高等数学

这是一篇关于高等数学相关概念、公式和结论的思维导图，主要内容包括：极限、微积分和微分方程。总结全面细致，适合做为复习资料。

总结拓展

• 要熟记的结论
  • 曲率与曲率半径
  • 基础微积分公式
    • • 展开式规律
        • 对数、正切无阶乘
        • 等式两边同奇偶
        • x之上加，x之下减。
  • 经典形式公式总结
• 解题方法总结
  • 杂项
    • 零因子及其消除
    • 分子有理化
      • 遇到根号减根号上下乘以根号加根号 遇到根号加根号上下乘以根号减根号
    • 当分子分母都有自变量 通过转换分子，使之转化为自变量在分子或分母的形式 得到广义化变量
    • 记忆反例，可以充分理解公式或性质
  • 积分、求导和求极限 要准确寻找出自变量
    • 变量类型
      • 自变量 （通常：x）
        • 通过换元法可以更改自变量
      • 中间变量 （通常：u/t）
      • • 纠缠太多会增加计算复杂性 是换元法要避免的问题
      • 因变量 （通常：y）
      • 求导变量 （通常：x）
      • 积分变量 （通常：dx）
      • 相关变量与无关变量 （通常：n）
        • 若题目中给出与自变量之间的关系（等式或不等式）， 则被称为相关变量。
          • 与自变量有关的变量类型
          • 运用复合函数规则计算
        • 若确定各某变量与任何变量无关，则为无关变量 与任何变量无关的变量均可看作常数 A
          • 有时候也会涉及到讨论， 当无关变量取值是函数会发生哪些变化。
          • 无关变量可以与其他变量的关系可以任意给定。
  • • 函数任意阶可导
  • 构造辅助函数，方法总结
    • 简单情形
    • 复杂情形
      • 乘积求导公式的逆用
      • 商求导公式的逆用
  • 题型解题思路
    • 经典题目解题思路
      • 翻译得到关系式
      • 约束式、关系式、定义式
        • 约束式
        • 关系式
        • 定义式
      • 做一至两步的逆运算 推断已知条件
        • 逆运算
          • 命题老师一般不会出让你一眼就能看出来的已知条件
          • 题目减你就加，题目乘你就除。 将已知条件变形，再用新的自变量代替，使之逼近问题的结论。
        • 通过定义、公式和结论推断隐藏条件
        • 恒等变形
          • 目标
            • 复杂的式子简化
              • 初等函数
              • 定义、性质、公式、定理
              • 子主题
          • 提公因式
          • 拆项
          • 合并
          • 分子分母同时除变量的最高次幂
          • 换元
          • 加减——神秘的0 乘除——无形的1
      • 联想经典形式
  • 积分计算技巧
    • 恒等变形
    • 换元法
      • 复合函数求导规则
      • 准确找到中间变量u f(u)u'
      • 令自变量x为新的自变量t g(t)
    • 分部积分法
      • 乘积求导公式
      • 变量交换
    • 有理函数积分法
  • 抽象和具体
    • 抽象
      • a,b
      • x1、x2
      • 抽象表达式
    • 具体
      • 变量
        • x,
      • 数
        • 1
      • 具体表达式
  • 思路正确处处是巧合
    • 千万不要硬算，当发现计算很复杂时就要想一想， 是否还有更简单的方法，是否还有公式可以用。
  • 别把题抄错了
  • 能化简化简
  • 图片一行给50
  • 看看条件有没有全用上，没全用上肯定有问题
• 数学概念
  • 点
    • 驻点（也称为临界点或稳定点）是指函数的导数为零的点。
    • 瑕点是指函数在某点的行为与周围点显著不同，通常是因为函数在该点不连续、不可导或者函数值趋于无穷大。
  • 数
    • 实数 R
      • 有理数： 能够用整数或分数表示的数
        • 整数 N
          • 自然数 0, 1, 2, ...
            • 质数 无公因子的自然数
              • 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
            • 合数 其他自然数
            • 0，1 非质非和
          • 正整数N+ 1, 2, 3, ...
