概率与统计

总结了随机事件的概率、古典概型、 互斥事件的概率、独立事件的概率、抽样方法等详细内容。

概率与统计

• 随机事件的概率
  • 两种现象：自然界和人类活动中，普遍存在两种现象：一类是在一定条件下必然发生或不可能发生，称作确定性现象；另一类则是在一定条件下可能发生也可能不发生，称为随机现象。
  • 事件：对于某个现象，如果能让其条件实现一次，就是进行了一次实验．我们把实验的每一种可能的结果称为一个事件： ①其中一定会发生的事件叫必然事件; ②一定不会发生的事件叫不可能事件; ③ 可能发生也可能发生的事件叫随机事件
  • 频率：在相同的条件下进行 n 次试验，如果事件 A 发生了 m 次，那么比值“m/n”称为事件 A 发生的频率．
  • 概率：一般地，对于给定的随机事件 A ，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们用这个常数来刻画随机事件 A 发生的可能性的大小，称为随机事件 A 的概率，记作 P ( A ). P ( A )≈m/n
  • 概率性质： (1)0≤ P ( A )≤1; (2) P (Ω)=1,Ω为必然事件； (3) P（Φ）=0，Φ为不可能事件；
• 古典概型
  • 基本事件 在一次实验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件.
  • 基本事件的特点： (1)任何两个基本事件是互斥的; (2)任何事件(不可能事件除外)都可以表示为若干个基本事件的和;
  • 等可能基本事件 每一个基本事件发生的可能性都相同，则这些基本事件称为等可能基本事件.
  • 古典概型 (1)所有基本事件只有有限个; (2)所有的基本事件为等可能基本事件; 满足以上两个条件的随机实验的概率模型称为古典概型. P(A)=事件A包含的基本事件的总数/基本事件的总数
• 互斥事件的概率
  • 互斥事件概念：一般，不可能同时发生的两个事件A与B，叫做互斥事件。
  • 概率加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)
  • 对立事件概念：一般地，必有一个发生的两个互斥事件A与B，我们称为对立事件。
  • 公式：
• 独立事件的概率
  • 独立事件概念：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做独立事件。
  • 概率乘法公式：P(AB)=P(A)P(B)
  • 一般地，两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积。注：如果两个事件相互独立，其中一个换成它的对立事件，这两个事件仍相互独立。
• 抽样方法
  • ①统计基本思想：用样本估计总体.当总体数量很大或检测具有一定破坏性时，不直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体相应情况
  • ②总体和样本 总体：调查对象的全体称为总体，总体中每一个调查对象称为个体. 样本：在进行抽样调查时，从总体中抽取的一部分称为样本，样本中个体的数目称为样本容量，简称样本量. 分为：不放回抽样和放回抽样
  • ③简单随机抽样 从个体数为N的总体中不重复地取出k个个体(k<N),每个个体都有相同的机会被取到，这样的抽样方法称为简单随机抽样. 特点: （1）它要求被抽取样本的总体的个体数有限； (2)它是从总体中逐个进行抽取; (3)它是一种不放回抽样; (4)它是一种等概率抽样;
  • 简单随机抽样
    • （1）抽签法 一般地，用抽签法从个体数为N的总体中抽取一个容量为n(n< N)的样本步骤： (1)将总体中的N个个体编号; (2)将N个号码写在形状、大小相同的号签上; (3)将号签放在同一箱中，并均匀混合; （4)从箱中每次抽取1个号签（不放回)，连续抽取n次; (5)将总体中与抽签的号签编号一致的n个个体取出.
    • （2）随机数表法：制作一个数表，其中的每个数都是用随机方法产生的， 这样的表称为随机数表.只要按一定规则从随机数表中选取号码就可以了，这种抽样方法称为随机数表法. 用随机数表抽取样本的步骤为: （1)对总体中的个体进行编号(每个号码位数一致); (2)在随机数表中任选一个数作为开始; (3)从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的数码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过；如此继续下去，直到取满为止.; (4)根据选定的号码抽取样本
  • ④系统抽样 当总体个数较多时，采用简单随机抽样比较费事，这时可将总体平均分成几个部分，然后按照预先设定的规则,从每个部分中抽取一个个体，得到所需的样本，这样的抽样方法称为系统抽样，也称等距抽样.
  • ⑤分层抽样 分层抽样的步骤是: (1)将总体按一定标准分层; (2)确定抽取的比例; (3)由分层情况，确定各层抽取的样本数(对于不能取整的数，求其近似值，各层的抽取数之和应等于样本容量); (4)对每层进行抽样（可用简单随机抽样或系统抽样).
• 总体分布的估计