
讨论函数点对应点，性质对应函数整个邻域
(二)复合函数
复合是一种缘分
(1) 复合函数的定义域
①定义域是自变量 x 的范围，复合的两函数定义域的交集不能是空集
考研的重要思路：sinf(x) 看到复合函数就要想到换元法 18p123 单调必有反函数 拿到卷子看题目先看函数是什么，数列是什么
②同一法则内的整体取值范围相同
③如果一个函数=两个函数，则定义域是两个的交集
880p5-8
零点定理两端点
x∈()
(2) 复合函数的单调性
fx 单调增加，gx 单调减少
f(fx)单调增加，g(gx)单调增加，f(gx)单调减少，g(fx)单调减少
18p21p23p24
因为求极限过程中出现分母，所以不与零纠缠
放缩
4’
两个单调增(减)，复合函数单调增
两个函数不同单调性则复合函数单调减
(3) 换元(倒代换、负代换)
①初等函数的变量为根号或分式形式将其换元
②f(狗)考虑令 t=狗，狗是关于变量的式子(复合函数)
狗(f(x))，同理 u=fx，且单调往往涉及反函数
18p123
880p23-5
③为了得到另一个等式联立两个等式得到 2I
④例如 f(1/x)考虑令 x=1/x，e^(1/x)、(1+1/x)～u=1/x
(4) f(f(x)）的分段函数
穿越火线🌟
①画图原函数 y=fx ，再 对 x 轴进行纵切划分 x 区间
②将 x=fx 带入原函数(变量替换)进行以 fx=分段点 区段进行横切
③横切会出现交点，交点使得多出 x 的纵切
④答案为横纵切出来的含函数小矩形
30p22，高辅 p6
(三)反函数
梵高高尔夫打到你，g(fx)，复合函数，导，逆
🌟反正记住我一生单单只爱你
(1)记 t=f(x),x=g(t)→g(fx)=x
g(反函数因变量)=自变量
(2) 反函数导数 g′(t)和 f′(x)互为倒数
反函数二阶导=—二阶导/一阶导³
一生爱你
三阶导 880p15-7
(3) 函数 y=f(x)的反函数 x=f(y)～y=f-(x)
题目要求写什么形式则符号记得对应
如 f-(x)则 y=g(x)
(4) 可应用于复合函数的换元
严格单调函数必有反函数
有反函数不一定单调
如：sinf(x)
18p123，p102
f-(φx)=y→f(y)=φx
复合函数内部自变量脱离出来
变成隐函数方程问题→共创 p19
(四)
(1) 积分中值定理
联系函数和积分的桥梁
(2) 积分介值定理
m(b-a)≤积分≤M(b-a)
(3) 积分的性质
(五)抽象函数
具体化抽象函数使问题简化
二、函数性态
🌟太好了有单双周
(一) 有界性
口诀母鸡下两个蛋到(导)框里面
(1)|f(x)|≤M(M ＞0)
(2) 极限存在必有界
(3)∞取任何路径极限都是∞
∞一定无界，无界不一定∞
正振荡 xsinx
分段
如，xn=n(奇数)，0(偶数)
∞×∞=∞，无界×无界≠无界
只要记住∞是苛刻的无界
小推大(只适用于包含关系)
(4) 判定
5’
①定义
②f(x)在[a,b]上连续→f(x)在闭区间上有界
③f(x)在开区间上连续(可∞)，若左右极限存在→有界
F(x)为 f(x)的闭区间，连续包含连续
高辅 p7
④f’(x)在有限区间上有界→f(x)有界
|fx|=|fx-fxo+fxo|≤|f’ξ||(x-xo)|+|fxo|≤ML+|fxo|（xo 有定义）
拉格朗日
有界放缩夹逼极限→牛顿莱布尼茨变上限
高辅 p7
(二) 单调性
(1) 定义：所有 x1＞x2，f(x1)＞f(x2)
(2) 可导：f’(x)
1)f’(x)＞0→f(x) 单调增
反过来只能推 f’≥0
如：x³
f’(x)→+∞，f(x)→+∞
2)f’(x)≥0⇔f(x)单调增
3)f’(xo)＞0→左小或右 o+ 大(邻域)～x∈xo-0，f(x)＜f(xo)
证明：根据导数定义
极值点和拐点研究某点导数
04
巧记：左低右高
(3) 应用
1) 根的个数
2) 不等式
①fa=0，增→f’＞0
②fa=0，不减→fx≥0
(4) 单调函数必有反函数
复合函数 f(x)=t
sinf(x)dx 换元 f(x)=t
(三) 奇偶性
口诀：人定胜天
①定义：
f(-x)=-f(x)～奇函数
f(-x)=f(x)～偶函数
应用
积分：偶倍奇零
18p15
极限微分：拉格朗日
②复合函数奇偶性：内偶则偶、内奇同外
一偶则偶，两奇才奇
20-3
同样适用变限积分，如果能保证是偶函数式积分则必定是偶函数
③天生奇函数 F(x)=f(x)-f(-x)
天生偶函数 F(x)=f(x)+f(-x)
概念证明
④泰勒 0 点 展开式
偶函数的奇数次导都为 0
奇函数的偶数次导都为 0
～x(x→0)
arctanx、sinx、arcsin、tanx、x/(1+x)、ln(1+x)、e^x-1、ln(x+√1+x²)
ln(x+√1+x²)～sinx～x-1/6x³
解密 p29
(四) 周期性
周起灵挖地窖
①周期与起点无关
相邻两个长度为 T 的区间，函数图形完全一样
一个周期上的积分值不变
积分函数的平移+可拆性→积分的计算
②f(x+T)=f(x)
sin、cos 周期 2π→-π～π，sin2x、|sinx|周期π
③若 f(x)以 T 为周期，则 f(ax+b)以 T/|a|为周期
f(-x)跟 f(x)周期一致
花瓣
④原函数是否是周期函数，只要判定其在一个周期上的定积分是否为 0
对称性 (类比奇偶性)
对于复合函数f[u(x)],如果内层函数u(x)关于区间[a,b]对称,外层一致
如果u(x)关于区间[a,b]中心对称,则f[u(x)]的对称性和外层函数f(x)的奇偶性保持一致
f(x)关于区间[a,b]对称,则∫abf(x)dx=2∫a2a+bf(x)dx
七大重要结论“祖孙三代”～18讲p78 内容涵盖了后面原函数定义 周期为 T 的奇函数的原函数还是以 T 为周期 看到推原函数想到变上限积分+积分的可加性
常见的奇偶函数
三、函数的图像
(一)直角坐标系下
常见图像
基本初等函数
幂函数
①x＞0 时，由 y=x 与 y=√x，y=lnx 具有相同奇偶性，与 1/x 相反
②|u|时，用 u^2 研究最值
多元函数微分学的距离应用题
③1/u 时，用 u 研究最值
④幂指函数，底数＞0
平方开√时会多解，用保号性
18p160
指数函数
指合加减🌟
①e^∞ 研究左右极限
②x^∞研究 |x|不同区间被 1 分割的
③a^x1-a^x2=a^x2[a^(x1-x2)-1]～a^x2(x1-x2)lna（x1-x2 无穷小）🌟
等价无穷小的精度
遇到标准型外还有乘积和加减时候尽量别用等价
答案：e^-1/2
