线性代数第4章n维向量

这是一篇关于第4章.n维向量的思维导图，介绍了向量组、线性相关、线性表出、秩等基本概念以及它们在向量空间和线性方程组中的应用。讨论了向量组的秩，它是向量组中的一个最大线性无关子集的元素个数，用于刻画向量组本身所具有的特性。还提到了正交矩阵、过度矩阵、坐标变换等概念，这些概念在解决线性方程组、进行向量空间变换等方面有重要应用。

n维向量

• n维向量的定义及运算
  • 定义
    • 由n个分支组成的向量（一般是列向量）
  • 运算
    • 加法 减法 数乘 （都是同一维数）
• 向量组的线性相关
  • 线性相关性
    • 向量组：由s个n维的向量构成的向量组 β=k1*a1+k2*a2+...+ks*as 若有实数k1,k2...ks,则说β能被向量组线性表出，β是向量组的线性组合，k1,k2...是组合系数 k1*a1+k2*a2+k3*a3+...+ks*as=0,若存在k1,k2...至少有一个不为零，则称向量组线性相关 联系1(解）：齐次方程组有非零解 联系2（秩）：A（a1,a2,...,as）的秩小于s 联系3（行列式）：若s=n,则|A|=0 线性无关正好相反 性质：1.充要条件：向量组里至少有一个a1可以由其余的s-1个向量线性表出 2.a1,a2...线性无关，a1.a2...β线性相关，则β可由向量组线性表出，且表示方法唯一 3.线性相关：少推多；线性无关：多推少 4.原来向量组线性无关，s不变，n增加，仍然线性无关 原来向量组线性相关，s不变，n减少，仍然线性相关
• 向量组的秩
  • 2个向量组：A:a1,a2,a3...as B: β1，β2....βt(都是n维） 联系1：B中的任意一个向量都可以由A线性表出，则B可由A线性表出（传递性） 向量组等价：A可以由B线性表出，B可以由A线性表出（A~B） 性质：反身性A~A 对称性A~B，则B~A 传递性A~B，B~C，则A~C、 性质：1.若B由A线性表出，t>s,<---->B线性相关 t<=s,<---->B线性无关 2.A~B，且AB都线性无关，则s=t 向量组的秩==向量组的极大无关组里面向量的个数（==空间向量的维数） 极大无关组：一个向量组里线性无关的向量组成的向量组（可以不唯一） 联系2:1.等价<--->秩相同 2.A由B线性表出，r(A)<=r(B) 联系3：r(A)+r(B)>=r(A+B) r(AB)>=r(A)+r(B)-n
• 向量空间
  • 向量空间的定义
    • 向量空间的定义：对于向量运算（加法，数乘）都是封闭的（特殊的向量组）Rn:n维向量组/向量空间 若空间向量A可由空间向量B线性表出，则B为A的子空间 联系1：向量空间的基数与维数：相当于向量组的秩 可用基表示出空间向量的所有向量，线性组合成为其坐标（唯一） 联系2；该坐标也是非齐次线性方程组的解 Rn的俩组基A和B，A=（a1,a2,...an),B=(β1，β2，...βn) X，Y分别是A，B下的坐标 过度矩阵：A=BC（C是由B到A的过度矩阵） 坐标变换：Y=CX
  • 向量空间的正交化
    • 联系1：向量的内积：（a,β）=aT·β=列向量X行向量=数（点乘） 长度，夹角（类似点乘） 正交：内积为0 Rn的标准正交基：基的每个向量相互正交，且长度为1 施密特正交化法：死公式 近水楼台先得月 一浪更比一浪高 先给系数加负号 然后就是三缺一 正交矩阵：A满足AT·A=A逆·A=In, ( 行向量或列向量相互标准正交) 性质：1.|A|=1或-1 2. A逆=AT 3.AT，A逆都为正交矩阵
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