高数极限

极限知识点总结，极限是指一个变量在无限接近某个值时，另一个变量所趋向的某个值。在数学中，我们通常使用符号“lim”来表示极限，例如“lim f(x) = A”表示当x趋近于某个值时，函数f(x)的值趋近于A。将知识点进行了归纳和整理，帮助学习者理解和记忆。直击重点，可以作为学习笔记和复习资料，帮助大家系统地回顾和巩固所学知识，知识点系统且全面，希望对大家有所帮助！

极限

• 定义和性质
  • 函数极限
    • 函数定义
      • 初等函数
        • 常数函数：y=A
        • 幂函数：y=x^a,a为实数
        • 指数函数：y=a^x,a为实数
          • 计算法则
            • a^α*a^β=a^(α+β)
            • a^α/a^β=a^(α-β)
        • 对数函数：y=log(x)
          • 计算法则
            • log(M.N)=log(M)+log(N)
            • log(M/N)=log(M)-log(N)
            • log(M^n)=n*log(M)
        • 三角函数：y=sin(x),cos(x),tan(x),sec(x),csc(x),cot(x)
        • 反三角函数：y=arcsin(x)，arccos(x),arxtan(x),arccot(x)
      • 反函数
        • 严格单调函数必有反函数
        • y=f(x)与x=f-1(y)图形完全重合，只有写成y=f-1(x)之后两者图像才关于原点对称
      • 参数方程确定的隐函数
      • 复合函数
      • 对于给定的数据集D，设x、y是两个变量，若对于每一个x∈D，按照一定的法则f,都有一个唯一的y与之对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)
    • 函数性质
      • 有界性
        • 前提：必须先指明区间（定义域）
        • 定义：设f(x)定义域为D，数据集I∈D，存在M>=0,对于所有的x属于I，有|f（x）|<=M,则称f(x)在I上有界，反之无界
      • 单调性
        • 前提：指定区间I
        • 定义：设f(x)的定义域为D，区间I属于D，若对于I上的任意2点x1,x2，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在I上单调递增；若当x1<x2时，恒有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在I上单调递减
      • 奇偶性
        • 前提：定义域关于原点对称
        • 定义：设f(x)定义域D关于原点对称，若对于任意x∈D，有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数；若对于任意x∈D，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数
        • 重要结论
          • 奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称
          • y=f(x)+f(-x)必定是偶函数；y=f(x)-f(-x)必定是奇函数
          • 复合函数y=f[g(x)]的奇偶性---内偶则偶，内奇同外：内部函数是偶函数，则复合函数是偶函数；内部函数是奇函数，则复合函数的奇偶性和外部函数的奇偶性一致
          • 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数
          • 奇函数的变限积分求出的函数是偶函数；偶函数的变限积分求出来的函数是奇函数
      • 周期性
        • 定义：设函数f(x)的定义域为D，若存在一个正数T，对于任意x+T∈D,恒有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数，周期为T
        • 重要结论
          • 若f(x)是以T为周期的周期函数，则f(ax+b)是以T/|a|为周期的周期函数
          • 若函数g(x)是周期函数，则复合函数f[g(x)]也是周期函数
          • 若f(x)是以T为周期的周期函数，则f'(x)也是以T为周期的周期函数
          • 若f(x)是以T为周期的连续函数，则只有在定积分（0->T）∫f(x)dx=0时，变限积分（0->x）∫f(t)dt也是以T为周期
