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高数强化，整理了多元函数微分学、 二重积分、无穷级数等重要知识点，快收藏下来，以便考试复习！
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教育学考研：教育学原理第八章教学内容整理
高数强化
证明题
不等式证明
求导
单调性
移项
最优求导
判单调性，找特殊值点
最值
拉格朗日中值定理
对中值ξ进行放缩
对中值ξ化为x为函数用单调
带拉格朗日余项泰勒中值定理 （见到二阶三阶导使用）
其中ξ与x有关，也为自变量
先找1展开点：导数值已知点→区间中点→待证结论所含数值点
再找2被展开点：函数值已知值→区间断点→区间重点
柯西中值定理
定积分不等式证明
改积分上限为x，转为函数单调求导法
定积分比较
定中值
方程根（函数零点）证明
证明根的存在性
连续函数零点定理
导数罗尔定理
构造辅助函数
证明根的唯一性
反证法
根的个数
利用奇偶性
使用驻点和不可导点划分问连续单调区间
再在每个区间使用零点定理
积微分中值定理证明
闭区间连续函数命题的证明
闭区间使用介值定理
开区间使用零点定理
关键：证明f（ξ）＝常数
单中值命题的证明
出现1，2阶导用罗尔，三阶阶以上使用泰勒
证F（ξ，f（ξ），f’（ξ））=0，用罗尔
解一阶线性方程构造辅助函数
三次拉格朗日，找三点相等
双中值证明
不等
找点c拆分区间每个子区间使用拉式或柯西
c常为中点或前一问点
多元函数微分学
重要基础知识
偏导数
偏微分定义：极限存在
求偏导数：先代后求，定义法
全微分
定义
判定条件
可微的充分必要条件
微分形式不变性
隐函数求导法则
对因变量求导方程≠0
可偏导与可微概念
直接找判定条件
求具体多元函数偏导数与全微分
先代后求
定义法
求抽象，复合，隐函数微分法
全微分不变式
变量代换下求化简方程式
可能结合微分方程一起考
偏导的逆问题
对x积分需添加h（y）
可转化为变限积分
多元函数极值
驻点
边界
条件极值
拉格朗日乘数法列方程组
二重积分
性质
绝对值比较定理
中值定理
计算方法
奇零偶倍
先看D，再看函数
D关于原点对称
直角
一投二穿三定限
极坐标
一切二穿三定限
轮换对称性
合项除二
移动积分区域
形心公式逆用
规则图形
被积函数：ax+ay
二重积分换元法
求｜J｜
二重积分概念性质
比较
中值
交换积分次序
出现二重积分变限积分/求导
分段函数二重积分
画图
被积函数为自变量线性组合
形心公式
积分域由极坐标或参数方程给出
几个标准图像
无穷级数
常数项无穷级数
重要级数
等比级数
p级数
基本性质
收+收=收，收+发=发
通项an收敛于0
正向级数审敛法
比较审敛法：大收小收
比较审敛法极限形式
极限=0母收子收
极限=R同敛散
比值审敛法
p＜1：收敛
p＞1：发散
根值审敛法
p＜1：发散
积分判别法
求和和积分同敛散
交错级数审敛法
莱布尼茨：正项收敛→交错收敛
通项变小
通项极限为0
绝对收敛与条件收敛
常数项级数的判敛
等比级数，p级数
常数项级数证明
证明极限存在且为0：同收敛
通过比较／比值找比较尺度，大收→小收
幂级数
相关概念
幂级数收敛域为其和函数定义域
两个重要的比值幂级数
阿贝尔定理
收敛域=收敛区间+收敛端点
收敛半径R
r＜R：绝对收敛
r＞R：发散
r=R：未知，若收敛则为条件收敛
收敛点到中心距离≤R
发散点到中心距离≥R
求收敛半径
比值/根值
幂级数函数性质
逐项积分/可导
展开式
证明：先导后积/先积后导
13公式
幂级数收敛半径及收敛域
比值/根值求A
函数项级数求和函数
凑13公式
常数项级数求和
转化为幂级数
找Sn定义法
幂级数展开
傅里叶级数
三角级数展开式
傅里叶系数
狄利克雷收敛定理
连续
间断
奇/偶延拓→周期延拓
一般周期函数的傅里叶级数
空间解析几何
向量代数
数量积
向量积
混合积
空间平面与直线
平面方程
点法式
一般方程
截距式
点到平面公式
空间直线
一般方程（交面式）
可表示为法向量向量积（行列式）
对称式
参数方程
空间曲面曲线
旋转曲面写法：绕谁谁不动，改写另一变量
柱面：只考母线平行于坐标轴
二次曲面
抛物面
椭圆锥面
双曲面
一个负号：单叶
两个负号：双叶
空间曲线在坐标平面上投影
两曲线方程消去z得投影曲线方程
空间曲线绕坐标轴旋转曲面方程
交面式空间曲线绕z轴
（1）联立方程解出X（z），Y（z）
带入：x2+y2=X2（z）+Y2（z）
多元微积分应用与三重积分
几何应用
方向导数
定义：增量与距离比值的极限
存在：f可微
计算公式
梯度
定义：偏导数构建的向量
