1. 函数极限和连续

基于考研数一的函数极限和连续部分的总结，将知识点进行了归纳和整理，帮助学习者理解和记忆。直击重点，可以作为学习笔记和复习资料，帮助大家系统地回顾和巩固所学知识，知识点系统且全面，希望对大家有所帮助！

函数极限和连续

• 函数
  • 有界性的考察
    • 闭区间上连续
    • 开区间上连续且区间端点处左右极限存在
    • fx在区间上有界
  • 函数的性质
    • 导函数和原函数的奇偶性以及周期性
      • 导函数（原奇导偶，原偶导奇，周期不变）
      • 原函数（原点处的性质） f(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)-f(-x)]
    • 单调性
      • 与零点定理结合证明方程根的唯一性
      • 利用单调性证明不等式
  • 特殊函数及其性质
    • y=max{f(x), g(x)} y=min{f(x), g(x)}
      • max=(f+g)/2 + |f-g|/2 min=(f+g)/2 -|f-g|/2
    • 取整函数[x]
      • 注意这个函数在0处的左右极限，f=x-[x]是周期为1的函数
    • f(x)=|x|
      • f(x)连续不可导
      • 对于g(x)=θ(x)·f(x）的3个推论
        • 1. θ(x) ～o(x)可导
        • 2. lim(x→0)θ(x)＝0时， 可导
        • 3. θ(x)左右极限存在且互为相反数时，可导
      • 研究带有绝对值函数的导数的不可导点时[e.g. （｜(x-1)(x-2)²(x-3)³｜）] ，只需要关注一次函数的次数即可
    • 狄利特雷函数D(x)
      • y=xD(x)连续性
      • y=x²D(x)的可导性
      • D(x)有界但每一处极限都不存在
• 极限
  • 极限的概念
    • ε是一个给定的任意正数，类似ε＝1/n 这种取值是不合法的
  • 无穷大和无穷小
    • 无穷大的速度
      • (ln x)ᵃ << x << bˣ << xˣ, a>0, b>0
    • 常见无穷小
      • 补充一些常见的差值无穷小 x-sinx ~ x³/6, arcsinx-x ~ x³/6 tanx-x ~ x³/3, x-arctanx ~ x³/3 x-ln(1+x) ～x²/2
  • 特殊极限（反例）
    • 1️⃣ Xn=1+(-1)ⁿ, Yn=1-(-1)ⁿ, 这两个有界数列极限都不存在，但Xn·Yn在x→∞时极限为0； 2️⃣ Xn=n·[1+(-1)ⁿ], Yn=n·[1-(-1)ⁿ]，两无界乘积为有界
  • 函数极限的计算
    • 注意
      • 使用泰勒展开时需要上下展开到同阶，否则会有精确度的问题
    • 0/0
      • 洛
      • 无穷小代换
        • 加减中无穷小替换需要遵循的条件 +: lim α' / β' ≠ -1 -: lim α' / β' ≠ 1
      • 泰勒展开
      • 低阶吸收高阶
    • ♾️/♾️
      • 洛
      • 取大头
      • 同除最高次
    • ♾️-♾️
      • 通分（有分式）
      • 有理化（有根式）
      • 提取最高次
      • 倒代换
      • 拉格朗日（同名函数在两个点的差）
    • 0·♾️
      • 转换成0/0 or ♾️/♾️
    • ♾️⁰和0^♾️
      • e抬头，化成指数的极限
    • 1^♾️
      • 第二个重要极限或者e抬头
  • 数列极限的计算
    • n项和数列的极限
      • 夹逼准则
        • n个数之和不超过最大数乘n, 不小于最小数乘n
        • 若干正数的乘积中，把小于1的因子略去则乘积放大，把大于1的因子略去则乘积缩小
      • 定积分定义
    • n项积数列的极限
      • ln化连乘为n项和再用求和极限的办法
    • 数列关系由递推公式给出
      • 先证有界性
        • 数学归纳法
        • 重要不等式
      • 再证明单调性
        • 做差(0) / 做商(1)
        • 递推公式求导法
          • f'(x)>0, 此时数列必单调，具体的单调性可以通过第一项和第二项的大小来判断；
          • f'(x)<0， 此时数列不具有单调性，尝试考虑压缩法: 0 ≤ |Xn-a| ≤ ... ≤kⁿ|X₁-a|，左右两边的极限都是0，从而可以得到Xn=a；
      • 递推公式两端取极限求得a
• 连续
  • 连续
    • 定义
    • 性质
    • 定理
      • 最值
      • 介值
      • 零点
  • 连续的运算法则
    • f连续g不连续，则f + g 不连续
    • f不连续且g不连续，则f+g的连续性不确定
    • f连续g连续，f·g
  • 间断
    • 第一类
      • 可去
        • 函数在该点无定义但是左右极限相等
        • 函数在该点有定义但是函数值不等于极限值
      • 跳跃
        • 函数左右极限不相等
    • 第二类
      • 无穷
        • 一侧极限无穷另一侧存在或者两侧无穷
      • 振荡
        • 一侧极限振荡另一侧存在 or 两侧极限振荡
• 一定要注意洛必达的使用条件： 1. lim f(x)＝0（♾️）&& lim g(x)=0(♾️); 2. f(x)、g(x)在x=a的空心领域内可导