线性代数第2章矩阵

这是一篇关于第2章.矩阵的思维导图，主要围绕矩阵的概念、性质、运算规则及其应用进行了全面的阐述。详细讲解了矩阵的运算法则，如矩阵乘法、矩阵幂的运算等，并指出了矩阵对角线和行列式之间的关系。探讨了矩阵的结合律和分配律，以及矩阵的转置和逆之间的关系。

矩阵

• 矩阵及其运算
  • 矩阵相乘
    • 性质：
      • 性质； 行向量*列向量=数 列向量*行向量=n阶方阵，且方阵每行（列）成比例 n阶方阵的对角线和=数 反常性质； AB！=BA AB=0，存在A！=0且B！=0 AB=AC，不能得出B=C
    • 运算律
      • 结合律：（AB）C=A(BC） 分配率：A(C+B)=AC+AB k（AB）=A（kB)
  • 矩阵的加法与数乘
    • 每一项相加，每一项乘以一个数
  • 矩阵转置
    • 若矩阵为对称矩阵，则A=A转置
    • 性质
      • （A转置）转置=A (A+B)转置=A转置+B转置 （kA)转置=kA转置 （AB）转置=B转置*A转置 |A的m次方|转置=|A转置|的m次方 |A转置|=|A| （ABC）转置=C转置B转置C转置
• 矩阵的行列式与逆
  • 矩阵的行列式
    • 性质
      • |kA|=k的n次方|A| |AB|=|A||B|=|BA| |A的m次方|=|A|的m次方 |A转置|=|A|
  • 矩阵的逆
    • AB=BA=I （A逆）逆=A （kA)逆=1/k（A逆） （A转置）逆=（A逆）转置 （AB）逆=B逆*A逆 |A逆|=|A|的-1次方 |A*|=|A|的（n-1)次方
• 矩阵的初等变换与秩
  • 初等变换
    • 行（列）互换 每行（列）乘一个数 每行（列）加上另一行（列）的k倍
  • 行阶梯形矩阵，行最简形矩阵
  • 秩
    • 定义：行阶梯形方阵的非零行数 矩阵同阶：相互可通过初等变化得到（秩相同）
    • 性质
      • r(AB)>=r(A)+r(B)-n,当AB=0时，r(A)+r(B)<=n(因为r(AB)=0) r(A+B)<=r(A)+r(B) 当r(A)=n,则r(A*)=n r(A)=n-1 r(A*)=1 r(A)<n-1 r(A*)=0 秩如果小于0，则反映了方阵行列式为0 相反，行列式不为0，秩为n 矩阵不为零矩阵，则秩大于等于1，小于等于n
• 解线性方程组
  • Gauss消元法及判别
    • 消元法主要在于练习 判别： 齐次：行列式为0，则有无穷多组解，反之，唯一零解 秩：R<n,则无穷多组解 R=n,唯一零解 非齐次：行列式为0，则无解或无穷多组解（具体带入看），反之，唯一解 秩：R（A）<R（A|B），无解 R(A)=R(A|B)=n,有唯一解 R（A)=R(A|B)<n，无穷多组解
• 浮动主题