梯度与方向导数关系：方向导数=｜梯度｜·｜单位向量｜
曲面面积公式
曲面的切平面与法线
隐式情况：逐项偏导
曲线的切线与法平面（23考过）
参数式情况：对t求导
直角坐标情况：yz对x求导
交面式情况；切向量
三重积分计算
直角坐标
先一后二（柱体）
先二后一（非柱体）
一投二割三计算
球面坐标系
直角坐标与球面坐标关系
体积元素
曲线与曲面积分
第一类曲线积分（弧长）
参数方程定积分法
一化二代三替换
可以将边界表达式带入被积函数
第一类曲面积分（面积）
显化方程化二重积分
一投二代三替换
椭圆/椭球切线方程
第二类曲线积分（坐标）
三无一物
计算
参数方程化定积分
只管对应不管大小
垂直哪个轴其积分为0
格林公式
补线用格林
补平行坐标轴的线
挖洞用格林
使用分母为常数的线
第二类曲面积分（坐标）
一投二代三定号
前正右正
两类曲面积分关系
高斯公式
补线：补平行于坐标面的平面
挖洞：分母为常数
常微分与差分方程
㏑｜x｜可去绝对值
识别顺序：可分→齐次→一线→x为y的函数
n阶常齐微分方程
特征解的线性组合
二阶常齐微分方程右侧为P（x）的解待定系数简便方法
求二阶常系数方程
注意使用r1，r2以简化计算
求三阶常系数方程
含变限积分的积分方程
定积分
令其为常数A，再求不定积分得A的方程
不定积分
求导消积分得微分方程
可由积分上下限相等得初始条件
先将被积函数自变量与被积元素统一
已知特解反求常系数线性方程
非齐＝齐通+非齐特（唯一）
求二阶线性微分方程非齐次解简便方法
系数公式
欧拉公式
定积分及其应用
定积分定义
存在的必要与2充分
积分中值定理
定积分绝对不等式
可导性
sinx与cosx替换
点火公式
偶倍奇零
区间再现
对称区间减半
定积分概念与性质
比大小：比被积函数
被积函数含绝对值，最值
分段讨论
先求函数再求定积分
递推法求函数：细致推导
变限积分
原函数在某点是否可导取决于改点的间断类型
被积函数带参数
确定参数范围，对自变量进行分段
被积函数含导函数的积分
凑微分后分部积分
被积函数含变限积分
变成二重积分后交换积分次序
若图像错误添加负号
计算对称区间的积分
区间减半公式
计算周期函数的定积分
简化周期
使用区间再现需要证明
计算积分区间保持不变的定积分
区间再现：令t+x＝a+b
再者，使用1/2×（前加后）
计算反常积分
拆瑕点，按定积分一样做
反常积分判敛
1/x四个公式背牢
向标准式靠齐
非零同敛散
趋于∞
比值为0：母收子收
趋于某点
比值∞：母发子发
求平面图像面积
背特别函数
求旋转体体积
对x
圆柱法
对y
长方体法
求曲线弧长公式
背ds三种情况公式
dS＝2πyds原理
原函数定义
区别与定积分存在定理
不定积分性质
32个公式
凑微分：导数关系
换元
三角
倒代换
整体替换
分部积分
化简
循环
抵消
先求函数再求不定积分
简单：换元求原函数
复杂：凑函数求原函数
求发分段函数的原函数和不定积分
分段讨论即可，注意原函数的连续
换元法与分部积分求不定积分
分子分母导一次，观察联系
分母凑平方差和以代公式
分子出现分母的导数，需上下同×幂级数
1-/+三角函数的情况化成平方
简单无理数积分（换元）
根号换元
有理化
有理函数积分（多项式除法）
三角换元
三角有理式积分
分母分子同阶除cosx
待定系数求asinx+bcosx导数
万能公式
导数与微分
微分的写法（线性主部的组成）
隐函数默认可导且导函数连续
判定函数在某点的可导性
一动一静，动静之差，左右兼备，上下同阶
含绝对值导数
｜f（x）｜不可导推论
可导函数中含绝对值因子，则其他函数在0点值为0
绝对值内部应因式分解
反函数求导
x’’的求法
导函数的连续性
先可导再连续
隐函数求导
参数方程求导
公式
微分的概念
线性主部与无穷小
高阶导数
5公式
莱布尼茨展开定理
唯一展开定理
求导一次奇偶互换
求出一二三阶导归纳
函数极限及连续
极限定义
函数之比为实数的两种情况
函数的连续型3
极限存在2
间断点分类
函数七种未定式
等价无穷小
非0因子提出
极限存在的加项非0拆开
根号有理化
倒/负代换
通分
拉格朗日＊
含抽象函数极限
拆解/凑出
极限法则分析
含变限积分极限
洛必达
从外到内
处理被积函数
无穷小比较
被积函数等价
积分区间等价
已知极限求系数
极限的运算法则
导数定义求极限
凑导数两个表达式
求含参变量函数极限
分类讨论
指0
底1
通项是n项和的数列极限
重要公式
优先：凑定积分
其次：夹逼
利用单调有界求极限
证明（重要不等式）
有上界递增
有下界递减
求极限
设极限
讨论函数的间断与连续
分子
可去
跳跃
分母
无穷
震荡
主题
浮动主题