        • 分数 Û 有限/循环小数
      • 无理数
        • 指的是不能表示为两个整数比例的实数，即不能写成分数形式的数。
        • 无限不循环小数
          • e
          • p
    • 超实数 R*
      • 属于超实数，表示一种不存在，是特殊的存在。
    • 复数 z
      • • 实部+虚部 复数可以看成一个点，其横坐标对应实部，纵坐标对应虚部
  • 坐标系
    • 直角坐标系 （x, y）
      • x轴
      • 原点
      • y轴
    • 极坐标系 (q, r)
      • 极轴（射线）
      • 极点
• 重要公式
  • 三角函数公式
    • 基本三角公式
      • 子主题
    • 诱导公式
      • 移动变换
      • 1||| 奇变偶不变
      • 2||| 符号看象限
    • 倍角公式
    • 半角公式
      • 就是倍角公式的运算
    • 伸缩变换
    • 和差公式
    • 积化和差 和差化积
    • 万能公式
  • 指数函数 对数函数运算
  • 幂函数公式
    • 一元函数 （只有一个自变量）
      • 一元一次函数
        • 自变量与因变量为线性关系。
        • 斜率a 截距b
        • 两点/一点和斜率
        • 一元一次方程
      • 一元二次方程基础
        • 判别式 求根公式 根和系数的关系
    • 幂函数因式的乘积
      • 因式展开
        • 二项式定理 阶乘与双阶乘
      • 通分（合并）与逆通分（拆解）
        • 指在进行分数的加减运算时，将几个分数转换为具有相同分母的分数。
    • 幂函数的 n次多项式
      • n次多项式的因式分解
        • 1||| 试根法
        • 2||| 多项式的带余除法
          • 因为已经确定了一个因式，所以除以这个因式一定可以整除。
      • 一般多项式与 特殊多项式
        • • 特殊n次多项式是指具有某些特定性质的多项式
          • 一般n次多项式是一个最高次数为n的多项式
      • 余项：
    • 完全平方
      • 如：
        • 同一变量放到一起
      • 同幂次和差提公因式
        • 多项式的带余除法
    • 分式拆解
      • 拆分时分子的分配——f(x)
        • A[?]+B[?]=f(x)
          • ?为目标
      • 有理函数拆分为最简有理分式
    • 多元函数方程/ 微分方程
      • 分离变量
        • 子主题
  • 子主题
    • 点到直线的距离公式
• 函数总结
  • 函数
    • 方程： 函数因变量=0
    • 函数的根 = 方程的解
    • 坐标系
      • 轴坐标系 x, y
      • 极坐标系 q, l
  • 基本初等函数 图像和性质 5+1
    • 常数函数
      • 找交点
    • 反三角函数
      • 反正弦函数与反余弦函数
        • • 奇函数
      • 反正切函数与反余切函数
        • • 奇函数
    • 对数函数
      • e = 2.718281828459045...
        • 欧拉数
      • a>1时，单调递增； 0<a<1时，单调递减。
    • 幂函数
    • 指数函数
      • • 为了保持指数函数的连续性、可导性、实际应用的合理性以及数学运算的一致性，我们通常将底数a限制为大于 0 且不等于 1 的实数。
        • e = 2.718281828459045...
          • 欧拉数
        • a>1时，单调递增； 0<a<1时，单调递减。
    • 三角函数
      • 正弦函数与余弦函数
      • 正切函数与余切函数
      • 正割函数与余割函数
        • • secant
          • 偶函数
        • • cosecant
          • 奇函数
    • （常见）组合： 初等函数
      • 幂指函数
        • （通用解题化简方法）
      • 双曲函数
        • 双曲正弦函数
          • 指数差函数的一半
          • • 奇函数
        • 反双曲正弦函数
        • 双曲余弦函数
          • • 偶函数
        • 反双曲余弦函数
        • 其他（暂时不重要）
          • 双曲正切函数
          • 反双曲正切函数
          • 双曲余切函数
          • 双曲正割函数
          • 双曲余割函数
      • 题目：初等函数
      • 差函数
        • 数列方程解的极限问题
  • 分段函数
    • 三个重要的分段函数
      • 绝对值函数
        • 即是初等函数，也是分段函数
      • 符号函数
      • 取整函数
  • 题目：分段函数
  • 图像变换
    • 对称变换
      • 函数奇偶性、对称性
      • 变量加负号， 关于该变量轴过原点的垂线对称
        • f(-x)
    • 平移变换
      • 函数原点移动后的奇偶性、对称性
      • 自变量 左加右减 上减下加 因变量 上加下减
        • f(x+1)
    • 伸缩变换
      • 函数的周期性
      • 变量 乘>1缩 <1伸
        • f(2x)

高等数学 极限

• 函数极限与连续 （化成分式或 分式相乘的形式）
  • 一、函数的概念与特性
    • 函数
      • 定义和性质
        • 属于单值函数，一对一/多对一
          • 铅锤划线法——作铅锤直线，若其与函数至多有一个交点，则为单值函数。
      • 笛卡尔变量
        • x, y, z
        • u, v, w
      • 例题
        • 根据已知条件（复合函数表达式），求函数表达式
    • 反函数
      • 定义和性质
        • 同样属于单值函数，一对一
          • 水平划线法——作水平直线，若其与函数至多有一个交点，则为单值函数。
        • 严格单调的函数必有反函数。
        • 函数与其反函数的图像是重合的，此时自变量为y
          • 当反函数的变量x和y互换后的图像与其原函数图像关于y=x对称。
      • 例题
        • 根据已知条件（函数表达式），求反函数表达式及其定义域。
      • 双曲正弦函数
        • 反双曲正弦函数
      • 双曲余弦函数
    • 复合函数
      • g(x)为中间变量
      • 题目一般会给出两个函数的表达式，我们只需要将它们合并即可。 合并步骤是由内向外。
        • 特别注意： 中间变量转变为自变量时， 自变量的取值范围。
    • 隐函数
      • 方程有时 不易求出y值
        • 有时可以使用观察法得出y的值。 显然y=?