x1^a-x2^a=x2^a[(x1/x2)^a-1]
同指数～高辅 p41
880p20-1
880p22-5
④e^f-e^g～f-g（f-g 无穷小）
要保证是基本型
⑤(1+x)^1/x -e～—ex/2（x→0）
泰勒展开逆用：1-√cosx～-ln(1+√cosx -1)～-1/2ln(cosx)～1/2(1-cosx)
复合指数泰勒
高辅 p42
1-1 有具体的 1 用 ln，没有具体的同类型用分式(e^x-1)
对数函数
①limxlnx
x>0看 x
②ln√x=1/2lnx
③x/1+x＜ln(1+x)＜x，(x→0)
1/1+n＜ln(1+1/n)＜1/n， (n→∞)
证明：拉格朗日/泰勒无穷小
18p13
④ln|x| 求导绝对值视而不见
积分 1/x=lnx
三角函数
口诀渣男三更返三更到，三生三世只爱你一人
正弦余弦
2-√2
正切余切
三角复合函数
sin√x
+nπ-nπ
880p5-9
sin|x|
x=π-u
初等函数
x^x ，xlnx
重要函数图像： ①反双曲正弦函数 ln(x+√(1+x² )及其导数大致趋势像 arctan， ②泰勒展开前两项跟 sinx 一样～奇函数，所以无穷小等价～x 无穷大不能等价高辅 p18 双曲正弦 fx—f-x 反函数互求表达式 p21 x^x，xlnx图像
分段函数
取整函数
x-1<[x]≤x
夹逼定理
绝对值函数
我绝对对你毫无保留世界无法拆分我们
①|x|^∞
|x|=0
0＜|x|≤1
|x|＞1
对比 x^∞
x被 -1、1 分段
②图像
|y| 保留上对称到下，|x|保留右对称到左
880p26-40，张八 3-20
③|f(x)|有界
0≤|f(x)|≤φ(x)
夹逼定理+有界定义→先斩后奏适用于不确定单调性的复合函数
④求导
平方加根号
⑤拆分求导型
最值函数
max{}
分段函数的不定积分(原函数)
880p23-1
伽马函数/泊松积分
口诀义父函数
积分 0～∞，e^-x²dx=√π/2
(-√2/2,√2/2)，f”＜0，为凸区间
张八 3-17
图像变化
平移变换
左加右减
对称变换
关于点(a,0)对称
f(a+x)=—f(a-x)
关于直线 x=a 对称
f(a+x)=f(a-x)
y=|f(x)|
保留上对称到下
880p26-40
若是能画出 f(x)的图像则可以研究其|f(x)|的极值等图像信息
f(x)如果是多项式乘积则可以通过穿针引线画图
武忠祥严选题～一元微分的错题
y=f(|x|)
保留右对称到左
伸缩变换
y=f(kx)
横坐标缩短到原来的 1/k
y=kf(x)
平面直线表达式
点斜式
y-yo=k(x-xo)
截距式
x/a+y/b=1
椭圆公式
x²/a²+y²/b²=1→面积 s=πab
两点式
(y-y1)/(y-y2)=(x-x1)/(x-x2)
(二)极坐标系下
描点法画常见图像
找几个特殊值连成光滑曲线
心形线
r=a(1-cosθ)，减号朝左边
玫瑰线
r=asin3θ
2π被切成 3 瓣
阿基米德螺旋线
r=aθ
伯努利双纽线
r²=a²cos2θ
(x²+y²)²=a²(x²-y²)
r²=a²sin2θ
面积 880p23-4
平移伸缩变化较轻易画出直角坐标系观点下 r=f(θ)，再转化成极坐标
30p12
(三)参数方程下
摆线
一个圆沿着一条定直线作纯滚动，圆周上一个定点的轨迹
x=r(t-sint)
y=r(1-cost)
星形线
小圆在大圆内部滚动
x=rcos³t
x=0，t=π/2 x=a，t=0
880p21-19
y=rsin³t
四、常用基础知识
(一) 数列极限
等差数列、等比数列
通项公式，前 n 项和
常见数列前 n 项和
1/k(k+1)
应用到数列收敛
单调有界
已知新数列求原数列 yn=xn+1-xn
φ(x)=f(x1)-f(x2) 通过类推左右相加互相抵消得到 xn
高阶→低阶递推法
880p5-5，p5-8
前 n 项和
分母相乘变成相差
(二) 三角函数
诱导公式
奇变偶不变 、符号看(原函数)象限
遇到 1-sinx 可以用诱导公式 1-cos(π/2-x)
cos 和 1 的关系可以用泰勒
sin 和 x 的关系
sinx=sin(π-x)
arcsin(sinx)=x，x∈(-π/2,π/2)
arcsin(sinx)=π-x，x∈(π/2,3π/2)🌟
880p34-7
cos(arccosx)=x
倍角公式
sin2a=2sincos
极限运算，使得无法泰勒展开的 sincos 转化成 sin2a 进行展开
cos2a=cos²-sin²=1-2sin²=2cos²-1
适用于根号条件下
880p23-6
降幂公式
cos2a=cos²-sin²=1-2sin²=2cos²-1
适用于无法华里士公式的定积分运算
880p19-4
(sin+cos)²’=2(cos²-sin²)，用于 rdr 积分 dθ二重积分
便于使用泰勒
和差公式
1+tan²a=sec²a
sin(a±β)=sinacosβ±cosasinβ
cos(a±β)=cosacosβ-+sinasinβ
√三角
√sinx 的定义域[2kπ,(2k+1)π]，所以积分区间
t=x-2kπ
880p26-34
(三) 指数运算法则
指合加减
e 的 抬起法： 遇到 u^v 考虑用 e^vlnu
e^a-e^b=e^(a-b)
1^∞考虑两个重要极限
(四) 对数运算法则
对合乘除🌟
积的对数=对数的和
ln(1+e^x)=lne^x·ln(1+e^-x)=x+ln(1+e^-x)
斜渐近线提 x 化∞为 0 多项式形式即可泰勒展开
商的对数=对数的差
拉格朗日 f-f
ln(1+1/x)～含分式的对数
幂的对数=对数的倍数
logaM^n=nlogaM
lny=xlnx→lny=ln(x^x)
ln 的指数化去掉两端 ln
ln√x=1/2lnx
ln 的添加
当看到 lnfx-x 时候将 x 进行 ln 化=lne^x
张八 3-6
微分方程解出 y=φ(lnx)+lnc
外面的加减变成里面的乘除，外面的系数变成里面的指数
在反常积分的计算中对数的加减最终都得化成对数的乘积(因为可能两分散的乘积收敛)
高辅 p127
(五) 一元二次方程基础
根的公式
韦达定理
判别式
b²-4ac～二阶齐次常系数微分方程解的判定中涉及解的性质问题
(六) 因式分解公式
①分母如果可因式分解考虑裂项相消
xn(xn+1)=xn^2+xn，取倒数 1/(x(n+1))=1/xn-1/(xn+1)
可因式分解不在分母的等式可以互相取倒数
主要看所求极限，尽量往它身上靠
