函数与极限

考研高等数学（三)，帮助考生梳理了考试的知识点，形成了清晰的知识体系。同时，通过对每个知识点的详细解释和关联，思维导图也促进了考生对知识的理解和记忆。因此，考生在备考过程中可以充分利用这张思维导图，提高备考效率，取得更好的成绩。

函数与极限 （10.4%）

• 性质
  • 有界性
    • f（x）在区间I上有定义，存在正数M，使得对任意的x∈I都有f（x）≤M ，则f（x）在I上有界
      • 有界⇆既有上界，又有下界
      • 有界❌→最值（因为两端取不到值）
      • 最值→有界
    • 常见的有界函数：
  • 奇偶性
    • 偶函数：f(x)=f(-x) 奇函数：f(x)=-f(-x)
    • 奇 x奇=偶，奇X偶=奇，偶X偶=偶
  • 周期性
    • f(x+t)=f(x)
  • 单调性（基于某个区间）
    • x1＜x2，f（x1）＜f（x2）单调递增 x1＜x2，f（x1）＞f（x2）单调递减
• 基本初等函数
  • 幂函数：y=xᵃ
  • 指数函数：y=aˣ （a＞0）
  • 对数函数：y=㏒ₐx
  • 互为反函数
  • 三角函数：
  • 反三角函数：
• 数列极限
  • 定义：
    • 设｛xn｝为数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（无论多么小），总存在正整数N，使得当n＞N时，不等式|xn-a|＜ε，则称数列收敛于a
  • 性质
    • 唯一性：极限唯一
    • 有界性：如果数列收敛，那么数列一定有界 （数列有界时，数列不一定收敛 ）
    • 保号性：如果xn的极限为a，且 a＞0或a＜0，那么存在正整数N，当n＞N时，有xn＞0或xn＜0（极限存在则局部保号，必能找到一个局部能确定大小 ）
      • 推论： 如果数列xn从某项起有xn＞0且limxn=a，则a≥0
    • 收敛数列与子列的关系： 数列xn收敛于a的充要条件是xn的任一子列都收敛于a
• 函数的极限
  • 极限存在，分母趋于0，则分子也趋于0
  • 极限是去心领域，函数在某点处的极限与该点函数值无关
  • 函数在一点极限存在的充要条件是左右极限存在且相等
  • 性质
    • 唯一性：极限值唯一
    • 局部保号性
    • 局部有界性
• 极限的计算
  • 四则运算：（前提AB极限存在） lim［f（x）+g（x）］=A+B lim［f（x）-g（x）］=A-B lim［f（x）*g（x）］=A*B lim［f（x）÷g（x）］=A÷B
    • 极限的加法，整体存在，部分存在，则另一部分一定存在
    • 极限的乘法，非零因子直接带入
  • 考点：分左右算极限
    • 分段函数分段点
    • （+=+∞；-=0）
    • （+=π/2；-=-π/2）
  • 无穷小
    • 极限为0
    • 有限个无穷小量的和、差、积是无穷小量
    • 无穷小*有界量=无穷小
      • 有界量：sin∞、cos∞
    • 无穷小的比较：
      • 题型（无穷小比阶）
        • 两个无穷小相比：直接相除求极限
        • 三个以上：分别跟x比
    • 等价无穷小：（因子才可用）
      • 当x→0时 x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～eˣ-1～ln（x+1） 1-conx～1/2x² （1+x）ᵃ-1～ax aˣ-1～xlna x-sinx～1/6x³ arcsinx-x～1/6x³ x-arctanx～1/3x³ tanx-x～1/3x³
      • 当x→1时，lnx～x-1 ₐ√x-1～1/a（x-1）
      • 当x，y→a时，eˣ-eʸ～eʸ（x-y）
  • 无穷大
    • 在某一去心领域内有定义，对任意给定的正数M（无论多么大），|f(x)|＞M
    • 不能震荡
  • f（x）为无穷小，f（x）≠0，则1/f（x）为无穷大
  • 洛必达（sin∞、cos∞慎用）
    • 0/0型
      • 常规步骤：代入、代换、拆分、求导
      • limf（x）=0，limg（x）=0，f'（x），g'（x）≠0存在， 诺lim f'（x）/g'（x）=a，则lim f（x）/g（x）=lim f'（x）/g'（x）=a
    • ∞/∞型
      • 拿大头；洛必达
      • limf（x）=∞，limg（x）=∞，f'（x），g'（x）≠0存在， 诺lim f'（x）/g'（x）=a（或∞），则lim f（x）/g（x）=lim f'（x）/g'（x）=a（或∞）
        • 推广： 当x→∞时，lnx xᵃ（a＞0） aˣ（a＞1） xˣ ------------------------------＞ 速度越来越快
    • 题型（7种未定式求极限）
      • 看到根式也可以考虑有理化
      • • 0*∞
          • 推论:
          • 转换为0/0或∞/∞
          • 换元：令1/x=t
        • ∞-∞
          • 转换为0/0或∞/∞
          • 有分母：通分
          • 无分母：换元，令1/x=t
        • • 三板斧： 幂指变形 提出∞ 代换lnx~x-1
        • • 幂指变形 提出指数 转换成0*∞去做
  • 极限存在的两个准则
    • 夹逼准则
      • 给定数列{xn}{yn}{zn},n®¥，有yn=xn=zn，且limyn=limzn=a，那么{xn}存在，且limxn=a
        • 从某项起即可；可以推广到函数
        • 题型（放缩）
          • 动分母 放大：1、2、...、n®n、n、...、n 缩小：1、2、...、n®1、1、...、1
    • 单调有界准则
      • 单调不减有上界，单调不增有下届，则数列极限存在
        • 题型（证明数列极限存在）
          • 先证有界，后证单调
          • 归纳法证有界
          • 先斩后奏找界
  • 两个重要极限
  • 连续与间断
    • 函数的连续性（极限值=函数值）
      • 则称函数在x0处连续
      • 左右连续（左极限=右极限Þ函数连续Þ极限存在）
    • 函数的间断点
      • 第一类间断点
        • 可去间断点：左右极限都存在，且相等，但不等于函数值
        • 跳跃间断点：左右极限存在，且不相等
      • 第二类间断点
        • 无穷间断点：左右极限至少有一个是∞
        • 震荡间断点：左右极限不存在，且不为∞
      • 题型（求间断点）
        • 找到可能的间断点
          • 无定义的点
          • 分段函数分段点
        • 求极限，根据概念判断类型
      • 题型（函数里有极限）
        • 先解极限
        • 区分极限中的变量与函数的自变量
    • 闭区间上连续函数的性质
      • 有界定理
        • 如果函数在闭区间上连续，则函数在此区间上有界
      • 最大值和最小值定理
        • 如果函数在闭区间上连续，则函数在该区间一定存在最大值和最小值
      • 零点定理
        • 如果函数在闭区间[a,b]上连续，且f(a)*f(b)<0，则在(a,b)内至少存在一个点d，使得f(d)=0
      • 介值定理
        • 如果函数在闭区间[a,b]上连续，f(a)=A，f(b)=B，则在(a,b)内至少存在一个点d，使得f(d)=C （C位于最大最小值之间）