          • 如
    • 参数方程
      • t为引入的中间变量
    • 表达式复杂无法直接表示
    • 函数的四大特性
      • 有界性
        • 重要结论
      • 单调性
        • 重要结论
      • 奇偶性
        • 重要结论
      • 周期性
        • 重要结论
  • 二、函数的图像
    • 函数总结
    • 基本初等函数 （反对幂指三+常）
      • 常数函数
        • 找交点
      • 反三角函数
        • 反正弦函数与反余弦函数
        • 反正切函数与反余切函数
      • 对数函数
        • e = 2.718281828459045
      • 幂函数
      • 指数函数
      • 三角函数
        • 正弦函数与余弦函数
        • 正切函数与余切函数
        • 正割函数与余割函数
    • 初等函数
      • 由基本初等函数经过有限次的四则运算，以及有限次的复合步骤所构成的并且可以由一个式子所表示的函数。
      • 如
        • 幂指函数（通用解题化简方法）
        • 双曲函数
    • 分段函数
      • 三个重要的分段函数
  • 三、函数极限的概念与性质 4
    • 邻域
      • δ邻域
      • 去心δ邻域
        • 左δ邻域
        • 右δ邻域
    • 函数极限的定义
      • • • 任意 e>0 M>0
          • 存在 d>0 X>0
    • 函数极限的性质
      • （1） 极限的唯一性
        • 如果极限存在，则必定唯一，即左右极限相等。 若左右极限不相等，则极限不存在。
      • （2） 函数极限的局部有界性
      • （3） 函数极限的局部保号性
        • 脱帽法严格不等
          • 极限不为0，函数值一定不为0。
        • 戴帽法非严格不等
          • 函数值大于0时，极限可以为0。
    • 无穷小的定义
      • 无穷小的性质
        • 有限个无穷小的和是无穷小 有界函数与无穷小的乘积为无穷小 有限个无穷小的乘积是无穷小
      • 无穷小的比阶 设在自变量的同一变化过程中， limα(x)=0，limβ(x)=0，且β(x)¹0，则有
        • 0为最高阶的无穷小
        • 并非任意两个无穷小都可以比阶
      • 结论
        • 等价无穷小替换定理
          • 极限是1，可以与任何式子相乘而不改变结果
        • x→0时，常用的等价无穷小
          • 补充
            • 子主题
        • 等价无穷小广义化和恒等变换
          • 变量变换左加右减
    • 无穷大的定义
      • 无穷小的倒数为无穷大 无穷大的倒数为无穷小
  • 四、极限的计算
    • 常规极限计算 4
      • 极限四则运算规则
        • 变形：适用于分离后可以用到某些结论的情况。
        • 若limf(x)=A，limg(x)=B， 那么
          • 若limf(x)/limg(x)之一不存在，那么组合的极限也不存在，不能进行四则运算（超实数不能进行运算）。 若都不存在，其组合不一定不存在（不必深究）。
      • 等价无穷小与无穷小的运算
        • 变形后一眼秒
        • 无穷小的运算
          • 加减时低阶吸收高阶
          • 乘除时阶数累加
            • 非零常数相乘不影响阶数
        • 两个重要极限
      • 泰勒公式
        • 在泰勒眼中，任何可导函数都可以转化为相应幂函数（多项式）的组合。 适用：函数中有不同类型的基本初等函数。
        • 泰勒公式应用时的展开原则
          • 展开至上下同阶
          • 展开至相减幂次最低
      • 夹逼准则
        • 适用：n项相加，相乘求极限
        • • 概要
    • 七种未定式
      • 过程
        • 化简先行
          • 提出极限不为0的因式
          • 等价无穷小的代换
          • 恒等变形
        • 判断类型（运算）
        • 选择方法
      • 解题
        • • 设置分母原则：简单因式下放成为分母。
          • • （1） 因式分解
              • 可以因式分解的因式分解，分解成只有一个变量。
            • （2） 抓大头
              • 当x→∞时，只需要抓分子分母关于x的最高次项，其他项可忽略。 当x→0时，抓最低次项。
          • 分式无穷小不均匀 00/0
            • 将少的分出一部分，与多余的部分组成未定式。
            • 得到多个未定式的乘积。
        • • 一方有分母直接通分
          • 无分母想办法转换为相除的形式
            • 取倒数的倒数
            • 提公因式
            • 换元等
        • 幂指函数
          • 牢记规则
          • 学会变形
        • 洛必达法则
          • • 法则一
          • • 法则二
          • 概要
            • 求导后的式子若还满足洛必达法则的条件，可继续求导使用。
          • • 如
          • 结论
            • 当x→∞时
  • 五、应用
    • 函数的连续与间断
      • 连续点的定义
        • 连续性运算法则
          • 两个函数的加减乘除连续
          • 复合函数连续
          • 反函数连续且具有相同的单调性
        • 邻域内保号
      • 间断点的定义和分类
        • 第一类间断点 (左右极限都存在)
          • 可去间断点/可补间断点
            • 可通过补充使函数连续。
          • 跳跃间断点(左极限≠右极限)
        • 第二类间断点 除第一类间断点之外的间断点
          • 无穷间断点
          • 震荡间断点
      • 间断点和连续判别的本质是极限的计算
• 数列 5'
  • 数列的概念
    • 通项
    • 子列
    • 等差数列
    • 等比数列
    • 单调数列
    • 有界数列