分母两个因式差为分子
分母两个因式和为分子
880p20-1
②分子有理化，根号差
加一项减一项
sin√x→sin√x -nπ+nπ
(-1)ⁿ√分子有理化
n 次方差求高阶导⑧
880p10-15
分子的次方数高则凑出分母部分，假分式→真分式
分母为(1+x )分子为 1 或 x
假分式
乘一项除一项
(1+x)(1+x²)…(1+x²ⁿ)
1-x→凑平方差
880p6-14
导数定义
共轭根式
去构造个根式作为分母的等式相当于两个条件
取倒数
y=ln(1+√x²+1)反函数 y-=(e^x-e^-x)/2🌟
30p21，张宇 8-1,2-19
反过来的话用求根公式
③ 因式分解公式：三次三项式
A(x-a)(x-b)(x-c) ，保证每一项=0
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
出现 3 次方或者三的倍数次方
出现三项
高阶导数，两元素乘积适合莱布尼茨公式
二项式定理
(七) 阶乘与双阶乘
华里式双阶乘
(八) 常用不等式🌟
10.宜家着火了火势到二楼，火警进到宜家火里头灭火火势减少了一些
① 取整函数： x-1<[x]≤x
夹逼定理
②|a±b|≤|a|+|b|
a-b≤|a-b|～绝对值去除(常见不等式)
③几何平均值≤算术平均值≤立方根
√ab≤(a+b)/2≤√(a²+b²)/2
|ab|≤(a²+b²)/2
un＞0
凹凸性～√f(a)f(b)≤f(a+b/2)凸
有界×有界考虑放缩
见到两个正数 2ab≤a²+b²
18p18
④泰勒相关
连续可导 18p13，880p6-13
积分放缩
函数
系数
已知不等式
区间
⑤ 2/π＜sinx＜x～积分中值定理积分的脱去
23-2-3
⑥1/k²…＜1/k(k-1)…，具体数列存在分母为平方时候
(九) 神秘的数字
0、1
①若 f(a)=0 则 f(b)→拉格朗日
②若 1=eº则 e^b-1=fb-f0～b-0
limx^(1/x)-1～lnx/x
③若 x>0 证明 f(x)>f(1)x，令 Fx=fx/x
④函数 f(x)～ x 的都是奇函数→f(0)=0
(十) 反证法
如证明 limf(x)=a，则先证明其极限存在，然后用反证法≠a 与条件矛盾
(十一) 假分式
分子最高次与分母同次
添凑个分母出来消掉高次🌟
高阶导 18p39
(十二) 小题技巧
出现一般函数→构造符合条件的函数或数列
例证法(排除法)
例如知道 f 及其导数
f”(x)＞0 取 e^x， 880p22-4
f(x)≥某函数(或≤)，看看能不能直接=满足题目条件，880p22-2
数列同样可以，如 an=1/n 单调递减 limn→∞=0
22-3
知道导数信息求函数信息(不知道函数是否连续情况下)
解密 p40～排除法构造个该点分段函数
二、题型方法
题型一 复合函数
定义域
(1) 复合函数的定义域
①定义域是自变量 x 的范围，复合的两函数定义域的交集不能是空集
②同一法则内的整体取值范围相同
③如果一个函数=两个函数，则定义域是两个的交集
分段函数：已知 f(x)求 f(fx)
题型二 函数性态
🌟太好了有单双周
四大基本性态的判定
(一)有界性
口诀母鸡下蛋下到框里
①定义
②f(x)在[a,b]上连续→f(x)在闭区间上有界
③f(x)在开区间上连续(可∞)，若左右极限存在→有界
F(x)为 f(x)的闭区间，连续包含连续
高辅 p7，高解 p3
④f’(x)在有限区间上有界→f(x)有界
|fx|=|fx-fxo+fxo|≤|f’ξ||(x-xo)|+|fxo|≤ML+|fxo|（xo 有定义）
拉格朗日
有界放缩夹逼极限→牛顿莱布尼茨变上限
(二)奇偶性
(1)利用定义
f(-x)=-f(x)～奇函数
f(-x)=f(x)～偶函数
(2)利用导数
奇函数的导数和原函数都是偶函数
偶函数的导数和一个原函数是奇函数
原函数前提得是连续函数
判断图像时看到函数的第一步
如果是奇函数，对称区间为 0
如果是偶函数，对称区间为 2 面积，单调性间断点只要研究一侧
18p15
(三)单调性
(1)利用定义
(2) 利用导数
(1)f’(x)＞0→f(x) 单调增
反过来只能推 f’≥0
如：x³
95-3
f’(x)→+∞，f(x)→+∞
(2)f’(x)≥0⇔f(x)单调增
(3)f’(xo)＞0→左小或右 o+ 大(邻域)～x∈xo-0，f(x)＞f(xo)
根据导数定义
极值点和拐点研究某点导数
(四)周期性
(1)利用定义
(2)可导的周期函数，其导函数也是周期函数
高密 p4
(3)周期函数的原函数是周期函数的充要条件是其在一个周期上的积分为 0
第二节 极限
一、基本知识
(一)极限的概念
五条悟的无量空处
1. 数列极限
(1) 定义(数列极限与前面的有限项 N 无关)
limxn=a⇔所有ε＞0，存在 N∈N+，当 n＞N 时，恒有|xn-a|＜ε
数列极限存在⇔所有小领域＞0，存在正向数列，无限逼近时，恒有数列和极限值的距离依然＜领域
30p27
22-3
最值极限定义：领域内存在某值＞极限值⇔数列存在最大值
某值可以代值
巧记：某点＞领域极限说明存在最大值
二元领域则需要研究 x 和 y 的极限
极限值＞某点值→有最小值 极限值＜某点值→最大值
880p31-17
数列收敛一定存在最值
选个具体数列 an=1/n，bn=-1/n
(2) 几何意义：对于a点的任何e邻域即开区间(a-ε，a+ε)，一定存在N， 当n＞N即第N项以后的点xn，都落在开区间(a-ε，a+ε)内，而只有有限个(最多有N个)在这区间之外.
(3) 数列(x)的极限是否存在，如果存在极限值等于多少，与数列的前有限项无关.
(3) 奇偶分段
limxn=a 充要条件是 limx2k-1=limx2k=a
X2k+1，x2k 奇偶极限都存在推出极限存在
2. 函数极限
(1)自变量趋于无穷大时函数的极限
①x→+∞，limf(x)=A：所有 ε＞0，存在 X(ε)＞0，当x＞X时，有|f(x)-A|＜ε.
②x→-∞，limf(x)=A：所有 ε＞0，存在 X(ε)＞0，当x＜-X时，有|f(x)-A|＜ε.
③x→∞，limf(x)=A：所有 ε＞0，存在 X(ε)＞0，当|x|＞X时，有|f(x)-A|＜ε.
④注：在函数极限中x→∞是指|x|→+∞，而在数列极限中，n→∞是指n→+∞.
定理，x 趋向于∞ 的极限存在即趋向于正负都存在
(2)自变量趋于有限值时函数的极限
①x→xo，limf(x)=A：所有ε＞0，存在 δ(ε)＞0，当 0<|x-xo|<δ时，有|f(x)-A|＜ε.