    • 邻域：设x0是数轴上的一个点，d是某一正数，则称（x0-d,x0+d）是x0的一个邻域，邻域半径为d
    • 函数极限定义：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义。若存在常数A，"e>0，$d>0，使得当0<|x-x0|<d时，|f(x)-A|<=e,则A称为x®x0时的极限，记为lim f(x)=A (x®x0)
    • 函数极限性质
      • 唯一性：极限存在必唯一，即左极限右极限相等
      • 局部有界性：若x®x0时,lim f(x)=A,则存在正常数M和d，当0<|x-x0|<d时，有|f(x)|<=M
      • 局部保号性:若x®x0时，lim f(x)=A且A>0，则存在d>0,使得当0<|x-x0|<d时，有f(x)>0。如果在x0的某去心邻域内f(x)>=0且lim f(x)=A，则A>=0
  • 数列极限
    • 定义：设{Xn}为一个数列，若存在常数a，对于任意的e>0，总存在正整数N，使得当n>N时，|Xn-a|<e恒成立，则称常数a是数列{Xn}的极限，或称数列收敛于a，记为
      • 若数列{Xn}收敛，则其任何子数列也收敛且也收敛于a
    • 性质
      • 唯一性：数列极限存在则必唯一
      • 有界性：若数列极限存在，则数列有界
      • 保号性：若数列收敛于a且a>b，则存在N>0，当n>N时，有Xn>b。若数列从某项起，有Xn>=b，且数列收敛于a，则a>=b
• 计算
  • 函数极限计算
    • 7种未定式：0/0、¥/¥、0*∞、∞-∞、∞^0、0^0、1^∞
      • 0/0、∞/∞、0*∞：等效替换进行化简，再选择使用洛必达法则、泰勒公式或者夹逼准则求极限
      • ∞-∞：想办法变成0/0型或者∞/∞型，再使用洛必达法则
      • 0^0、∞^0型：使用恒等变形，lim u^v = e^(lim v*ln u)
      • 1^∞型：lim u^v=e^(lim (u-1)*v)
    • 洛必达法则
      • 洛必达法则一般是用于解决0/0型或者∞/∞型未定式的
      • 前提： x®a(或者x®¥)时，f(x)与F(x)同时趋于0获取趋于无穷大 ‚f'(x)、F'(x)在点a的某去心邻域内(或者|x|>M,M为充分大的正数)存在，且F'(x)≠0
      • 结论：x®a时(或者x®¥) lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)
    • 泰勒公式(背重要函数的泰勒公式）
      • 展开原则
        • A/B型，适用“上下同阶”原则：即展开到分子分母最高次幂相同
        • A-B型，适用“幂次最低”原则：即将A、B分别展开到他们的系数不相等的最低次幂为止
    • 极限四则运算:类比于函数的四则运算
    • 夹逼准则
      • 条件：函数f(x),g(x),h(x)满足不等式 h(x)<=f(x)<=g(x),且lim h(x)=lim g(x)=A
      • 结论：lim f(x)=A
  • 数列极限计算
    • 海涅定理（归结原理）：用求函数极限的方式求数列极限
    • 夹逼准则
      • 常用放缩法
        • 简单放大缩小（乘上最大值或者最小值）
        • 重要不等式
          • |a±b|<=|a|+|b| ；|a|-|b|<=|a-b|
        • 利用闭区间上连续函数必有界原理
        • 利用压缩映射原理（找规律，数归法证明）
    • 四则运算
    • 单调有界准则（单调有界数列必有极限）（一般用于证明极限存在）
      • 证明数列单调性方法
        • 数学归纳法
        • 重要不等式
        • 利用结论：
• 应用
  • 函数的连续与间断
    • 连续点的定义：设函数f(x)在x0的某邻域内有定义，且有x®x0时 lim f(x)=f(x0)，则称函数f(x)在点x0处连续
    • 间断点的定义与分类
      • 可去间断点：x®x0时，lim f(x)≠f(x0)(甚至f(x)可以在x0处无定义)
      • 跳跃间断点：x®x0时的左极限≠右极限
      • 统称第一类间断点
      • 无穷间断点：x®x0时 lim f(x)=∞，则x0称为f(x)的无穷间断点
      • 震荡间断点：x®x0时 lim f(x)振荡不存在，则x0称为f(x)的振荡间断点
      • 属于第二类间断点
  • 数列的敛散性（数列极限是否存在）
• 浮动主题