第一章函数的概念与特性

这是一篇关于1.函数的概念与特性的思维导图，主要内容包括：四种特性，4.隐函数，3.复合函数，2.反函数，1.函数。函数是数学中的一个基本概念，它描述了一种特殊的对应关系，即从一个数集（定义域）到另一个数集（值域）的映射。具体来说，函数将一个或多个输入值（自变量）映射到一个输出值（因变量）。函数的表示方法多样，包括解析式法、列表法、图像法等。

1.函数的概念与特性

• 1.函数
  • x为自变量，y为因变量
    • 给定数集D，对于每一个x∈D，按照一定的法则f，都有一个确定的y与之对应
      • D为定义域
      • {f(x)|x∈D}为值域
  • 单值函数
    • 一对一
      • 一个x对应一个y
    • 多对一
      • 多个x对应一个y
    • 主要研究单值函数
    • 铅锤划线法
      • 作铅垂直线，若任意一条铅垂线与f(x)至多有一个交点，则f(x)为单值函数。
  • 多值函数
    • 一对多
      • 一个x对应多个y
  • 注意
    • 若给
      • • 可改写为
          • • 消去
              • • 得到
• 2.反函数
  • 前提是单值函数，符合铅锤划线法
  • 对于每一个y∈R，必存在唯一的x∈D使得y=f(x)成立，则由此定义了一个新的函数x=φ(y)，这个函数称为函数y=f(x)的反函数
    • 一般记作
      • 定义域为R
      • 值域为D
    • 相对于反函数来说，原来的函数称为直接函数
  • 在符合铅锤划线法的条件下，作水平直线，若任意一条水平线与f(x)至多一个交点，则f(x)有反函数。
  • 注意
    • 严格单调函数必有反函数（充分条件）
      • 如
        • （记得把定义域也看上）
      • 有反函数的不一定是单调函数，如
        • 图像是
    • 在同一个坐标系中
      • 的图像完全重合
      • 的图像关于y=x对称
    • 铅垂直线定单多，水平直线定反直
  • 拓
    • 函数
      • 反双曲正弦函数
      • 奇函数
    • 函数
      • 双曲正弦函数
      • 奇函数
    • 函数
      • 双曲余弦函数
      • 偶函数
        • 一种特殊的悬链线
    • 三个重要结论
      • 时
      • • 所以
      • 因为
        • 奇函数
          • 所以
• 3.复合函数
  • y=f(u)的定义域为D1，函数u=g(x)在D上有定义，且d(D)⊂D1
    • 则
      • 为u=g(x)和y=f(u)构成的复合函数
      • 定义域为D，u为中间变量
• 4.隐函数
  • 若当x取某区间内的任一值时，总有满足该方程的唯一的值y存在，则称方程F(x,y)=0在上述区间内确定了一个隐函数y=y(x)。
  • 适用铅锤划线法
  • 隐函数是否容易显化
    • • 可显化为
    • • 但不易显化
  • generally speaking
    • F(x,y)=0所确定的隐函数求y(x0)
      • 若带入x0易求出y(x0)，则直接求之
      • 若不易求出y(x0)，用观察法
        • 设y=y(x)由
          • 确定
            • 当x=2时，y(2)=1
              • 显然
        • 设y=y(x)由
          • 确定
            • 当x=2时，y(2)=1
              • 显然
• 四种特性
  • 有界性
    • 设f(x)的定义域为D，数集I⊂D，如果存在某个整数M，使对任意x∈I
      • 有
        • 则称f(x)在I上有界
      • 这样的M不存在
        • 则称f(x)在I上无界
    • 从图形上看，如果函数y=f(x)的图像能够被直线y=-M和y=M完全包起来，就是有界
      • 如果这样的M不存在，则称y=f(x)在I上无界
    • 从解析上看，如果这样的M不存在，则称f(x)在I上无界。
    • in fact
      • 只要在区间I上或者端点处存在点x0
        • 使得
          • 的值为无穷大（也就是说没有任何两条直线y=-M和y=M可以把I上的f(x)包起来）
            • 这就是无界
  • 单调性
    • 对任意x1,x2∈D，x1≠x2，有
      • f(x)是单调增函数
        • 充要条件
      • f(x)是单调减函数
        • 充要条件
      • f(x)是单调不减函数
        • 充要条件
      • f(x)是单调不增函数
        • 充要条件
  • 奇偶性
    • f(x)的定义域D关于原点对称（x∈D，则-x∈D），对于任一x∈D，恒有
      • 奇函数
        • 关于原点对称
      • 偶函数
        • 关于y轴对称
    • 注
      • 前提：定义域关于原点对称
        • 必是偶函数
          • 如
        • 必是奇函数
          • 如
        • 对任一函数f(x)
          • 令
            • 则u(x)是偶函数
          • 令
            • 则v(x)是奇函数
          • 因为
            • 所以任何一个函数都可以写成一个奇函数与一个偶函数之和的形式
        • 特色
          • • 奇函数
        • 拓
          • 设对任意的x,y
            • 有
              • 则f(x)为奇函数
    • • 内偶则偶，内奇同外
        • 奇【偶】→偶
          • 如
        • 偶【奇】→偶
          • 如
        • 奇【奇】→奇
          • 如
        • 偶【偶】→偶
          • 如
        • 非奇非偶【偶】→偶
          • 如
  • 周期性
    • f(x)的定义域为D，存在一个正数T，使得对于任一x∈D，有x±T∈D，且f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为f(x)的周期。
    • 重要结论
      • 若f(x)以T为周期
      • 若g(x)为周期函数
        • • 如
      • 若f(x)是以T为周期的可导函数
      • 若f(x)是以T为周期的连续函数
• by h(9)的考研数学