考研高数思维导图

将考点和必备知识点，进行了归纳和整理，帮助学习者理解和记忆。直击重点，可以作为学习笔记和复习资料，帮助大家系统地回顾和巩固所学知识，知识点系统且全面，希望对大家有所帮助！

高数思维导图

• 1.函数、极限与连续
  • 必备知识点
    • 函数及函数的初等特性
      • 概念P7 基本初等函数：反对幂指三→（复合加减乘除）→初等函数
      • 性质P10
    • 极限
      • 概念（去心邻域）
        • 数列极限
        • 函数极限
      • 性质
        • 唯一性
        • 有界性
        • 保号性
      • 运算性质
        • 四则运算
        • 复合运算(易漏易错)
    • 无穷小与无穷大
      • 基本概念P16 无穷小
        • 无穷小的比较
          • 常见等价无穷小P20
        • 基本性质P17 有界函数与无穷小之积仍为无穷小
      • 基本概念P17无穷大
    • 极限存在定理与重要极限
      • 定理
        • 夹逼定理（数列/函数）
        • 单调有界定理
      • 重要极限P20
    • 连续与间断
      • 基本概念P22
      • 闭区间上连续函数的性质P23
        • 最大值与最小值
        • 有界定理
        • 零点定理
        • 介值定理
  • 重要考点
    • 一：极限概念与性质
      • 在选择题中经常出现，有坑
    • 一：不定型极限计算
      • 0/0型
        • 常用方法
          • 等价无穷小
          • 洛必达法则
          • 麦克劳林公式
        • 常用技巧
          • 指数化e
          • 对数lnx化ln(1+x)
      • 1的无穷次方
        • 常用技巧 通通化e
          • (1+Δ)
          • 底翻上做e的ln次方
        • 常用方法：参考0/0
      • ∞/∞型
        • 常用方法
          • 化为分数只管分子分母高次系数
          • 洛必达
          • 夹逼
    • 三：利用中值法求极限
      • 必写步骤
        • 1.构造函数令f(t)，求f'(x)
        • 2.利用拉格朗日中值化形
        • 3.明确ξ范围
        • 4.代入极限化简
      • 难点:如果f(ξ)的极限为0，需要在分母上单独分一个x(→0)给它，并且用夹逼算左右极限
    • 四：数列极限存在性证明
      • 有界
        • 先预求一下界线:a1已知值，a1给定范围
        • 常用第一类数学归纳法
        • 算术不等式、重要不等式
        • 还有一种比较复杂从函数角度出发，一般大于零，结合广义积分更难算
      • 且单调
        • an+1与an比大小
          • 当x大于零时，f(x)与x，经典的sinx<x,ln(1+x)<x
          • 推出有界知道an大概的正负或值，直接an+1+an算正负
          • 构造f(an)=an+1-an,判断f(x)值是否大于0
        • 构造an+1=f(an),y=f(x)求导
          • 导函数是否大于0
          • a1<a2单调增a1>a2单调减
      • 求极限最简单an通通为A
        • 极限往往就是界值
    • 五：无穷小比较
      • lim f(x)/g(x)=0 f(x)是g(x)的高阶；lim f(x)/g(x)=k≠0 f(x)是g(x)的同阶；lim f(x)/g(x)=1 f(x)是g(x)的等价；
      • 含参数的极限求参
        • 转化成分式利用无穷小求系数
        • lim f(x)/g(x)存在，且limg(x)=0时，limf(x)=0
    • 六：闭区间上连续函数性质问题
      • 看到函数有闭区间那么四个性质都算已知条件了
    • 七：函数的连续性、间断点及分类
      • 左右极限
        • 存在（都有值）
          • 一样
            • =f(x)
              • 连续
            • ≠f(x))
              • 可去
          • 不一样
            • 跳跃
              • f(x)极限不存在
        • 不存在（有0或∞）
          • 第二类
            • • f(x)极限不存在
• 2.导数与微分
  • 导数与微分的基本概念与性质
  • 隐函数及参数方程确定的函数的导数
  • 重要考点
    • 一：求导、判断可导性
      • 结合极限考，难点在拼凑导数定义式
    • 二：隐函数及参数方程确定的函数的导数
      • 没什么难点，但是易错，多算算
    • 三：分段函数的导数
      • 用极限求，例题还附带了连续性的证明
    • 四：高阶导数
      • 感觉与夹逼定理的归纳总结技巧相当，想不出来就是想不出来
• 3.一元函数微分学的应用
  • 必备知识点
    • 中值定理与洛必达法则
      • 中值定理
        • 前提：费马定理