xo 的去心邻域
②左极限：limx→xo-
右极限：limx→xo+
(3) 需要分左右极限求极限
arctan∞、|u|、e^∞、[u]、√(ax²+bx+c) 需要讨论考虑左右邻域
lime^1/x(x→∞)不需要讨论左右直接=1
左右极限存在且相等该点极限存在
巧记：将极限 lim 想象成一个框
=对应保号性，| |对应邻域
保号性保去心邻域，连续则保邻域
3. 归结原则（海涅定理）🌟
任何去心以 xo 说明这个人单调
n→∞，x→正无穷 任何去心邻域以 xo 为极限 等价于单调 limf(xn)=A，且 f(x)单调→limf(x)=A 单调可用导数判断
n→∞limxn=0 即 n→∞limf(xn)=x→0limf(x)
高辅 p37
离散的点单调则能连成线极限下能平均对应函数的极限
08
函数极值最值等性质， 0/0 需要洛必达法则，出现 n→∞时 f(1/n)之类问题时候考虑归结原则
660p41-113
∞·0→倒代换→∞—∞(无分母)，e^f—e^g=f-g(f-g 无穷小) ln(1+rx)/r-x～0 18p46
(二)极限的性质
5’
1. 局部有界性
①｛Xn｝有界，即存在 M＞0，使得|Xn|≤M
②若 limx→xof(x)存在，则 f(x)在点xo 某去心邻域内有界
2. 保号性
①x→xo，limf(x)=A：若 A>0→ 所有ε＞0，存在 δ(ε)＞0，当 0<|x-xo|<δ时，f(x)>0
xo 的去心邻域
连续则保邻域
带帽法则：所有ε＞0，存在 δ(ε)＞0，当 0<|x-xo|<δ时，f(x)≥0→A≥0
②n→∞，lim xn=a＞0→n＞N+，xn＞0（极限的去除，保后不保前）
lim 就是=
③保序性只能保对应邻域不能保任意
n＞N
④ 极限对应的是一定邻域的保号□
可以实现等式不等化
从而能够使用闭区间连续函数相关定理
涉及：极限定义(商的法则)，极限的唯一性，积分保号性，零点定理找点
3. 极限与无穷小之间的关系
limxn=A 充要条件 f(x)=A+a(x)，其中 lima(x)=0
已知一个极限求另一个极限
4. 与收敛的关系
若数列收敛，则其任何子列都收敛
Sn 有界一定 an 收敛
反之不成立
因为 Sn 是 n 个 an
an 收敛，有最大或最小值
5. 唯一性
数列存在且=a，a是唯一的
极限值是个常数 A
已知函数=极限函数求函数 f(x)
类似积分值等于 A
(三)极限存在准则
夹逼准则
① an<xn<bn，(绝对值函数自带＞0)
②两端极限存在
单调有界准则
(四) 无穷小
无穷小的概念
无穷小定义
如果当 x 趋于 xo 或∞，函数 fx 的极限为 0
2. 无穷小的比较
无穷小比阶 高阶无穷小 低阶无穷小 同阶无穷小 k 阶无穷小 等价无穷小
limβ/a=c→β～ca(a→0)
3. 无穷小的性质
①有限个无穷小的和仍是无穷小
无穷小相加减低阶吸收高阶
18p140
②有限个无穷小的积仍是无穷小
③无穷小量与有界量的积仍是无穷小
上述的有限两个字必不可少
4. 等价无穷小
当 x→0 时
x～
arctanx、sinx、arcsin、tanx、x/(1+x)、ln(1+x)、e^x-1、ln(x+√1+x²)
1-cosx～1/2·x²，1-cosⁿx～n/2·x²
(1+x)ⁿ-1～nx(n≠0)
a^x-1～xlna(a＞0 且 a≠0)
5. 两个重要极限
常数在被积函数位置为 0 阶
基本型才能等价即不做任何运算
(五)无穷大
1. 无穷大的概念
若limf(x)=∞(或limf(x)=∞)，则称f(x)为x→xo(或x→∞)时的无穷大
2. 常用的一些无穷大的比较
无穷大速度：当n→∞时，lnⁱn<n<aⁿ<n!<nⁿ(其中a＞0，β＞0，a＞1).
无穷大比较∞速度：对数＜幂＜指＜阶乘＜幂指
证明：洛必达
抓大头不适用于复合函数，例如 sin√
3. 无穷大与无界变量的关系
无穷大→无界变量
如，xn=n(奇数)，0(偶数)
无穷大量一定是无界变量；但无界变量不一定是无穷大量.
4. 无穷大与无穷小的关系
互为倒数，但无穷小≠0
无穷小≠0，无穷大才有意义
二、题型方法
题型一 极限的概念、性质及存在准则
(一)极限存在运算表格法
极限存在与否表格法与两函数间关系 巧记：①乘法想象成复制右下角到上下两格 ②除法想象成J型指纹拖动
极限存在必有界即可积
f+g 极限存在(f和g 可能都存在或都不存在)可以推出 f-g=f+g-2g 极限不存在
两极限存在才能极限拆分
化简先行：不含极限下的变量和不含积分变量的独立部分要提出去
第一个表格的不确定是数列产生的
可以通过夹逼到具体的a 或者单调→离散型变成连续型
高密 p20
(二)定义反证
limxn=a⇔所有ε＞0，存在 N∈N+，当 n＞N 时，恒有|xn-a|＜ε
数列极限定义反证 n 邻域 N： ①用于证明抽象函数的极限=A ②欲使任意给定ε(尺度)成立～|Xn-A|＜ε＞0， ③存在 N∈N+，取 N=取整函数+1 ④当 n 充分大时， n＞N
30p27
(三)极限与收敛的关系
与收敛的关系
若数列收敛，则其任何子列都收敛
收敛缩小一定收敛，发散放大一定发散
类似线性代数方程组自由变量越少限制越多
Sn 有界一定 an 收敛
反之不成立
因为 Sn 是 n 个 an
(四)证明数列收敛
单调有界准则
夹逼定理
题型二 求极限
(一)求极限的常用方法
求 j 陷，剪掉 ji 用比夹住丁丁屌
🌟击落泰罗和迪迦到街上
法 1.2 化简先行
只有满足乘除关系
🌟确定李佳琦判刑
(一)利用有理运算法则求极限
极限定义
及时提出极限非零因子
无穷可以提到 lim 后
无穷-无穷
两极限存在才可以拆
lim(A+B)=a，即 lim 里的 A 如果存在 B 也存在
等价无穷小代换的原则
乘除关系可以换
加减关系在互不抵消条件下可以换
(二)等价无穷小替换
阶数问题
①常用的等价无穷小
当 x→0 时
x～
arctanx、sinx、arcsin、tanx、x/(1+x)、ln(1+x)、e^x-1、ln(x+√1+x²)
ln(x+√1+x²)～sinx～x-1/6x³
1-cosx～1/2·x²，1-cosⁿx～n/2·x²
(1+x)ⁿ-1～nx(n≠0)
a^x-1～xlna(a＞0 且 a≠0)
拉格朗日形式(f-f)
e^f-e^g～f-g(f-g 无穷小)注意无穷小才能等价
a^x1-a^x2=a^x2[a^(x1-x2)-1]～a^x2·(x1-x2)lna(x 无穷小)
极限题等价无穷小善用
不要直接等价成(x1-x2)lna（可用于客观题）
x1^a-x2^a=x2^a[(x1/x2)^a-1]
同指数～高辅 p41
880p20-1
880p22-5
(1+x)^(1/x)-e～ex/2
同名函数做差也可以拉+夹逼
②复合函数
f[g(x)]～a[g(x)]ⁱ～a(bxⁿ)i
就是等价套等价
③变上限积分
(被积函数等价无穷小+1 )×上限无穷小(x～1)
④复合函数和变上限积分
(被积函数等价无穷小+1 )×上限无穷小
只有无穷小才+1
⑤推广型
lim的fx不趋向于0
极限条件下被积函数=常数 的变限积分等价无穷小问题
变限积分无穷小比阶 极限=非零常数 A 极限情况下讨论是否等价还是看张宇 2024
数值即没有阶
⑥ 变限积分的无穷小阶数问题 (无法判断前面系数)
上限为变量
被积函数 x 等价于常数 1 阶数为 0
被积函数出现求导变量且跟积分变量是加减形式需要换元
求导变量跟积分变量是乘积的形式，上下限夹逼
上下限都是变量
积分上下限阶数不同
加减低阶吸收高阶
相同的话
积分中值定理
被积函数夹逼
只有上下等价才能夹得住
注意与前者区别被积函数阶数没有加一
武神每日一题的 变限积分无穷小比阶(无法判断是否等价) 积分中值适合具体函数提出的是常数或求导变量 该中值可以夹逼定理 高辅 p41
(三)恒等变形
🌟永恒姻缘牛郎织女
①提取公因式
碰到渣男前先看看姻缘
非零因子
求导变量以乘积形式存在可以提出积分外，就不需要换元共创 p47
e^(x-t)=e^x/e^t
方程的恒等变形→求导前参变分离，求导后能判断正负的集合
共创 p31 含参最值
②换元(倒代换、负代换)
①初等函数的变量为根号或分式形式将其换元
②f(狗)考虑令 t=狗，狗是关于变量的式子(复合函数)
