导图社区 22线代强化(强化)第一章 行列式
这是一篇关于22线代强化(强化)第一章 行列式的思维导图,主要包括数子型行列式计算、抽象行列式、特征多项式、矩阵秩的概念、、克拉默法则、代数余子式求和等知识点。
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(强化)第一章 行列式
数字型行列式计算
1.直接展开公式
展开时尽量选择中间为0的行(列)
2.行(列)变换后,拉普拉斯展开式
3. 全加到第一行(列)
在行或列的和相同情况下
4.逐行相加出现上(下)三角
多条斜线相等
5.爪型行列式
用对角线元素去化上、下三角
6.数学归纳法
第一归纳法
①验证n=1时,命题正确
②设n=k时,命题正确
③证明n=k+1时,命题正确
第二归纳法
①验证n=1,n=2时命题正确
②设n<k时,命题正确
③证明n=k时,命题正确
抽象行列式
1.|A+B|型的计算
直接代入,利用行列式的性质进行提取公因数
对现有的一些公式进行推理改造
对"E"的改造
2.相似,特征值乘积的应用
相似
|A+kE|=|B+kE|
用相似的性质|A|=|B| 来求行列式的值
3.分块矩阵
特征多项式
注意在求特征值时,先破译三次方程;求特征向量的时候,先令一线性无关的一行为0
特征值相加为矩阵的迹;特征值相乘为矩阵的行列式
矩阵秩的概念
r(A)=n 充要 A中有n阶子式不为0,n+1阶子式必为0
r(A)<n 充要 A中每一个n阶子式为0
r(A)≥n 充要 A中有n阶子式不为0
若A 是n阶矩阵,r(A)=n 充要 |A|≠0,A可逆
若A是n阶矩阵,r(A)<n 充要 |A|=0,A不可逆
证|A|=0
Ax=0有非零解
克拉默法则的推论
反证法
用A逆时矛盾
r(A)<n
0是A的特征值
|A|=-|A|
克拉默法则
非齐次线性方程组有解
|A|≠0
齐次线性方程组有非零解
|A|=0
代数余子式求和
代数余子式的值与相对应行列式位置的值无关
代数余子式的和与矩阵的秩
方阵的行列式
如A相似B,|A|=|B|