多维随机变量及其分布

概率论多维随机变量总结，前面的有人传过了，他多维随机变量没做，我承接他的。《概率论与数理统计》第二章：随机变量及其分布重难点及其公式，内容包括：随机变量、离散型随机变量及其分布、连续型随机变量及其概率密度、随机变量的函数的分布。

多维随机变量及其分布

• 二维随机变量及其分布
  • 二维随机变量的边缘分布
  • 二维随机变量的条件分布
  • 二维离散型随机变量
    • 其概率分布
    • 其边缘分布（某行或某列相加）
    • 其条件分布（P{X=xi,Y=yi}=Pij/P•j)
  • 二维连续型随机变量
    • 其概率密度
    • 其边缘密度（对另一项求积分）
    • 其条件密度
  • F（x,y)的性质
    • 有界性0<=F(x,y)<=1
    • 规范性：F(-∞，y)=F(x,-∞)=F(-∞，-∞）=0; F(+∞，+∞）=1;
    • 单调不减性
    • 右连续性
    • P{a<X<=b,c<Y<=d}=F(b,d)-F(b,c)-F(a,d)+F(a,c)
  • f(x,y)的性质：
    • f(x,y)>=0
    • ∫ ∫f(x,y)dxdy=1
    • 随机变量落在区域D内的概率
• 随机变量的独立性
  • 随机变量相互独立的充要条件
    • 离散型
      • P{X=xi,Y=yi}=P{X=xi}P{Y=yi} 即pij=p.j*pi.
    • 连续型
      • f(x,y)=fx(x)*fy(y)
• 二维均匀分布于二维正态分布
  • 二维均匀分布
    • 公式
    • 性质
      • 设（X，Y）在G上服从均匀分布，D是G的一个部分区域，记他们的面积分别为S D和S G，则P{（X，Y）€D}=S D/S G
  • 二维正态分布
    • 公式（不做要求）
    • 性质
      • （X，Y）～N（u1,u2,o1²，o2²，p)；X，Y均服从一维正态分布
      • X，Y相互独立的条件是p=0；
      • 行列式a b≠0，（aX+bY，cX+dY）也服从二维正 c d 态分布，aX+bY服从一维正态分布
• 两个随机变量函数Z=g(x,y)的分布
  • x,y均为离散型
    • 与一维求法类似
  • x,y均为连续型
    • X，Y相互独立时
      • 卷积公式Z=X+Y
    • Fz（z)求法公式
  • X为离散型，Y为连续型随机变量。
    • X用全概公式展开