③为了得到另一个等式联立两个等式得到 2I
④例如 f(1/x)考虑令 x=1/x，e^(1/x)、(1+1/x)、xf(1/x)～u=1/x
18p46，880p3-1(一般是 x→∞)
③有一个有分母通分
△稳定结构
扩上缩下
上下同乘 x^n-1
无计可施，考虑上下翻转若极限=1 即可
18p21
没有分母创造分母
将乘积部分的倒数置于分母
比如：limnf(x)→limf(x)/n^-1
适用于导数定义的拼凑、
无穷小条件使用
如与 x 等价则除以 x=a
共创 p10
④用公式
因式分解
分母可因式分解，裂项相消
无分母，取倒数🌟
880p6-17
√-√根号差
①分子有理化
本质就是分式化
ln(x+√1+x²)→-ln(x+√1+x²)→ln1/(x+√1+x²)～对数形式的分子有理化，🌟
30p21
sinπ√n→sinπ√n-nπ+nπ=(-1)ⁿsinπ√n-nπ～sin 的分子有理化
880p6-13
②(1+x)^a-1(x→0)
x^a-x^b(a-b=0)
③无敌泰勒
(1+x)^a～1+ax+a(a-1)x²/2
⑤用定理
拉疯牛泰裤辣
牛顿莱布尼茨、拉格朗日、积分中值、泰勒公式
难，中值相关的都是通过区间的中值不等式往往涉及复合函数
❹与拉格朗日区别🌟
拉格朗日：区间可导→f 和 f′，fb-fa(fa=0)，可等可不等中值ξη
泰勒与拉格朗日区别
具体点信息＜2 但阶数＞2 选择泰勒，二阶导首选但得保证在具体点能展开
具体点信息和阶数都＞2 选择拉格朗日
莱布尼茨：区间可导→ f 和 f′，fb-fa(fa=0)，极限积分Σ不等放缩有界
遇到 f-f 不涉及导数还需要考虑裂项相消(平方)
导数定义：仅需某点可导
开区间+极限→有界即一定区间，一定区间连续则可以用介值和积分相关定理
30p93
概要
法 3 利用基本极限求极限
常用的基本极限 x^n a^x🌟
①多项式分式
n→∞，高阶吸收低阶
反常积分散敛性出现多项式之和，张八-1-3
n→0，低阶吸收高阶
②x^∞→x 被 1 分段🌟
0，|x|＜1
∞，|x|＞1
∞可以写成具体的
1，x=1
不存在，x=-1
分子能不能凑出个 0(无穷小乘以有界)
880p3-8
先要找无定义点
x^-∞还得分 0
xn^∞没有以上性质
夹逼准则
(-1)^∞运算不一定不存在，看是否能提取个=0
(-1)ⁿ=(-1)-ⁿ
③x→0，xⁿ
∞不存在，n＜0
0 存在，n≥0
880p11-7p15-5
无穷小的正数次幂为无穷小
④x→∞，limx^alnx 存在，a≤0
880p2-4
跟万能极限法区别：不需要跑分母去，不跟 1 比跟 0 比，可以=
法 4 利用洛必达法则求极限
洛必达法则
①极限是 0/0 或者无穷比无穷
②分子分母都可导(∞和 0 加减)
③极限结果为 0、c、无穷
④函数极限才能用洛必达，考虑海涅
注意条件要可导且连续
二阶可导只能洛一次
ln(x+ln√1+x²)的导数=1/√1+x²
失效
泰勒
极限的定义
遇到 f(a+bx)注意 f(a)=0 可以凑极限定义
保号性
法 5 利用泰勒公式求极限
可以直接代入使用 广义化应用
①展开原则：
标准化🌟
ln(2-x)→ln2+ln(1-x/2)
斜渐近线 x→∞，1/x→0
遇到 f(∞) 一般先提 x 出来
√(1+x²)→|x|√(1+1/x²)
ln(1+e^x)=lne^x·ln(1+e^-x)
上下同阶～分母 k 次幂，分子展开 k 次幂
幂次最低～展开至系数不相等的 x 的最低次幂
②适合 x→a
①多项式加减
分子有理化的根式加减
(1+x)^a～1+ax+a(a-1)x²/2
23-3
含参则只展开不含参的
② 已知极限求另一极限
x→0，limf(x)=A→f(x)=A+o(x^k)，x^k 为 f(x)的高阶无穷小
③涉及 f、f’、f”的微分方程的等价无穷小
涉及 xo 该点函数信息→泰勒展开
880-3-4
法 6 利用夹逼准则求极限
(1)证明什么
两个不等式 一个不等式另一个是常用不等式 夹逼极巴抽不出来(极限、抽象函数、不等式)
①对 xn 放缩：yn≤xn≤zn (Xn 为绝对值自带＞0)
若出现第一小题两个不等式第二题求极限首考虑夹逼
②区别
与单调有界区别
因为可以直接算出极限了所以只证明收敛或极限存在只要用单调有界准则
与定积分区别
取极限时， n 项和，次级项可以被忽略
两者合用：高辅 p32
含有可以忽略的变量
求出变量的区间再夹逼
18p82
③极限趋于抽象常数或 0
证明极限=a
取绝对值辅助函数|xn-a|，证明|xn-a|→0(n→∞)即证
定义法(先斩后奏)
18-p20，
与零点区别：零点定理得辅助函数两端值相同
适合已知具体点信息
(2)怎么证
①用基本放缩方法
n·umin≤u1+u2…+un≤n·umax
当 ui≥0 时，1·umax≤u1+u2…+un≤n·umax
880p5-4
定义递推法：|xn-a| ≤ A|xn-1-a| ≤ A²|xn-2-A|≤A^n-1|x1-a|→0，(0＜A＜1)
复合函数一般需要构造个 xn-1 的递推关系去研究自变量的性态
②题设条件
往往和积分中值组合拳
积分中值上下限同阶→夹逼控制ξ中值
法 7 利用定积分定义求极限
积分与区域划分方法无关，但取极限时最大分片趋于零而不是份数趋于无穷 函数有界是函数可积的必要条件 定积分在[0, 1]上积分与n项和的转换 函数可积（定积和变限积分）不一定存在原函数（不定积分） 无穷无界无定积
定积分定义类型
基本型（能凑i/n）
放缩型（凑不成i/n）
夹逼准则i可以忽略（阶数低于n）
放缩后再凑 i/n
通项( i²+1)/n²
(i/n)²＜( i²+1)/n²＜( i+1)²/n²
Σ上下换元
i=1→n
i=0→n-1
变量型（f(t)）
18p82
注意积分变量换主人
凑定积分步骤
1/n 的 1 是 i 前面的系数🌟
先提 1/n
1/n→dx
张八 7-17
如果 i 前面是 a，提出去的则是 a/n，到时候定积分上限就是 a
先提可爱因子 1/n
再凑出 i/n
i/n=x→f(i/n)只含 i/n 的函数
定积分 x 可以是区间[ (i-1)/n，i/n ]内的任何点
如 i/n、i-1/n、(2i-1)/2n、3i-2/3n～其实就是 i/n-(≤1 的数)即可
660—113
limΣ即积分符号
法 8 利用单调有界准则求极限🌟
1. 单调是证：Xn+1 与 Xn 的大小关系
题目给的或已经求得 Xn 的具体信息(关于 n 的等式或 xn 有界)
(1)Xn+1-Xn
有时候见到 n 的式子需要自己设 xn=该式子
(2)Xn+1/Xn
已知有界情况下乘积关系首选
知道递推式①②
利用数列的等差等比求出对应 Xn 的表达式
(3)xn 有界下的复合函数求 lim
18p22-24
F(xn)单调性+F(xn)和 F(xn-1)的大小比较→xn 和 xn-1 大小比较即 xn 单调性
①已知 F(xn)单调性
构造F(xn-1)
②等式隐藏单调性
分离有条件的到一端
涉及具体函数具体信息
F(xn+1)/F(xn)～还涉及 xn 的乘除
拉格朗日
右边拉：右边= e’^ξ因ξ＜xn 所以在区间内 xn+1＜xn 880p6-13
xncosxn+1=sinxn
神秘的数字 0 和 1
别与 0 纠缠→分母、数列极限夹逼(xnⁿ=1)
题目给了抽象信息(Xn 和 Xn+1 等式)
(1) 用已知不等式(构造函数)
没给 x1、x2 等式信息(与数学归纳法区别)
x1 不等式信息可以推的两个正数乘积 2ab≤a²+b²
880p6-11
拉格朗日～e^x-1=f’(ξ)x=e^ξx，880p6-13🌟
已知有界情况下，涉及 xn+1-xn，xn+1/xn 处理过程中使用不等式
(2) 题设提示(数学归纳法)
x1、x2 等式信息
30p32
与有界的归纳区别在于需要构建两个不等号：如 xk＞xk-1＞0
若递推过程出现分母为 xn 的还需要隔断 0
xn 递推式(两步)
①（归纳奠基）证明当n=no(no∈N*)时命题成立(no 一般是 n=1)，利用递推式知道 x2 与 x1 的不等式关系(及跟 0 比较)
如：x2＞x1＞0
②（归纳递推）假设当n=k(k∈N*，k>no)时命题成立(对应①中的不等式关系→xk、xk-1 )，证明当n=k+1时命题也成立.