导数 (3%)

• 导数定义
  • 存在，则函数在此点处可导
    • 证明题，任意点
  • • 计算题，某一点
  • 题型
    • 已知导数求极限
      • 用已知表达未知（凑导数定义：分子为一动一定）
    • 已知极限判断可导
      • 满足两侧趋近
      • 分子满足一动一定
  • 左右导数存在，且相等，则函数在这点处可导
• 性质
  • 奇偶性相反
  • f(x)为周期函数，则f'(x)也为周期函数
  • 导数连续：导数极限值=导数值
  • （反例：f(x)=|x|, 处处连续，在0处不可导
• 几何意义
  • 切线方程
  • 法线方程
  • 题型（求切线方程）
    • 给了切点横坐标X0，直接用切线方程
    • 没给，先设，再代入条件
• 导数的计算
  • 题型（分段函数求导）
    • 不在分断点处：直接求
    • 在分断点处：倒数定义
  • 题型（隐函数求导）
    • 方程两边同时对x求导
  • 反函数求导
    • 函数导数的倒数
  • 高阶导数
    • 莱布尼兹公式
      • （一般幂函数做v）
• 微分
  • 定义
    • 可微 Û 可导，dy=f'(x)dx
  • 几何意义

导数的应用 (10.3%)

• 导数的微分学应用
  • 函数的单调性
    • 定理：设函数f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导。 （1）如果在(a,b)内f'(x)³0（等号仅在有限多个点处成立）或f'(x)>0，那么函数在[a,b]上严格单调递增。 （2）反之递减。 （3）如果在(a,b)内f'(x)=0，则f(x)在[a,b]上是一个常数。
      • 函数在某点处的倒数的正负，不能判断该点领域的单调性
    • 题型（证明函数等于一个常数）
      • 先证明f'(x)=0
      • 给x赋值
    • 题型（证明函数不等式)
      • 利用单调性证明
      • 1、移项，构造函数
      • 2、求导，判断单调性
      • 3、利用单调性找到最值，证明不等式
  • 函数的极值与最值
    • 极值不一定是最值 最值不一定是极值
    • 极值存在的必要条件
      • 设f(x)在x0处可导，且x=x0为f(x)的一个极值点，则f'(x)=0 （满足f'(x0)=0的点，称x0为f(x)的驻点
        • 极值点不一定是驻点：f(x)=|x| 驻点不一定是极值点：f(x)=x^3 极值点可能是驻点和不可导点
    • 极值存在的充分条件
      • 第一充分条件
        • 设函数f(x)在x0处连续，且在x0的某去心邻域内可导： (i) 若x<x0时f'(x)>0，而x>x0时f'(x)<0，则在处取极大值。 (ii) 若x<x0时f'(x)<0，而x>x0时f'(x)>0，则在处取极小值。 (iii) 若f'(x)在x<x0和x>x0时符号相同，则在x0处没有极值。
        • 题型（利用第一充分条件求极值）
          • 求导
          • 找到所有可能极值点
            • 驻点f'(x)=0的点
            • 不可导点，分母为0的点
          • 判断这些点两侧的正负（用第一充分条件判断）
        • 题型（根据图像判断极值点）
          • 确定好题目给的谁的图像，根据点的特征判断
      • 第二充分条件
        • 设函数f(x)在x0处有二阶导数，且f'(x0)=0,f''(x0)¹0,则： 1、当f''(x0)<0时，f(x0)为极大值，x=x0为极大值点 2、当f''(x0)>0时，f(x0)为极小值，x=x0为极小值点
        • 题型（利用第二充分条件求极值）
          • 求导
          • 找到所有驻点，f'(x)=0的点
          • 求二阶导，判别正负
      • 第三充分条件
        • ，则：n为偶数，x0是极值点（>0,极小；<0极大） n为奇数，x0不是极值点
    • 闭区间上连续函数的最大值和最小值
      • 求出f(x)在(a,b)内的驻点和不可导点
      • 计算f(x)在上述驻点、不可导点、a、b点的取值
      • 比较这些值的大小，得到最大最小值
  • 曲线的凹凸性与拐点
    • 凹凸性定义
      • 设f(x)在区间I上连续，若对任意不同的两个点x1,x2，恒有
    • 凹凸性的判定
      • 设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内有二阶导，那么 1、如果在(a,b)内f''(x)<0，则曲线y=f(x)在[a,b]上是凸 2、如果在(a,b)内f''(x)>0，则曲线y=f(x)在[a,b]上是凹