    • 数列的前n项和
    • 一个重要的数列
      • 摆动数列
    • 函数数列
      • 子主题
  • 数列极限
    • 数列极限的定义
      • 常用语言
        • 无穷小量
        • 无穷大量
    • 数列极限的性质
      • 定理1：数列收敛与其子列收敛的关系
        • 收敛
        • 发散 2
          • （1） 如果找到一个发散的子列，则原数列是发散的。
          • （2） 如果至少两个子列收敛于不同的极限，则原数列是发散的。
      • 定理2：极限的唯一性
      • 定理3：收敛数列的有界性
      • 定理4：收敛数列的保号性
        • • 推论1
          • 推论2
        • 脱帽法
        • 戴帽法
    • 极限四则运算规则
    • 海涅定理（归结原则）
      • 数列由不连续的点组成，因此不能直接求导。 也就是说洛必达和泰勒公式都不能直接用。
      • 在极限存在的条件下，数列极限与函数极限可以相互转化。
    • 夹逼原则
      • 放缩常用的方法
        • 利用简单的放大与缩小
          • 不等式变形/放缩
        • 不等式变形/放缩
        • 利用闭区间上连续函数必有最大值与最小值
        • 利用压缩映射原理
          • 子主题
        • 利用题设条件推论
    • 单调有界准则
      • 证明数列单调性的常用方法：

高等数学 微积分

• 一元函数积分学
  • 概念与性质
    • 不定积分
      • 原函数与不定积分
        • 任意常数C
          • 结论
            • 不定积分本身并不表示函数所围的面积 可自由上下移动取值（C）。
            • 被积函数的不定积分，有无穷多个。
            • C为任意常数
              • Cf(x)并非任意常数。
          • 关于C的后续运算
      • 原函数（不定积分）存在定理
        • @
        • 连续或 无限靠近的震荡间断点
    • 定积分
      • 黎曼 积分
      • 定积分定义 k为n个任意点，i为n等分点
        • 定积分的概念
          • 黎曼给出 summa
          • • 非平均分割 分割出的最大段趋向于0。
          • • 1||| 分隔
            • 2||| 近似
            • 3||| 求和
            • 4||| 取极限
        • 几何意义
          • 函数在x轴上方图形的面积减去x轴下方图形的面积。
        • 定积分的精确定义
          • 1/n → dx
            • 前上限 后下限
          • i/n → x
            • 积分点的选取
              • 定义中选取的是右端点 i/n
              • 右端点的左右端点（i-1，i+1），以及端点区间内任何一点（如，平均值点） 均可作为积分点，且计算结果与右端点相等。
        • 定积分的值 只与被积函数和积分区间有关 与积分变量无关
      • 定积分存在定理
        • 定积分存在的充分条件
        • 必要条件
          • 定积分存在，则函数必有界。
      • 定积分的性质
        • （1） 求区间长度
        • （2） 积分的线性性质
        • （3） 积分的可加（拆）性
        • （4） 比较定理： 积分的保号性 绝对值不等式
        • （5） 估值定理
        • 放缩
        • （6） 积分中值定理
          • 积分-原函数
          • • f(z)的几何意义是 平均高度
          • 推广
            • • g(x)=1时，为常规的积分中值定理
              • 要求g(x)在积分区间可积且不变号。
    • 变限积分
      • 概念
        • • 此时，变量t为被积函数的变量，称为积分变量， x称为变限积分函数的自变量，变限积分函数求导时以其为求导变量。
      • 性质
        • • 证明
            • 子主题
    • 反常积分
      • 区间无限或被积函数在区间内无界。
      • 反常积分的概念
        • 无穷区间上反常积分 的概念与敛散性
        • 无界函数的反常积分 的概念与敛散性
        • 奇点
          • 在反常积分中，一般把”∞“和瑕点统称为奇点。
          • 判别敛散性时，一个积分中只能有一个奇点， 若出现多个奇点，需积分区域拆分
      • 敛散性的判别法
        • 薄弱点
        • 基本结论 用于具体判别
          • p=1时，发散 在x=1处，将区间拆开
            • 函数除以幂函数
          • 无穷区间
            • 趋向无穷大的速度
          • 无界函数
            • 趋向瑕点0的速度， p<0时，无暇点，不在反常积分的考虑范围。
        • 反常积分敛散性 的抽象判别
          • • 反证法，例题8.13
            • 若函数单调
              • 单调减少
                • 函数大于0
              • 单调增加
                • 函数小于0
            • 反证法：假设反例成立 证假设不成立，即与某一条件对立
          • 比较判别法：通过一个积分的敛散性 判断另一个积分的敛散性
            • 无穷区间
              • （1）
                • 若g(x)收敛，则f(x)收敛
                • 若f(x)收敛 判断g(x)-f(x)的敛散性
                  • g(x)-f(x)，收敛，则g(x)收敛
                  • 其它情况，g(x)发散
                • 小于0时，同理
              • （2） 比较判别法的极限形式
                • • 充分不必要条件
            • 无界函数
              • 同理
              • （1）
              • （2） 比较判别法的极限形式
  • 计算