如：xk＞xk-1＞0→xk+1＞xk＞0
最后，数列{xn}有单调递增(递减)
(3)Xn+1=f(Xn)(无 Xn 不等式)🌟
令 f(x)=φ(x)=f(xn)
求导后不看 xn 区间就看函数正负
若无严格正负则失效
这种情况考虑做差和不等式
f’(Xn)＞0
｛xn｝ 单调
可以求就直接求导不要犹豫
x2＞x1
单增
x2＜x1
单减
无 x1，x2
单调性很难判定增减
先斩后奏
f’(Xn)＜0
｛xn｝ 不单调
先斩后奏
令 limxn=a，代入递推式能解即解
证明仍然用 a 表示
证明有界=极限存在→定义法
即证明|Xn-a|≤M
这里的 a 要匹配到递推式右边的变量代换的 a 式子
递推放缩法
涉及 x1 的具体信息(等或不等)
可推得 xn+1= f(xn)对应的 xn 式子
两端取极限→夹逼准则
中介法
涉及 f(x)或导数的相关信息(等或不等)
牛顿莱布尼茨
反常积分收敛
绝对值放缩
取绝对值匹配条件
绝对值不等式的放缩到 M 是确定具体的
18p20，高辅 p37
总结
一般来说，当数列不具有单调性或单调性很难判定时候用直接计算法
区别在于具体函数可以算出有界的界即 a
2. 有界是证：a＜Xn ＜b
(1) 数学归纳法(有 x1、x2 不等式信息)
归纳法是低价到高阶
可按两步骤
①（归纳奠基）证明当n=no(no∈N*)时命题成立(no 一般是 n=1)，利用递推式知道 x2 与 x1 的不等式关系(及跟 0 比较)
如：x2＞x1＞0
一般这个 0 是 f(0)=0 时
②（归纳递推）假设当n=k(k∈N*，k>no)时命题成立(对应①中的不等式关系→xk、xk-1 )，证明当n=k+1时命题也成立.
如：xk＞xk-1＞0→xk+1＞xk＞0
证明有界性只需要的知 xn 的不等式，单调性还需要知道 xk 和 xk-1 的不等式
最后，xn＜a(＞b) 数列{xn}有上界(下界)
880p6-13
归纳完求单调性
复合函数单调性具体型想到拉格朗日
神奇的 01
具体数值
归纳法
知道单调性取其对应界，如：单调递增取上界，x1＜a 即可用归纳法
880p3-10
归纳法式先斩后奏适合不含分母的递推式🌟
x1=1/2→x1＞0
已知单调性就需要知道有界性
23-2-3
(2) Xn+1=f(Xn)递推式
①先令 limxn=a
直接计算极限即 xn+1=xn=a
xn+1≤a （直接写答案）
若本身这个 f(xn)存在定义域就递推时候无分母则直接下答案共创 48
a 算出来不用诶就是玩
a 如果有两个根据保号性消去一个
②定义法→证明🌟
递推放缩法
递推法高阶到低阶
0≤|xn-a| ≤ A|xn-1-f(a)| ≤ A²|xn-2-f(a)|≤A^n-1|x1-f(a)|→0，(0＜A＜1，n→∞)
xn+1=f(xn)，f’(x)＜0
即不具备单调性
23-2-3
A 为 xn-a=A|xn-1-a|这个过程中产生的分母
放缩过程分母要通过含 xn 整体的不等式转变成具体含 n 次
高辅 p36 例 2 方法二
n→∞时 xn+1=xn
xn+1 的条件更好用则不需要转化成 xn
极限值 a 也得匹配 f(a)，即式子中的 x 用 a 表示
夹逼和单调有界的合体
高辅 p37
18-p20
步骤(中介法)
建立 xn 和 f(xn)的关系
|xn-a|=|f(xn-1)-a|，通过 f(x)的不等式推导出|xn-a|与具体值的不等式
f(xn)→xn 不等信息转换
f’(x)不等式信息→变上限牛顿莱布尼茨
牛顿莱布尼茨变上限以及其他的中值定理注意区间的选择→条件丰富的小区间
❹与拉格朗日区别
拉格朗日：涉及 f 和 f′，fb-fa(fa=0)，可等可不等中值ξη
泰勒与拉格朗日区别
具体点信息＜2 但阶数＞2 选择泰勒
具体点信息和阶数都＞2 选择拉格朗日
30p93
莱布尼茨：涉及 f 和 f′，fb-fa(fa=0)，极限积分Σ不等放缩有界
遇到 f-f 不涉及导数还需要考虑裂项相消(平方)
高辅 p37 例 5，18p13p20
③|Xn|≤M
两端取极限→夹逼准则
可以这样🤔：抽象的问题得用定义解决
高辅p37 例 4 例 5，18p20
880p3-10
18p20 是②③题型结合通过条件结合
(3) 有界第一个想到得使用：常见不等式+放缩
往往是已知单调后去求上/下界
下界大于号
30p29
上下分式→提取公因式
上界小于号
3. 极限存在=A
①不妨设极限=A
②将关于 Xn 和 Xn+1 的等式两边取极限
③解得 A 的取值如果不唯一则涉及保号性即呼应题设 Xn
④单调有界数列必有极限
收敛
数列是离散的点因为单调所以可以连成线在极限条件下近似对应函数极限
数列如果是初等函数条件下的可求导那么只要单调则能退出对应函数极限
证明有且只有一个实根用 （单调有界+零点定理） 1. 单调是证：Xn+1 与 Xn 的大小关系 ①Xn+1-Xn ②Xn+1/Xn～前两个题目给了 Xn =具体信息(只关于 n 的式子) ③用已知不等式(构造函数)～题目给了抽象信息(Xn 和 Xn+1 等式) ④题设提示(数学归纳法)～抽象 Xn 和 Xn+1➡️x1、x2、xk、xk+1 2. 有界是证：存在 M＞0，|xn|≤M， a＜Xn ＜b、1/k(k+1) 3. 极限存在=a 证法：根据第一小问的结果～能力 推导能力、数学归纳法
具体函数有具体性质 ①单调②有界③极限存在记为a 泰勒展开原则上下同阶 18p21
抽象函数求极限存在→单调有界 夹逼往往是算出来 知道函数导数信息求其极限 f’→f 考虑牛顿莱布尼茨公式变限积分 ln(1+1/x)想到拉格朗日～18p13
(二)求极限的常见题型
1、 函数极限(七种未定式)
1.“0/0”
(1)洛必达法则；
化简方法： ①提极限不为 0 的因式 ②等价无穷小代换(满足泰勒展开原则) ③恒等变形(提公因式、拆项、合并、 分子分母同除以变量最高次幂 高级的恒等变形如换元法
30p43
(2)等价无穷小代换；
(3)泰勒公式.