        • 凹凸性与区间有关
    • 拐点定义
      • 连续曲线上凹与凸的分界点
    • 拐点的必要条件
      • 设函数f(x) 在x0处二阶可导，且（x0，f(x0))为曲线y=f(x)的一个拐点，则f''(x0)=0
        • 二阶导为0的点不一定是拐点； 拐点可是二阶导为0的点，也可能是二阶导不存在的点
    • 拐点的充分条件
      • 第一充分条件
        • f(x)在x0处连续，且在去心邻域内二阶可导， 1、如果f''(x)在(x0-a,x0)与(x0,x0+a)内的符号不一致，则(x0,f(x0))是曲线的一个拐点 2、如果f''(x)在(x0-a,x0)与(x0,x0+a)内的符号一致，则(x0,f(x0))不是曲线的一个拐点
        • 题型（求拐点）
          • 求二阶导
          • 找到所有可能的拐点（二阶导为0和不存在的点）
          • 判断二阶导两侧正负
      • 第二充分条件
        • 设函数f(x)在x0处有二阶导数，且f''(x0)=0，f'''(x0)¹0，则(x0,f(x0))是曲线的一个拐点
        • 题型（求拐点）
          • 求二阶导
          • 找二阶导为0的点
          • 求三阶导是否为0
  • 渐近线
    • 水平和斜不同时存在
    • 垂直渐近线
      • 找函数无定义的点、端点、分段点
      • 求这些点的极限
    • 水平渐近线
    • 斜渐近线
• 微分中值定理
  • 闭区间[a,b]连续函数f(x)的性质
    • 有界定理
      • 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)必在[a,b]上有界
    • 最大最小值定理
      • 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数在该区间一定存在最大值和最小值
    • 零点定理
      • 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)*f(b)<0，则在(a,b)内至少存在一个点x，使得f(x)=0
    • 介值定理
      • 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)=A，f(b)=B，则对于A和B之间的任何一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点x，使得f(x)=C (a<x<b)
  • 费马定理
    • 设函数f(x)在x0的某领域U(X0,d)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意xÎU(X0,d)有f(x)£f(x0)（或f(x)³f(x0)），则f'(x0)=0
  • 罗尔中值定理
    • 函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一点xÎ(a,b)，使得f'(x)=0
      • 题型（一个中值点的等式）
        • 移项，构造函数（使右边等于0，找原函数）
          • 当原函数直接看不出来时，利用微分方程的一阶线性微分方程的解法找原函数
        • 找到两个相等的函数值，由罗尔定理得证
  • 拉格朗日中值定理
    • 如果函f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得
      • 题型：识别 f(a)-f(b) 结构
  • 柯西中值定理
    • 如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，并且g ′(x)¹0，那么存在一个ξÎ(a,b) 内，使得：
• 泰勒公式
  • 麦克劳林公式
    • 求麦克劳林公式展开
      • 求函数n介导
      • 令x=0
    • 常见公式
  • 利用麦克劳林求f的n阶导
  • 佩亚诺余项
    • x的n阶导的高阶无穷小
      • 高阶无穷小是个不确定式子
  • 利用麦克劳林求极限
    • 题型（已知极限求参数）
      • 洛必达（通用）：保证0/0或¥/¥
      • 泰勒公式（巧）：利用
  • 拉格朗日余项
    • • 在x0处的余项
      • x 是x0与x之间的某个值
  • 泰勒公式
• 导数的经济学应用

