导图社区线性代数

线性代数

这是一篇关于线性代数的思维导图，主要内容包括：二次型及其标准形，特征值与特征向量，线性方程组，向量组，矩阵，行列式。

编辑于2025-01-16 22:34:01

线性代数
线性方程组
向量组
行列式

內掣桑恩

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线性代数

行列式

行列式的定义与性质

行列式的三种定义

本质定义（第一种定义）

由柯西定义

计算规则背后的意义

2阶行列式是由两个2维向量组成的，其运算规则的结果为以两个向量为邻边的平行四边形的面积。

推广

3阶行列式

3阶行列式是由三个3维向量组成的，其运算规则的结果为以三个向量为邻边的平行六面体的体积。

n阶行列式

n阶行列式是由n个n维向量组成的，其运算规则的结果为以n个向量为邻边的n维图形的n维积。

约定

看到矩阵优先视列向量的组合

行：n个向量在某一维度的信息

列：n维空间中一个向量的信息。

→

逆序数法定义（第二种定义）

可以算4阶的但有24项，手算显然太麻烦了。更高阶的更不要。

硬算，适用于计算机

排列和逆序

排列

由n个数组成的有序数组称为一个n级排列。

n级排列共有n!个。

两个数的逆序

逆序数

如3 2 1

逆序数=3

3 2

2 1

3 1

231

逆序数=2

54321

子主题

奇排列（逆序数为奇数）和偶排列（逆序数为偶数）

偶排列与奇排列的数目相同，即，有几个连积相加就有几个连积相减。

n阶行列式的定义

① 取自不同行不同列的n项元素相乘，

② 偶排列为+，奇排列为-

③ 求所有n级排列的和。

共有n!个

2!=2 3!=6 4!=24 5!=120

行列式的展开定理（第三种定义）

适用于阶数>3的行列式核心思路是降阶，代价是要计算多个展开式

结合初等变换，选择0元素多的行/列展开后计算

余子式

代数余子式

展开元素所在行、列数之和

行列式按某一行（列）展开的展开式

行（列）

尽量选0元素多的

行列式的性质

性质1

行列互换，其值不变。

性质2

若行列式中某行（列）元素全为0，则行列式为0。

性质3

等式从右向左的运算称为”倍乘“性质

若行列式中某行（列）元素有公因子k，则k可提到行列式外面。

性质4

行列式中某行（列）元素均是两数之和，则可拆成两个行列式之和。

性质5

”互换“性质

行列式中两行（列）互换，行列式变号。

性质6

行列式中两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为0。

性质7

”倍加“性质

行列式中某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式不变。

基本型行列式

主对角线行列式计算

副对角线行列式计算

拉普拉斯展开式

分块可逆矩阵相关行列式计算

注意：对角分块阵是可逆的

行列式的计算

具体型行列式计算方法

步骤

1||| 变形，化为基本型或找到规律

直接算出

2||| 递推法

低阶推高阶，从二阶开始（从一阶开始没有意义）

归纳算出

行列式表示的函数和方程

行列式元素中有变量（?）。

给出行列式方程，求方程的根。

具体性行列式 10 (矩阵\向量组\方程组均适用)