        • 1.罗尔定理
        • 2.拉格朗日中值定理
        • 3.柯西中值定理
        • 4.麦克劳林公式
      • 洛必达法则
    • 导数的应用
      • 单调性
      • 极值
      • 图像的凹凸性
      • 渐近线
      • 弧微分与曲率
  • 重要考点
    • 一：中值定理及应用
      • 1.只证明一个导函数为0的
        • 一阶：找两个相等的函数值用罗尔；找最值点
        • 多阶：找一阶的两个相等的导函数值再用罗尔；找三个点用两次拉格朗日
      • 2.需要证明一个简单导函数方程的（构造辅助方程,罗尔定理）
        • 还原法（lnF(x)）
        • 分组构造（二阶导与一阶导有联系）
        • 凑微分法（直接整理成F'(x)=0）
      • 3.结论中有a,b,和E
        • 可分离
          • 分开用柯西或者拉朗
        • 不可分
          • 凑微分，罗尔
      • 4.需要证明两个或两个以上的导函数
        • 只含两个导函数
          • 找三点用两次拉朗
        • 只含两个中值数但复杂度不同
          • 先算复杂，柯西和拉朗依次上
        • 有中值有导函数复杂度匹配
          • 先分别凑微分在用两次拉朗
      • 5.中值定理与导角 难点
        • 如果f(x)表达式具体，解出导角
        • 如果f(x)表达式抽象，不解出导角
      • 6.拉格朗日范用条件
        • f(b)-f(a)
        • f(a),f(b),f(c)
        • f(x),f'(x)
      • 7.泰勒公式常规证明 难点
        • 导数阶差2阶以上
        • f(a),f'(c),f(b)
          • x＝a,b xo＝c
        • x取函数点f(a),f(b);端点，中点；任意点
        • xo取一阶导数有值点；中点
    • 二：方程根或函数零点的讨论
      • 零点定理
      • 罗尔定理
      • 常用：单调性
        • 首先，方程化函数
        • 其次，算极值单调性
        • 最后，算函数两头，画出大致图像
    • 三：不等式的证明
      • 凹凸不等式：二阶函数保号性
      • 单调法：F(x)=f(x)-g(x),极值点的判断
      • 最值法：一阶导判断不出单调性时，用二阶导得到最大值最小值
      • 中值定理：拉朗、柯西
    • 四：曲线的渐近线
      • 水平，±∞
      • 竖直，0正0负
      • 斜公式会背
    • 五：算弧微分，曲率与半径
• 4.多元函数微分学
  • 多元函数微分学的基本概念
    • 基本概念P103二元函数的去心邻域、连续性、极限、偏导数
    • 有界闭区间上二元连续函数的性质P106
    • 二阶混合偏导数次序无关P106
  • 全微分
    • 全微分定义P107
    • 二元函数连续←可微→可偏导之间的关系P108
  • 多元函数求导法则
    • 复合函数求导法则
    • 隐函数（组）确定的函数求导法则
    • 显函数
    • 变换
  • 多元函数的极值
    • 定义
    • 无条件极值（二元）ABC
    • 有条件极值（难）拉格朗日乘数法
  • 重要考点
    • 一：多元函数的基本概念与性质
    • 二：显函数，复合函数及隐函数求偏导
    • 三：多元函数的极值
      • 无条件
        • x,y偏导＝0求驻点
      • 有条件
        • 先由1、2求y＝(x)再代入3得到x,y
        • 先由1、2求y＝(λ),x＝(λ)再代入3得到λ后求x,y
        • 先由1、2直接得到λ，再代入1或2得到y＝(x),最后代入3求x,y
        • 1或2讨论
      • 应用题
        • 根据所求得到函数表达式，再根据题意得到约束方程
• 6.微分方程
  • 微分方程的基本概念
    • P91特解与通解
  • 微分方程求解
    • P92一阶分类及解法
      • 可分离变量
      • 齐次项
      • 一阶线性
        • 齐次
        • 非齐次
    • 可降价的高阶微分方程
      • 简单高阶直接不定积分
      • 缺y型微分方程
      • 缺x型微分方程
    • 高阶（二阶常系数）微分方程
      • 齐次
      • 非齐次
  • 重要考点
    • 一：微分方程的基本概念与结构
    • 二：特定类型微分方程的求解
• 8.二重积分
  • 概念与性质
    • 背景：二元不规则量的计算
    • 定义P118
    • 性质P119
  • 计算方法
    • 直角坐标法
    • 极坐标法
  • 重要考点
    • 一：二重积分的基本概念及性质
    • 二：改变积分次序
    • 三：二重积分的运算
    • 四：
• 7.定积分
  • 基本概念与一般性质
    • 背景:一元不规则量的计算
    • 定义P76
      • 极限值与小区间的分法无关
      • 当小区近无穷接近零时，它分的个数一定是无穷大，反之不行
      • 一个函数在闭区间上，可击必有界，但有界不是可击，有借势可击的必要条件