不定积分 (7.2%)

• 基本性质和概念
  • 原函数
    • F'(x)=f(x)，那么F(x)就称为f(x)在区间I上的一个原函数，且原函数不唯一
    • 存在性
      • 如果f(x)在区间I上连续，必定存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F'(x)=f(x)，也就是说连续函数一定有原函数（充分非必要）。
  • 不定积分
    • 在区间I上，称函数f(x)的所有原函数为f(x)在区间上的不定积分，记：
      • 与符号无关
    • 性质
    • 基本积分公式
• 计算
  • 第一类换元积分法（凑微分法）
    • 一般用来解决复合函数的问题
  • 第二类换元积分法
    • 设x=y(t)是单调的可导函数，并且y'(t)¹ 0. 又设f[y(x)]y'(x)具有原函数，则：
    • 题型（根式不定积分）
      • 根号下无x^2：令整个根式为t
      • 有x^2：三角换元
  • 分部积分法
    • 设u(x),v(x)均有连续的导数，则
      • 两类不同函数相乘
      • u：反对幂三指
    • 表格法
      • 处理多项式乘指数或三角函数的积分
  • 有理函数的积分（多项式比多项式）
    • • n>m，为假分式
      • n<m，为真分式
    • 定理
  • 三角函数的积分
    • 奇数次方
      • 凑微分
        • sinxdx=-dcosx
        • cosxdx=dsinx
    • 偶数次方
      • 二倍角公式降次
      • 凑微分