    • 基本积分公式 10组
      • 子主题
    • 不定积分的积分法 3+
      • 凑微分法
      • 换元法
        • 常用换元法
          • 三角函数代换
            • 使用情景：被奇函数是由三角函数组成的多项式
          • 恒等变形后作三角函数代换
          • 根式代换
          • 复杂函数的直接代换
          • 倒代换
      • 分部积分法
        • 使用情景：
          • 被积函数含有反三角函数/对数的积分， 一定使用分部积分法。
          • 被奇函数为其他， 且为两种初等函数相乘的情况， 可以考虑分部积分法。
            • 易看出v'
              • 基础微积分公式
            • u（微分会简单） v（积分会简单） 反 对 幂 （指 三）
      • 有理函数的积分
        • 定义
        • 计算思路
          • 1||| 有理函数拆分为最简有理分式
            • 1||| 将Q(x)因式分解
              • n次多项式的因式分解
            • 2||| 线性变换—— 将有理函数拆成 若干个最简有理分式之和
              • 拆分方法
                • 一次因式
                  • • 子主题
                • 二次因式
                  • Δ<0
                    • 无实根
                  • • 子主题
            • 3||| 根据P(x)建立恒等式， 确定设置的未知数A、B
              • 方法一——对应系数法： 根据对应系数相等，解方程组。
                • 在某些情况下 死板、 繁琐
              • 方法二——赋值法： 为x赋予合适的值，来确定设置的未知数。
          • 2||| 最简有理分式分别计算出积分 后相加
            • 一次因式
              • 凑微分法
            • 二次因式
              • k重因式
                • ？？？
      • 有理三角函数
        • 有理式的变量x 由三角函数代替。
        • 全角换元
          • • 令不变号的三角函数为t
          • 所有三角有理式
            • 理论上都可以线性变换拆成上面的三项的组合
            • 但有理式的分解并非易事。
    • 定积分的计算
      • 牛顿-莱布尼茨公式及其推广
        • 注意
          • 善于制造函数差值形式， 并用好逆运算
      • 定积分的换元积分法
        • 上下限改变
          • 或区间再现
        • 换元要三换
          • 被积函数
            • x→t
          • 积分元素
            • dx→dt
          • 上下限
            • 定义域变值域，求新的定义域
      • 定积分的分部积分法
        • 上下限不变
      • 结论
        • 奇偶周期函数
          • 祖孙三代的 奇偶性和周期性
          • • 如：
        • 区间再现公式
          • 换元：变量取相反数与上下限的和相加 换元后上下限不变
          • • 背
        • 华里士公式
          • 快速计算某些特殊定积分 “点火公式”
            • 三角函数n次幂在有限区间内的定积分计算
            • 可以明显的看出，随着n的增大，积分却来越小
    • 变限积分的计算
      • 直接求导公式
        • 被积函数与变限积分函数 之间的关系。
    • 反常积分的计算
      • 注意识别奇点
  • 应用
    • 几何应用
      • 用定积分表达和计算
        • 平面图形的面积
          • 参数方程确定的 曲边梯形的面积
            • 本质：换元 令x=x(t)
        • 旋转体的体积
          • 绕x轴旋转
            • 底面积·微分
              • A,C=0
            • 平面曲线绕定直线旋转的体积
              • 套公式（背）
          • 绕y轴旋转
            • 侧面积·微分
          • 绕极轴旋转
            • 圆锥体积的2倍
        • 函数的平均值
      • 其他
        • “平面上的曲边梯形”的 形心坐标公式
        • 平面曲线的弧长
          • 直角坐标系
          • 参数方程
          • 极坐标系
        • 旋转曲面的侧面积
          • dx误差太大，这里是周长乘以弧长
          • 直角坐标系
          • 参数方程
          • 极坐标系
        • 平行截面积已知的立体体积
    • 积分等式与积分不等式
      • 积分等式
        • 用中值定理
          • • 柯西中值定理的推广
        • 用夹逼准则
        • 用积分法
      • 积分不等式
        • 用函数的单调性
        • 用拉格朗日中值定理
        • 用泰勒公式
        • 用积分法
        • 用牛顿莱布尼茨公式
    • 物理应用与经济应用
      • 物理应用
        • 变力沿直线做功
        • 抽水做功
        • 静水压力
      • 经济应用（数学三）
• 一元函数微分学
  • 导数概念
    • 导数
      • 定义
        • • Δx可以广义化 ？
      • 导数表示方法 多种多样
        • • d具有普适意义
      • 结论
        • 函数求导，定义域不变。
    • 导数的几何意义
      • 注
    • 高阶导数
    • 微分
      • 引例
      • 概念
      • 可微的判别 （设判别函数在(0,0)处）
        • （实际复杂的）增量
        • （简单）线性增量/微分
          • A用导数定义进行求导，不能使用公式法。