以上三种方法使用的同时要注意将原式化简，常用的方法有极限非零的因子极限先求出来、有理化及变量代换等。如果出现同名函数做差考虑拉格朗日
2.“∞/∞”
(1)分子分母上下同除最高阶的无穷大
(2) 洛必达法则
880p3-8，18p2
3.“∞-∞”
(1) 分式差∞—∞：
通分
加减→乘除
洛必达/等价泰勒
18p11 例 1.11
(2) 无分母∞—∞
①提个无穷因子出来抵消或者转变成0/0类型(抓大头～无穷大∞速度)
②要么倒代换（考虑有倒数的复合函数）要么直接将∞变成1/∞
(3)根式差
根式有理化
求参数，若 x→∞lim(含根)=0 则可以乘以 x
4.“0·∞”类型
往往将 0 无穷小代换 或者改成∞/∞、0/0
30p44，lnu～u-1(u→1)
18p46，若 limn→∞得到 0·∞则将 n 倒代换
5.“1^∞”类型
本质 e^ln
30p46 例 3.14
880p6-11
高辅 p41
幂指函数(1+0)⁰～00
标准型：1^∞
三步法
①写标准型：原式=lim(1+a)^β
②求极限 limaβ=A
③原式=e^A
93-3
神秘的数字 1～tanπ/4
标准型的意思是他是孤零零的
6.“∞⁰，0⁰”
e^ln
思路🌟
判定类型
化简先行：姻缘牛郎织女
2、 数列的极限
(一) 基本不定式
数列极限需要使用海涅定理转化成函数极限才能使用洛必达
(二) n项和的数列极限
(1) 可因式分解用裂项相消
平方差
偶数次方的 n 项积
极限对象是分式，条件的分子→取倒数
880p6-17
(2)夹逼准则
极限后变成可以忽略的 即无穷小
面对若干个项和数列极限，找通项再求和
与定积分定义区别
取极限次量级跟主体部分同阶时用定积分，低阶用夹逼
用基本放缩方法
n·umin≤u1+u2…+un≤n·umax
当 ui≥0 时，1·umax≤u1+u2…+un≤n·umax
lim(a1^n+a2^n…+am^n)^1/n=max｛a1,a2…am｝
可以把 2=1+1
n≥3 即可用
高辅 p33，880p5-4
(3)定积分
先提可爱因子 1/n～dx
i/n～x
Σ～积分
(4) 夹逼和定积分的区别
①变化部分是主体次量级，用夹逼定理
分母能忽略用夹逼准则
②变化部分是主体同量级，用定积分定义
当同时存在次量级和同量级时考虑先放缩再定积分
高辅 p32
(三) n 项连乘的数列极限
1)夹逼定理
2) 乘积形式可转化成 ln 的 n 项和
①ln(1+狗)～狗，狗～0
②ln(1+∞)提∞出来→ln∞+ln(1+o)
③等价无穷小的逆用
x→1，x-1～lnx
④lnΠ=Σln
连乘数列用 ln 转换成连加 注意连加可以涉及定积分定义 ln 的添加 当看到 lnfx-x 时候将 x 进行 ln 化=lne^x
(四) 递推关系
单调有界准则
三项递推式求解数列极限
通过恒等变形构造等差(等比)数列
新数列的通项公式类推到原数列去
880p5-5
3、 已知极限求另一个极限
①拼凑法
凑出个代求的因式
因为要求所以存在→分离代求因式→求出另一个因式则得解
②变量趋于 0 已知极限求另一极限用无敌泰勒，特别分母是二阶
x→0，limf(x)=A→f(x)=A+o(x^k)，k 为最高阶
4、涉及积分
lim 积分→先积分计算
积分中值
分部积分
题型三 确定极限式中的参数
本质还是求极限
先确定未定式类型
往往是极限=常数
880p3-1
保证未定式类型
化简先行
李佳琦
(1) 利用有理运算法则求极限
两极限存在才可以拆
及时提出极限非零因子
无穷可以提到 lim 后
无穷-无穷
(2) 等价无穷小
不含参数部分进行泰勒展开
涉及 ax、bx²、cx³等多项式类型参数
(3) 恒等变形
姻缘牛郎织女
①提取公因式
②换元(倒代换、负代换)
①初等函数的变量为根号或分式形式将其换元
②f(狗)考虑令 t=狗，狗是关于变量的式子(复合函数)
③为了得到另一个等式联立两个等式得到 2I
④例如 f(1/x)考虑令 x=1/x，e^(1/x)、(1+1/x)、xf(1/x)～u=1/x
18p46，880p3-1(注意 x→∞)
③有一个有分母通分
△稳定结构
扩上缩下
上下同乘 x^n-1
无计可施，考虑上下翻转若极限=1 即可
18p21
若是指数 xⁿ→(1/x)-ⁿ
10-1
④用公式
因式分解
分母可因式分解 裂项相消
√-√根号差
①分子有理化
②(1+x)^a-1(x→0)
x^a-x^b(a-b=0)
③无敌泰勒
(1+x)^a～1+ax+a(a-1)x²/2
⑤用定理
牛顿莱布尼茨、拉格朗日、积分中值、泰勒公式
(4) 两端对 x 进行乘积
若是 lim=a 的等式求 lim 里的参数，则
x→0 两端同乘 x
x→∞两端同除以 x
高密 p14
求参数时，若上下阶数不匹配(分子无理或一些等价阶数不匹配)
考虑同乘除 x
已知导数求极限
泰勒
导数定义
题型四 无穷小量阶的比较
无穷小比阶 x→0
limβ/a=c→β～ca(a→0)
limβ/a=0→β是比 a 高阶的无穷小
2023-2-3
limβ/a=∞→β是比 a 低阶的无穷小
limβ/a=c≠0→β与 a 同阶无穷小
limβ/aⁿ=c≠0，n＞0→β是 a 的 n 阶无穷小
limβ/a=1→β与 a 是等价无穷小
其实就是 0/0 型极限的常用三个方法
(1)洛必达法则
(2)等价无穷小代换
若出现 limβ/a=c≠0 且上下不是等价的情况，考虑两端同乘 x^k 使其能够等价无穷小代换
两端同乘使其上下阶数相同法，解密 p28 例 10
(3)泰勒公式
18p10 例 1.8
复合函数
内偶则偶内奇同外
奇函数的泰勒展开不含偶次项
变限积分的无穷小阶数问题
上限为变量
常数阶数为 0
如：等价 1
被积函数出现求导变量需要换元
换元后被积函数不能再出现求导变量，若出现考虑积分中值定理
上下限都是变量
上下限阶数不同
加减低阶吸收高阶
积分中值只要被积函数含可化为常数
上下限阶数相同
积分中值(b-a)f(ξ)
下限＜中值ξ＜上限
上下限差值泰勒
武神每日一题的 变限积分无穷小比阶 积分中值提出的是常数或求导变量 该中值可以夹逼定理
积分中值适合上下限是常数或等阶
第三节 连续与间断
5’
一、基本知识
连续的概念
limf(x)=f(xo)=A (x→xo)，则称 f(x)在 xo 处连续
定理 f(x)连续～f(x)左连续且右连续
可与导数定义结合成三联
0 点连续不可导|x|
间断点及其类型
1.间断点的概念
若f(x)在x。某去心邻域有定义，但在x。处不连续，则称点x=xo 为函数f(x)的间断点.
