导图社区 线性代数第3章空间解析几何以及向量运算
这是一篇关于第3章.空间解析几何以及向量运算的思维导图,主要围绕矩阵的概念、性质、运算规则及其应用进行了全面的阐述。详细讲解了矩阵的运算法则,如矩阵乘法、矩阵幂的运算等,并指出了矩阵对角线和行列式之间的关系。探讨了矩阵的结合律和分配律,以及矩阵的转置和逆之间的关系。
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空间解析几何以及向量运算
向量
线性运算
向量的加,减,数乘 投影:cosα^2+cosβ^2+cosγ^2=1 向量与空间坐标的结合
乘积
点乘:|a|*|b|*cos<a,b> 叉乘:|a|*|b|*sin<a,b> 计算与矩阵计算伴随矩阵联系起来 俩向量构成的平行四边形的面积,方向垂直与俩个向量所在平面 混合积:三个向量构成的六边形的体积(混合积为零,则三向量共面)
平面
关键是其法向量
表达方式
法向量:(a,b,c) 点法式:a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0 一般式:ax+by+cz+D=0 截距式:x/x0+y/y0+z/z0=1
平面之间的关系
Ax+By+Cz+D=0 平行:A1/A2=B1/B2=C1/C2!=D1/D2 重合:A1/A2=B1/B2=C1/C2=D1/D2 相交:A1:B1:C1!=A2:B2:C2
直线
方向向量:(a,b,c) 对称式:x-x0/a=y-y0/b=z-z0/c 参数方程:x=at+x0;y=bt+y0;z=ct+z0 一般式:A1x+B1y+C1z=0;A2x+B2y+C2z=0
位置关系
平行:方向向量共线,但是与MN不共线(M,N分别是俩条直线上的一点) 重合:m,n,MN共线 相交:m,n,MN共面(混合积),但m,n不共线 异面:m,n,MN不共面(混合积),且m,n不共线
曲面与空间曲线
球面:(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2 旋转曲面:旋转椭球面:绕x轴,就把y换成(y^2+z^2)开更号 绕y轴,就把x换成(x^2+z^2)开根号 旋转双曲面:双叶:绕无节点的轴旋转 单叶:绕有节点的轴旋转 柱面:只有俩个未知数 锥面:只研究x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=0 二次曲面:椭球面:x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1(a,b,c>0) 双曲面:单叶:x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1(a,b,c>0) 双叶:x^2/a^2-y^2/b^2-z^2/c^2=1(a,b,c>0) 椭圆抛物面:x^2/p+y^2/q=2z 双曲抛物面:x^2/p-y^2/q=2z(马鞍面)
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