        • 不可微的具体情形
          • 函数
            • 间断点处
            • 无定义处
          • 导数
            • 不可导
            • 不连续
      • 结论
  • 导数计算公式
    • 基本求导公式 及其推导
      • 基础微积分公式
        • 注意事项
          • 前提：求导公式只有在可微的条件下才能成立。
          • 求导公式不应该用于极限的计算， 极限的计算用公式法。
      • 反三角函数求导
      • 对数函数求导
      • 三角函数与指数函数的反函数导数是 幂次小于0的幂函数
      • 幂函数求导
      • 指数函数求导
      • 三角函数求导
      • 反双曲正弦/余弦函数求导
    • 四则运算
      • • 微分
    • 复合函数的导数与微分形式不变性
      • 指明对哪个变量求导
      • 链式求导规则
      • 微分形式不变性： 无论u为自变量还是中间变量都有
    • 分段函数的导数
      • 分段点
        • 使用导数定义求左右导数
        • 左右极限不相等则导数不存在， 低阶导数不存在高阶导数一定不存在
      • 非分段点
        • 利用导数公式求导
      • 结论
        • 视绝对值而不见
    • 反函数的导数
      • 反函数二阶导
    • 隐函数的导数
      • 三种方法
        • （1） 两边同时对x求导
          • 两边对自变量x求导，将y作为关于x的因变量，得到关于y'的方程。
          • 解该方程便可得出y'
        • （2） 公式法求导
        • （3） 微分
          • 如，y=x 微分：dy=dx
    • 参数方程所确定的函数的导数
      • • 此时得到的是导数 关于 t 的表达式。
      • 参数方程所确定的函数的二阶导数
    • 对数求导法
      • 遇到多项相乘、相除、开方、乘方的方程。
      • 步骤
        • 1||| 等式两边取对数
        • 2||| 两边对自变量求导
    • 幂指数求导法
    • 高阶导数 3
      • 归纳法
        • 通用
        • 逐次求导，探索规律，得出通式。
        • 常用高阶导数
        • 证明
          • 可用数学归纳法证明，一般不需要给出。
      • 莱布尼茨公式
        • 两个函数的乘积求高阶导数
      • 泰勒展开式
        • 抽象展开：无穷阶可导的函数
        • 具体展开
          • 基础微积分公式
        • 函数泰勒展开式的唯一性 通过比较两种展开式的系数， 获得
  • 应用
    • （一）几何应用 （画出函数的大致图像）
      • 极值的定义
        • 注意
          • 极值是局部的概念
          • 极值点必须在双侧邻域内有定义，即端点不讨论极值
          • 常函数处处是极值
          • 间断点亦可以是极值点
      • 单调性与极值的判别
        • 一阶导数
        • 单调性的判别
        • 一阶可导是极值点的必要条件
        • 判别极值的第一充分条件
          • 左右导数变号，取极值。
        • 判别极值的第二充分条件
        • 判别极值的第三充分条件
        • 什么时候取极值
      • 凹凸性与拐点的概念
        • 凹凸性的定义
          • 定义1
            • 一般性质
              • 子主题
          • 定义2
        • 拐点的定义
          • 连续曲线凹弧和凸弧的分界点称为该曲线的拐点。
      • 凹凸性与拐点的判别
        • 二阶导数
        • 判别凹凸性
          • 正凹负凸
            • 碗进水，碗倒水
        • 二阶可导点是拐点的必要条件
          • 拐点
        • 判别拐点的第一充分条件
          • 左右二阶导数变号，为拐点。
        • 判别拐点的第二充分条件
          • 二阶导等于0，三阶导不等于0。
        • 判别拐点的第三充分条件
        • 什么时候拐
      • 极值点与拐点的重要结论
        • 多项式的极值点和拐点
          • 图像
            • 因式幂次为奇数，穿过零点后变号；
              • 因式幂次为的奇数(1除外)时，零点处一定是拐点。
            • 因式幂次为偶数，穿过零点后不变号；
            • 总幂次为偶数，开口向上； 函数值趋向于＋∞。
          • 极值点和拐点 的个数
            • 图像可以确定极值点个数
            • • 拐点个数大于等于极值点个数-1
      • 渐近线
        • 铅直渐近线
          • 1.找 无定义点，区间端点，分段函数分段点
        • 水平渐近线
          • 2.找 +∞ -∞
        • 斜渐近线
          • • 确定斜率 确定截距
      • 最值或 取值范围
        • 最值定义
        • 求闭区间[a, b]上连续函数f(x) 的最大值M和最小值m
          • 找区间内可疑点——驻点与不可导点，并求出此处的函数值
          • 求出端点的函数值
          • 比较求得的函数值，得到最大值M和最小值m
        • 求开区间(a, b)内连续函数f(x)的 最值或取值范围
          • 找区间内可疑点——驻点与不可导点，并求出此处的函数值
          • 求出端点的极限值
          • 比较求得的值，得到最值或取值范围
      • 作函数图像
        • 给出函数f(x)，作图的一般步骤：
          • 确定定义域，考察函数的奇偶性和周期性,并用好图像转换；
          • 利用导数工具（一阶导数确定函数的单调区间、极值点；二阶导数确定曲线的凹凸区间和拐点）；
          • 考查渐近线；
          • 作出函数图像。
        • 图像变换
          • 平移变换
            • 左加右减 上加下减
          • 对称变换
            • 关于x轴对称