抽象型行列式计算方法

用一个变量表示一列（行）的元素 ——列向量

用性质

用公式|AB|=|A||B|

拆分

余子式与代数余子式的线性组合的计算

行列式展开式的逆用

A配a，逆用展开式

A配k，k把a吃

克拉默法则

n个方程n个未知数

非齐次线性方程组

齐次线性方程组

矩阵

矩阵的定义及基本运算

本质

表达系统信息

重要观点1 矩阵也是由若干行（列）向量拼成的。

重要观点2 矩阵不能运算，但是其若干行（列）向量之间可能存在某种关系。

定义

基本运算

相等

A、B为同型矩阵，且对应元素相等。

加法

要求：A、B为同型矩阵。

数乘矩阵

矩阵的线性运算满足的规律-

交换律

结合律

分配律

数和矩阵相乘的结合律

矩阵拆解

A=B+C

B/C为常见的矩阵（对角矩阵）

几种重要矩阵

子主题

A=BC

矩阵的乘法

要求：A的列数必须与B的行数相等结果矩阵中每一个元素的本质就是A的第i行的s个元素与B的第j列s个对应元素两两乘积之和。

满足的运算规律

不满足交换律

相乘为数量阵时，可以交换。 AB=BA=kE 即逆矩阵和伴随矩阵

结合律

分配律

数和矩阵相乘的结合律

方阵的幂

二项式定理阶乘与双阶乘

矩阵相乘引起目标矩阵的放缩和旋转

乘对角矩阵（放缩）

乘模为1的正交矩阵（旋转）

向量夹角不变同时矩阵中向量的大小也不变

乘摸不为1的正交矩阵（旋转+放缩）

以二阶矩阵举例

向量夹角不变，

左乘顺时针旋转，旋转的角度为行向量正切值对应的角度，即（在笛卡尔坐标系中，旋转角度为向量与x轴的夹角）。

右乘逆时针旋转，旋转的角度为列向量正切值对应的角度

乘其他一般矩阵（旋转+放缩）

同时矩阵中向量的夹角会发生变化

同解变换：矩阵变换后，行列式等于0的解不变这种变化不会改变方程的解集。

k|EA|=0 k|PLP^-1|=0

等价相似合同正定

初等变换与初等矩阵

矩阵相似

转置矩阵

原矩阵以对角线为轴旋转180°

满足的运算规律

方阵行列式

见到两个矩阵相加的行列式

1||| 根据题设的条件化成乘积的形式

2||| 考虑建立方程（两条路径的恒等变形）

3||| 结果通常为0

几种重要矩阵

零矩阵

每个元素均为0，记为O。

单位矩阵

主对角线元素为1，其他元素均为0，记为En

数量矩阵

k与单位矩阵相乘

对角矩阵

非对角线元素为零

上（下）三角矩阵

当i>(<)j时，aij=0的矩阵称为上矩阵

对称矩阵

实对称矩阵的相似对角化

按主对角线对称

反对称矩阵

对角线元素为零其他元素按主对角线互为相反数

行矩阵

只有一行元素的矩阵，也称行向量

列矩阵

向量常用表现形式

只有一列元素的矩阵，也称列向量

秩1矩阵，r(A)=1，从右往左叫做矩阵的分解

矩阵的逆

方阵

定义

性质与公式

求可逆矩阵的逆矩阵

用定义法求可逆矩阵的逆矩阵

方法一

求(A-E)^-1

长除法取余——kE (A-E)X/K=E (A-E)^-1=X/K

(A-E)(kA-E)=E (A-E)^-1=(kA-E)

方法二

伴随矩阵

方阵

定义

行列式的展开定理（第三种定义）

性质与公式

可逆矩阵的伴随

证明

用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵

逆矩阵和伴随矩阵在性质上是一样的，是常数倍的关系。

求伴随矩阵的方法

方法一定义法

任何条件下均可用

求代数余子式，拼成伴随矩阵。

方法二用公式

A可逆，即矩阵满秩

初等变换与初等矩阵

初等变换

同解变换

倍乘：一个非零常数乘以矩阵的某一行（列）。互换：矩阵中的某两行（列）互换。倍加：将矩阵中某一行（列）的k倍加到某一行（列）。

性质

一个矩阵通过初等变换

（1）秩不变

（2）行列式不变

（3）变换后的矩阵与原矩阵是等价的

初等矩阵(P)

方阵，使矩阵发生变换，且行列式不变。

定义

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。（初等矩阵与单位矩阵关系密切）

本质

初等矩阵与目标矩阵相乘，结果会引起目标矩阵的初等变换

左行右列定理

PA，引起A的行变换。

AP，引起A的列变换。

初等矩阵的性质与公式

初等矩阵的转置仍是初等矩阵。

初等矩阵都是可逆矩阵，逆矩阵仍是同一类型的矩阵。

注意：倍加初等阵的逆。

应用

1. 用初等变换求逆矩阵的方法

2. 若A使可逆矩阵，则A可以表示成有限个初等矩阵的乘积，即

旋转

对n阶矩阵A进行初等行变换，相当于在A的左边乘相应的初等矩阵。同样的列变换，在A右边乘。

3. 行阶梯形矩阵与行最简阶梯形矩阵

行阶梯形矩阵

变换到此，即可。

具有如下特征的矩阵称为行阶梯形矩阵： ①若有零行（即元素全为零的行），则零行全都位于非零行的下方； ②各非零行左起第一个非零元素的列指标由上至下是严格增大的.

台阶数为矩阵的秩，每个台阶任取一个列向量即组成最大线性无关向量组。

变换步骤

1||| 第一列的元素，用第一行的元素将除第一行外该列的全部元素变换为0。

观察结果是否有线性相关性

线性相关则最后一行全部化为0.

2||| 用零元素多的行，去处理零元素少的行。

3||| 变量只能出现一次，且出现在角上

行最简阶梯形矩阵

单位矩阵是最标准的行最简阶梯矩阵。

一个行阶梯形矩阵称为行最简阶梯形矩阵，如果其非零行的第一个非零元素为1，并且这些非零元素所在列的其他元素均为0.

若矩阵中有未知数，将除阶梯外的所有已知元素化为0。

子主题

4. 解矩阵方程

若有 XA=B AX=C 则

B=E时 X=A^-1，即A只做行变换成为单位矩阵，可求A逆。

B=E, C=E' 时，对A作任意变换，可求的对应的PQ。

含有未知矩阵的方程称为矩阵方程。

化简：方程化为

化简的方法

通用解题技巧代数变形

求解

判断是否有解

同时将A, B化为行阶梯型矩阵

Ax=B 有解 Û r(A)=r([A B])

三种方法

A/B可逆

A不可逆（求出列向量，最后拼成矩阵）

每个列向量的解法参考——线性方程组

Ax=β

非齐次线性方程组

求出各个元素x_ij，拼出矩阵

5. 等价矩阵

定义

等价标准型（S）

求P, Q的方法：

行列混合变换

进一步：矩阵的满秩分解

秩-r(A)

定义

如

矩阵的秩，代表了矩阵中的n维向量在n维空间中所能支起的r维的子空间

关于秩的几个重要的关系

背

单一矩阵的秩

分解矩阵的秩

修改：r(AB)+n

相乘若秩发生变化，即r(AB)<r(A)，则乘的矩阵一定不是满秩，r(B)<n

概要

相乘或相加矩阵秩的问题

需要用向量组来证明

相乘秩降低，可逆秩不变。相乘为零矩阵，秩的和小于等于A的列数

相加的秩小于等于增广矩阵，增广矩阵小于等于矩阵秩的和

复杂多项式

行列式

行列式不等于0，则行列满秩。

转置逆伴随

伴随矩阵为秩1矩阵，则伴随矩阵的第一行可以线性表示其他行。

向量组方程组与秩

三秩相等

向量组等价（横拼） ——三秩相等

方程组解的个数

有解的条件

等价

初等变换（行列均满秩）不改变秩。

特征根与秩

特征矩阵（lE-A）的秩 r<n

对应特征值（l）是 n-r重根

可相似对角化的矩阵A

r(A)=非零特征值的个数（重根计算重数）。