      • 数列n取无穷时的极限，可以用定积分定来做，但是要注意分子分母次数相同
        • i与i- 1
        • 0到k
        • a到b
      • 连续函数或存在有限个第一间断点的函数可积
      • 如果奇函数则它的原函数肯定为偶函数a-x，反之不行，除非0-x上的偶函数的原函数是奇
      • 如果函数是周期函数，它的原函数不一定是周期函数
    • 性质P77
      • 基本性质
        • 被积函数与原函数的关系
        • 牛顿莱布尼兹公式
        • 积分里加减可拆性
        • 定积分区域可分段性
        • 被积分函数与积分结果的大小一致性
        • 积分不等式
        • 积分中值定理
      • 一般性质
        • 先加减再定积分＝先定积分再加减
        • 定积分常数可提
        • 定积分对积分限有可加性（同样也可以拆）
        • 一在AB上的定积分等于b-a
        • 比大小
        • 积分中值定理
        • 柯西不等式
      • 特殊性质
        • 对称区间P81
        • 三角函数P81
        • 周期函数P83
  • 基本定理与特殊性质
    • 变积分限的函数
      • 经常用于求极限的洛必达法则求导
    • 定理P79积分与微分
    • 求积分方法
      • 换元
      • 分部积分
  • 反常积分
    • 区间无限（指数大于一数列收敛）
      • 无上限(X趋近正穷)
      • 无下限（X趋近负无穷）
      • lim xf(x)
    • 区间有限（指数小于一收敛）
      • 上限取不到（X趋近于b负，lim(b-x)f(x) )
      • 下限取不到(X趋近于a正，lim(x-a)f(x) )
    • 判别定理
      • 大收敛，小收敛；小发散，大发散
      • 一个函数绝对收敛，则它必收敛
  • 定积分的几何应用
    • 面积
      • ∫(ab) ℓf(x)-g(x)ℓ dx 直角坐标
      • 1/2 ∫(αβ) [r²(θ)-R²(θ)] dθ 极坐标
      • 旋转曲面
    • 体积
    • 弧长
  • 重要考点
    • 一: 利用定积分的定义计算极限
      • 求齐次极限与[0,1]定积分等价交换
      • 定积分比大小
        • 直接比被积函数在区间的大小
        • 间接两个被积函数相减算大小
      • 被积函数换元法
    • 二: 定积分的常规计算
      • 除了换元法和分布积分法还要灵活使用定区间的特殊性质，比如对称性，三角形和周期性
      • 还会碰到抽象定积分，求解fx算不出来需要整体计算的，这个时候要巧用分步积分的x
      • 分段函数求定积分
      • 变换保持区间计算定积分
      • 定积分与微分方程
      • 广义积分（需要用到反常积分法）
    • 三：定积分的证明
      • Fx为连续函数
        • 基本操作有：保持变换区间、积分中值定理、积分绝对值不等式
      • Fx连续且单调
        • 进阶操作：至少有两个零点的反证法、已知单调性的微区间不等式法、
      • Fx为周期函数
        • 定积分与夹逼定理
      • FX 1阶可导
        • 若出现原函数与其一阶导数
          • 算其导数的正负得单调性
          • 若被积无导数采用拉格朗日
          • 若被极函数有导数，则用牛顿莱布尼兹公式
        • 常见三种工具
          • 如果出现绝对值，则使用定积分的绝对不等式
          • 若有平方，则可以采用积分两函数的不等式
          • 若出现原函数表达式，求函数的定积分，这需要两边积分
        • 中值定理的区别
          • 点无重复的可能或者是出现b-a的分数的积分，则使用普通终值定理[a，b]
          • 若点有重复的可能与左端点右端点重合，无法求或不严谨，用广义积分中值定理(a，b)
      • Fx高阶可导用泰勒
        • 注意，这里还会常用到介值定理
        • 被积函数泰勒公式展开
          • 泰勒分数n
          • ξ属于闭期间
        • 原函数泰勒公式展开
          • 泰勒分数n+1
          • ξ属于开区间
    • 四：定积分的几何意义
      • 绕xy或者是其他的旋转可以用公式法或元素法
• 4.不定积分
  • 基本概念与性质
    • 连续函数一定有原函数
    • 有第一类间断点的函数，无原函数，但是可以积
    • 有第二类间断点的函数，可有原函数
    • 基本公式
  • 积分法
    • 换元
      • 第一类换元法：简单多项式凑型
      • 第二类换元法：本身的变量比较复杂，化成简单的t
    • 分部
  • 两类特殊函数
    • 有理函数的不定积分
      • 假分式拆成多项式和真分式
      • 将真分式拆成部分和（差）
    • 三角函数有理式的不定积分
      • 特征：根号下平方和（差）
  • 重要考点
    • 一：函数与原函数问题
    • 二：换元积分法
    • 三：分部积分法
    • 四：有理与三角
    • 五：分段函数
    • 六：综合型