定积分

• 概念和性质
  • 定义
    • • 定积分的本质是一个数
        • 表面积
      • 题型（n项和数列求极限）
        • 法1：定积分定义
          • 能定选定，其次夹逼
        • 法2：夹逼准则
  • 几何意义
    • 圆面积：
  • 性质
    • • 题型（积分比大小）
        • 区间相同，比函数
          • 与函数不等式联系
        • 函数相同，比区间
          • 看被积函数正负
            • 二重积分常考
    • 定积分估值不等式
    • 定积分中值定理
      • 如果函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么至少存在一点ξ，在开区间(a,b)内，则：
      • 为f(x)在[a,b]上的平均值
        • 证明题里有积分，无脑选积分中值定理
    • 周期性
      • 如果函数 f(x)是周期为T的连续函数，那么在一个周期内的积分值与周期长度无关，则：
        • 只要是一个周期，无论起点，值都相等
    • 奇偶性（偶倍奇零）
      • 如果函数 f(x)是定义在区间[−a,a]上的偶函数，即满足f(−x)=f(x)，那么它的定积分可以表示为：
      • 如果函数 f(x)是定义在区间[−a,a]上的奇函数，即满足f(−x)=−f(x)，那么它的定积分总是为零：
• 微积分基本公式
  • 定义
    • 如果 f(t)在区间[a,b]上可积，那么对于区间上的任意一点x，函数 f(t)在区间[a,x]上的定积分可以定义为一个新的函数F(x)为积分上限函数，则：
      • x是自变量，t是积分变量，误搞混！
    • 题型（求变现积分函数，即分段函数）
      • 画数轴，分段函数，分段积
  • 可导性
    • 函数f(x)在[a,b]上连续，则变上限积分函数在该区域可导，导函数为：
    • 题型（变限积分求导）
      • 先提出非积分变量
      • 再求导
      • 含有变现积分的极限：洛必达
  • 奇偶性
    • 题型（求被积函数的原函数）
• 换元法
  • 三换
    • 自变量[a,b]
    • 被积函数f(x)
    • 积分变量dx
• 分部积分法
  • 公式
  • 重要公式
    • 华里士推广（画图）
      • 奇数次：趋势不变
      • 偶数次：全部为正
    • • 一般题目要求证明时，用区间再现
• 反常积分
  • 无穷限的反常积分
  • 无界函数的反常积分
  • 敛散性的比较判别法
    • 无穷限
    • 无界函数
    • 题型（反常积分）
      • 计算（必收敛）
        • 牛顿莱布尼兹公式＋极限计算
      • 判断收敛
        • 定义
        • 比较判别法
• 应用
  • 平面图形
    • 对线
    • 直角坐标系
    • 极坐标系
  • 旋转体体积
    • 对面
    • • • 取所围的面上的一部，Dx无限趋于0，这样面积就可以近似于一个长方形来计算，相当于计算长方形围成空心柱的体积。

微分方程

• 概念
  • 微分方程
    • 方程含有自变量、未知函数、未知函数的导数
      • 若未知函数式一元函数，则是常微分方程
    • 微分方程的阶
      • 未知函数的最高导数导数的阶数
  • 通解
    • 含有任意常数的个数与方程的阶数相同
  • 特解
    • 不含有任意常数或任意常数确定后的解
  • 初始条件
    • 自变量取某定值时，对应的值
  • 线性函数
    • 未知函数和它各阶导都是一次项，而且系数是自变量的函数或常数
• 一阶微分方程
  • 可分离变量的微分方程
    • ，G(y)，F(x)是g(y)，f(x)的原函数，则通解为G(y)=F(x)+C
  • 齐次方程
    • 判断标志：每一项次数一样
  • 一阶线性微分方程
    • 题型（一个中值点等式）
      • 移项，构造函数
      • 用罗尔定理
• 高阶微分方程
  • 常系数齐次线性方程
    • 解题步骤
      • 写出特征方程
      • 解出特征根
      • 求齐次通解
  • n阶常系数微分方程
  • 二阶常系数非齐次线性微分方程
    • 题型（二阶常系数非齐次线性微分方程设特解）
      • • • Q(x)是P(x)的同次多项式
      • • • R(x),T(x)的次数取{l，n}的最高次
          • 即使只有单个sin或cos，设解时也要两个都写
  • 线性微分方程解的结构
    • • 新奇特 齐通 非齐通 奇特 新非奇特
• 一阶常系数线性差分方程