            • 关于y轴对称
            • 关于原点对称
          • 伸缩变换
            • 变量加倍，图像收缩
        • 常用的平面图形
          • 心形线
          • 子主题
        • 给出参数方程？
          • 描点法
          • 化为直角坐标方程或极坐标方程
      • 曲率与曲率半径
        • 曲率圆与曲线，同切线，同曲率
          • 背
    • （二）中值定理、微分等式与微分不等式
      • 证明题
      • 中值定理
        • 涉及函数的中值定理
          • 定理1（有界与最值定理）
          • 定理2（介值定理）
          • 定理3（平均值定理）
          • 定理4（零点定理）
            • 推广的零点定理
        • 涉及导数的中值定理
          • 在固定或变化开区间内，研究 函数与其导数的关系
          • 定理5（费马定理）
            • 导数零点定理/ 导数介值定理
            • 区间内部极值点。
          • 定理6（罗尔定理）
            • 推广的罗尔定理
              • • 只需要开区间可导即可。
          • 定理7（拉格朗日中值定理）
            • 原函数——导数中值
          • 定理8（柯西中值定理）
            • 原函数——两个导数中值
          • 区间端点
          • 定理9（带拉格朗日余项的泰勒公式）
            • 原函数——高阶导数中值
            • • 修正：（n+1）阶导
        • 涉及积分
          • 定理10（积分中值定理）
            • • 连续即可
              • f(z)的几何意义是 平均高度
            • 推广
              • • g(x)=1时，为常规的积分中值定理
                • 要求g(x)在积分区间可积且不变号。
        • 证明
      • 微分等式
        • 零点定理（证存在性）
        • 单调性（证唯一性）
        • 罗尔原话 罗尔定理的推论
          • 导数每减少一阶，根的数目就加一个。
        • 实系数齐次方程至少有一个实根
      • 微分不等式
        • 用函数性态（单调性、凹凸性、最值等） 证明不等式
        • 用常数变量化证明不等式
          • 如果欲证的不等式中都是常数， 可以将其中的一个或几个常数变量化， 利用导数工具后再将数导入，得证。
        • 用中值定理证明不等式
    • （三）物理应用与经济应用
      • 物理应用与相关变化率
        • 物理应用
          • 位移方程
          • 一阶导数为速度
          • 二阶导数为加速度
        • 相关变化率
        • 数一、数二
      • 复利与连续复利
      • 导数的经济应用
      • 数三
• 多元函数微分学
  • 基本概念
    • 邻域
      • δ邻域
      • 去心δ邻域
      • δ邻域的几何意义
    • 极限—— 二重极限
    • 连续
    • 偏导数
      • 偏导数 定义
      • 几何意义
      • 高阶偏导数
        • 二阶偏导数
          • • 二阶混合偏导数
        • 分别对x, y求偏导数，则称为n阶混合偏导数
    • 全微分
      • 引例
      • 定义
      • 可微的必要条件（全微分）
      • 可微的充分条件
      • 结论
        • 子主题
      • 可微的判别步骤
        • 写出（实际复杂的）全增量
        • 写出（简单）线性增量/微分
        • • 定义法求导。
  • 多元函数微分法则
    • 链式求导规则 （结构图）
      • 二阶偏导数
        • • 例子：对x求偏导后，再对x求偏导。 其他情况同理。
          • 运算法则
        • 求中途二阶偏导 （难点）
          • • 背
    • 隐函数
      • 隐函数存在定理（公式法求导）
        • 1
        • 2元隐函数
          • 有两个具有相同变量的隐函数时， 可以求出导数。
      • 隐函数求全微分
        • ?dz+?dx+?dy=0
    • 全微分形式不变性
      • • 无论u,v是自变量还是中间变量，上式总成立。
    • 偏微分的逆运算 （已知偏微分求原函数）
      • h(v)
        • 任意关于v的表达式
      • h(u)
        • 任意关于u的表达式
      • 与任意常数C相对应
        • 任意常数C
  • 多元函数的极值与最值
    • 概念
    • 无条件极值
      • 1||| 二元函数取极值的必要条件： 通过一阶偏导数等于0，可以 解得驻点（此时不能确定所有的驻点都是极值点）
      • 2||| 二元函数取极值的充分条件: 通过二阶偏导数判定极值点。
        • 判别是否为极值点 开不开心少年团
        • 判别： 二阶偏导数乘积-二阶混合偏导数乘积
          • 二阶偏导数主导，有极值
          • 二阶混合偏导数主导，非极值
          • 相等不确定
    • 条件最值
      • 约束条件下的最值问题 拉格朗日乘数法
        • 方程组求解技巧
      • 有界闭区域上 连续函数的最值问题
        • 理论依据
          • 有界函数有最大值和最小值
        • 求法
          • 内部可疑点 ——求导
          • 边界可疑点
          • 比较
    • 最远（近）点的垂线原理
• 二重积分
  • 概念、性质与对称性
    • 概念
    • 二重积分的性质
      • 性质1（求区间面积）
      • 性质2（可积函数必有界）
      • 性质3（积分的线性性质）
      • 性质4（积分的可加/拆性）
      • 性质5（积分的保号性）
      • 性质6（二重积分的估值定理）
      • 性质7（二重积分的中值定理）
    • 对称性
      • 普通对称性
        • 偶倍 奇零