2.间断点的分类
(1)第一类间断点
左、右极限均存在的间断点
可去间断点
左、右极限存在且相等的间断点；
跳跃间断点
左、右极限都存在但不相等的间断点.
(2)第二类间断点
左、右极限中至少有一个不存在的间断点
无穷间断点
左、右极限中至少有一个为无穷，如x=0为f(x)=1的无穷间断点；
振荡间断点
如x=0为f(x)=sin的振荡间断点.
连续函数的性质
(1)连续函数的和、差、积、商(分母不为零)及复合仍连续；
(2)基本初等函数在其定义域内连续；初等函数在其定义区间内连续；
(3)闭区间上连续函数的性质
①有界性
若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上有界.
f(x)在开区间上连续(可∞)，若左右极限存在→有界
F(x)为 f(x)的闭区间，连续包含连续
②最值性
若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值.
③介值定理
考点： 函数值相加减
①闭区间连续导数，说明区间内导数有最大值最小值，f(a)=A，f(b)=B，A＜μ＜B
②将ξ中值孤立到一边，如果等式另一边为具体数值μ则可以使用
③μ为定值，定积分为常数。(与零点定理区别)
30p93
④其实就是将μ往要证明的身上靠
与夹逼准则区别是不涉及极限放缩
(4)零点定理
①若f(x)在[a,b]连续，且f(a)·f(b)＜0，则必存在ξ∈ (a,b)，使f(ξ)=0
唯一解
至少一个根
②推广的零点定理：若f(x)在(a,b)内连续，limf(x)=a，limf(x)=B，且a·B＜0 则f(x)=0在(a,b)内至少有一个根，这里可以是有限数，也可以是无穷大
至少存在一个ξ，使得 f(ξ)=f(ξ+1/2)，f(x)在[0,1]连续
常见题型 f(ξ+T)=f(ξ)
③遇到 f(x)=变量(x 或者 fx)， 一般构造辅助函数 F(x)=f(x)-变量
不求导数
f(ξ)与ξ的等式是定点，如果涉及积分则考虑罗尔
区间两端点的函数值无法判断正负的时候考虑罗尔
无区间的具体函数则考虑罗尔推论
根的个数
涉及确定区间的抽象函数
④解题思路
❶令辅助函数=要证明的参数或 0 的左边式子，并将ξ写成 x
复合函数的定义域
①定义域是自变量 x 的范围，复合的两函数定义域的交集不能是空集
②同一法则内的整体取值范围相同
③如果一个函数=两个函数，则定义域是两个的交集
❷找区间端点不等式使得 f(a)f(b)＜0(开区间用极限)
区间往往是小区间，如果是周期函数则把每个周期小区间的端点值求出来
类似微分学里方程的根的个数求导数分单调区间(每个区间最多一个零点)
❸反证法：若无零点，F(x)恒正或恒负，与题设条件矛盾
❹极限的保号性构造的不等式可以在无穷区间上与零点定理发挥作用
x→∞，保号性存在 X>0，|x|＞X 时该函数＞0
二、题型方法
题型一 讨论间断点及间断点类型
5’
做题步骤
1. 找出所判断的所有间断点
(1)无定义点(必为间断点)
如果分母为变限积分，有两种情况=0
上下限相等
上下限相反时被积函数为奇函数
18-p15
奇函数在对称区间积分为 0
分母为函数需要研究其零点个数
求导研究其单调性
分母为 sinkπ
(2)分段函数的分段点(可能是连续点，可能是间断点)
①limf(x)不存在
②limf(x)≠f(xo)
2. 逐个计算该点极限
arctan∞、|u|、e^∞、[u]、√(ax²+bx+c) 需要讨论考虑左右邻域🌟
lime^1/x(x→∞)不需要讨论左右直接=1
3. 根据极限结果判断间断点类型
极简口渴左右找水🌟
(1)第一类间断点
左、右极限均存在的间断点
可去间断点
左、右极限存在且相等的间断点；
无定义点
limx→xo 默认左右相等
跳跃间断点
左、右极限都存在但不相等的间断点.
(2)第二类间断点
左、右极限中至少有一个不存在的间断点
无穷间断点
左、右极限中至少有一个为无穷，如x=0为f(x)=1的无穷间断点；
振荡间断点
如x=0为f(x)=sin的振荡间断点.
题型二 介值定理、最值定理及零点定理的证明题
连续函数的函数等式
(一)最值与有界定理
f(x)在开区间上连续(可∞)，若左右极限存在→有界
F(x)为 f(x)的闭区间，连续包含连续
数列若 liman=a，an＞a 的充要条件是有最大值
极限定义，领域内存在个＜的则最大值
(二) 零点定理
结合罗尔中值定理
(1) 证明
遇到 f(x)=变量(x 或者 fx)， 一般构造辅助函数 F(x)=f(x)-变量=参数/0
不求导数
f(ξ)与ξ的等式是定点，如果涉及积分则考虑罗尔
证明连续函数闭区间上存在唯一解
如果 f(x)可导，想证明导数是否存在零点不可行，即不能推出 f’a·f’b＜0
必须导函数连续
(2) 定义
①设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)＜0，则f(x)=0在(a,b)内至少有一个根
②推广的零点定理：若f(x)在(a,b)内连续，limf(x)=a，limf(x)=B，且a·B＜0 则f(x)=0在(a,b)内至少有一个根，这里可以是有限数，也可以是无穷大
至少存在一个ξ，使得 f(ξ)=f(ξ+1/2)，f(x)在[0,1]连续
极限的保号性
limf(x)→0
(3) 解题思路
构造辅助函数 F(x)=f(x)-变量→0
复合函数的定义域
①定义域是自变量 x 的范围，复合的两函数定义域的交集不能是空集
②同一法则内的整体取值范围相同
③如果一个函数=两个函数，则定义域是两个的交集
880p5-8
代入端点，F(a)·F(b)＜0(开区间用极限)
则存在ξ使得 F(ξ)=0 即证
出现=0 的要想到
零点
绝对值夹逼定理
反证法：若无零点，F(x)恒正或恒负，与题设条件矛盾
(三) 介值定理
考点： 函数值相加减
①闭区间连续导数，说明区间内导数有最大值最小值，f(a)=A，f(b)=B，A＜μ＜B
②将ξ中值孤立到一边，如果等式另一边为具体数值μ则可以使用
③μ为定值，定积分为常数。(与零点定理区别)
联系两具体
④其实就是将μ往要证明的身上靠
与夹逼准则区别是不涉及极限放缩
与泰勒区别：f(抽象)=f(具体)是泰勒 f(具体)=积分是介值定理
30p93