多元微分

• 多元函数极限与连续
  • • 考点（计算二元函数极限时，一元函数求极限方法同样适用）
      • 等价无穷小代换
      • 非零因子代入
      • 无穷小乘有界
  • 判断多元函数极限存在
    • • 反之不成立
    • 判断二元函数极限是否存在
      • 若分母沿某一路径为0，则极限不存在
      • 若分母不为0
        • 分子次数大于分母
          • 存在
            • 夹逼准则
        • 分子次数小于分母
          • 不存在
            • 用y=kx证明
  • 连续性
    • • 函数值=极限值
• 偏导数
  • 定义
  • 几何意义
  • 二阶偏导
    • 题型（求某点处偏导数）
      • 法一：先求偏导，再求代数
      • 法二：先代另一个变量，再求导，再代数
      • 法三：偏导定义
    • 轮换对称性
      • 条件
        • f(x,y)=f(y,x)，即x,y互换，f(x,y)不变
      • 结论
        • 把x偏导的x，y互换等于y偏导（适用于高阶偏导，多元函数）
  • 复合函数求偏导
  • 隐函数求偏导
    • 二元
      • • F(x,y)=0属于一元函数
    • 三元
      • 对谁求的偏导，就是关于谁的二元函数：
• 全微分
  • 定义
    • • A是对x的偏导，B是对y的偏导
  • 可微和偏导的关系
    • 可微充分条件
    • 可微的必要条件
    • 可微存在充要条件
• 多元函数极值与最值
  • 极值（无条件极值）
    • 定义
    • 必要条件
      • • 极值和驻点不能互推
    • 充分条件
    • 题型（二元函数的无条件极值）
  • 最值（条件极值）
    • • 用拉格朗日乘数法
    • 题型（闭区域最值）
      • • 开区间驻点
      • （条件极值问题）
        • 闭区间最值

二重积分

• 概念
  • 定义
    • • 表体积
  • 几何意义
  • 存在定理
  • 性质
    • • 乘除不可拆
  • 题型（积分比大小）
    • 区间相同比函数（定积分爱考）
    • 函数相同比区间（二重积分爱考）
  • 中值定理
• 计算
  • 累次积分
  • 直角坐标系
    • D为X型区域
    • D为Y型区域
  • 极坐标系
  • 无界区域
• 对称性
  • 奇偶对称
  • 轮换对称
  • 题型（二重积分的计算）
    • 化为合适的累次积分计算
    • 1，画出积分区域D的草图（看对称）
    • 2，选择坐标系
      • 根据积分区域D选择
        • 直角坐标系（多边形）
        • 极坐标（圆部分）
      • 根据f(x,y)选择
        • 直角坐标系
        • 极坐标
    • 3，选择积分次序（直角坐标系）
      • 根据f(x,y)选择（先积容易积的）
      • 根据D选择（积分区域划分越少越好）
    • 4，定限
      • 先定限，后积，限内画线，先交（下限），后交（上限）
  • 题型（做辅助线利用对称性解）
    • 识别：积分区域跨越三个象限
    • 方法：做辅助线，将D分为分别关于x轴，y轴对称的区域
  • 题型（交换积分次序）
    • 识别：题目已经给出了累次积分
    • 画草图
    • 交换积分次序，重新定限

无穷级数

• 常数项级数
  • 定义
    • 常数项级数
    • 前n项和
    • 级数收敛与发散
    • 题型（利用级数的定义判断敛散性）
      • 识别：等比级数，前后相消的级数
      • 步骤
        • 求
        • 求
  • 基本性质
    • • 必要条件
  • 两类重要级数
    • 几何级数
    • p级数
  • 正向级数判断敛散性
    • 定义
    • 比较判别法
      • 越抽象越好用，跟别人比
    • 比较判别法的极限形式
    • 比值判别法（达朗贝尔判别法）
      • 既有P级数，又有几何级数
      • 跟自己比
      • • r<1，级数收敛
        • r>1或¥，级数发散
        • r=1，不确定
    • 根值判别法（柯西判别法）
      • 处理
    • 积分判别法
      • 处理lnn
  • 交错级数判断敛散性
    • 莱布尼茨判别法
      • 充分非必要
  • 绝对收敛与条件收敛
    • 处理正负不确定的
  • 结论
• 幂级数
  • 定义
  • 收敛域
    • • 收敛域（带端点） 收敛区间（不带端点） 收敛半径（收敛区间长度的一半）
    • 比值判别法求收敛域
  • 阿贝尔定理
    • 开区间 左加右减
    • • 条件收敛的点一定为收敛区间的端点
  • 题型（求收敛域）
    • 步骤
  • 常用结论
  • 和函数
    • 定义
    • 常用麦克劳林展开式
      • 题型（常数项级数求和）
    • 性质
      • 分子有n，先积后导；n为几次，积几次导几次 分母有n，先导后积；用变限积分，下限为0