          • 关于y轴对称
          • 关于x轴对称
          • 关于原点对称
          • 关于y=x对称
          • 平移对称
      • 轮换对称性
  • 二重积分的计算 ——依据D转化为累次积分
    • 平面区域D大观
      • p350
      • 直角坐标系
        • 直角坐标系下的直线边界
        • 直角坐标系下的曲线边界
        • 参数方程型
          • 记住典型的图像
          • 不知道的话
            • 取点，画出大致图像， 初步确定区域D的性质。
      • 极坐标方程型
    • 从后向前，由内到外依次 计算对应积分变量的积分， 无关变量视为常数。
    • 直角坐标系
      • • 被积函数可在任意积分位置——先积后积都一样。 一般被积函数的积分变量复杂的最后算。 先积简单的，后积分难的。
      • D为X型区域
      • D为Y型区域
    • 极坐标系
      • 极坐标系与直角坐标系的互相转化
        • 本质：换元
    • 换元法
      • 换元要三换
        • 积分元素的变换 （雅可比行列式的绝对值dudv）
        • 积分区域
          • D
        • 被积函数
          • f(u, v)
      • 换元技巧
        • 换元要换干净， 不要有原变量的残留
        • 依据积分区间和被积函数确定该怎么换元。
• 无穷级数
• 多元函数积分学
• 数三、数一

微分方程

• 一阶微分方程的求解
  • 可分离变量型微分方程
    • 可直接分离
    • 换元后可分离
  • 齐次型微分方程
    • 变量的幂次相同
    • 对于
      • 平移后，在原点相交。
      • 平移换元
        • 找到分子分母两个表达式的交点。
  • 一阶线性微分方程
  • 伯努利方程（数学一）
  • 二阶可降阶微分方程 --换元法
    • 解题步骤
• 概念
  • 微分方程及其阶
  • 常微分方程
  • 线性微分方程
  • 微分方程的解
  • 微分方程的通解
  • 初始条件与特解
• 高阶线性微分方程的求解 3+1
  • 二阶常系数齐次线性微分方程
    • 概念
    • 解的结构
    • 通解
      • • 特征方程：f(l/r)=0
        • 特征根：l/r
  • 二阶常系数非齐次线性微分方程
    • 概念
      • • +自由项
    • 解的结构
    • 通解
      • 对应齐次方程的通解+非齐次方程的特解
        • 求出齐次方程的特征值及通解
          • 二阶常系数齐次线性微分方程
        • 自由项变形为初等函数 或初等函数相加的形式
          • 根据自由项 设定特解 （两个方法）
            • 方法一：待定系数法
              • 幂函数（转化为一般多项式） 对数函数（α） 三角函数（β）相乘
              • 设特解
                • • 一看二算三比较
                  • α=？
                  • α=？ β=？
                  • 根据是不是特征值确定k
                    • 不是特征根没有x的多项式
              • 将特解带入到原微分方程中， 求一般多项式的未知量（a, b, c）
                • 注意：代入直接求的话求到二阶导代入
                • 计算量可能会很大
                  • 此时考虑算子法
                  • 方法二：Haviside 算子法
              • 求出特解
            • 方法二：Haviside 算子法
              • 求出特解
                • 代入α/(βi)^2 分离出D或1/D
                • • D=α
                  • 直接求出特解
                • • D^2=(βi)^2
                  • 奇次幂的D（1/D+a），用完全平方公式 将奇次幂D转移到分母，以求导的方式算出
                • • 分离后难处理的算子多项式 泰勒展开
                • 自由项为单一类型的函数
              • 难点突破
                • 代入后F(D)=0
                  • x前提一次，F(D)求一次导。
                • 1/D+a
                  • 一次幂的D，用完全平方公式 将一次幂D转移到分母作为求导的方式算出
  • 其他微分方程
    • 欧拉方程（数学一）
      • 固定解法
    • n（n>2）阶常系数齐次线性微分方程 的通解问题
      • k重特征根的通解问题
      • n阶则有n个特征根
    • 反问题
      • 已知通解解反求方程
        • 对x求导得y'
        • 在对x求导得y''
        • 求出C的微分表达式，带入到通解中得到微分方程
      • 已知部分解和微分方程 求通解
        • 常数变易法 是一种用于求解非齐次线性微分方程的常用方法。
          • 它的核心思想是将齐次方程解中的常数替换为关于自变量的未知函数， 然后通过代入原非齐次方程来确定这些未知函数的具体形式。
          • 解题步骤
            • 依据齐次方程的通解，将其常数C替换为关于自变量的函数u(x)
            • 含未知函数的通解对x求导得y' 此时会出现未知函数与其一阶导的混合
            • 方程依据未知函数导数的阶数分离后 令分离得到得含有一阶导得部分为0得到部分解。
            • 将部分解代入到微分方程中， 同样可以得到关于一阶导得关系
            • 两式联立可以得到 u'和v'的解
  • 标注
• 微分方程的几何应用
  • 固定距离两点的追踪问题 |PQ|=A
    • 两条轮子自行车的轨迹 判断自行车的运动方向。
      • 后轨迹的切线指向前面轨迹的目标 且距离为|PQ|
    • 最终转化为微分方程问题
• 微分方程的物理应用
  • 功力学
  • 能学

数学解题思路

• 计算步骤
  • 观察目标 ——关系式、约束式
    • 判断函数性质
    • 联想可以用到的公式
• 定义公式串联
  • 极限
    • 定义
  • 子主题