22线代强化（强化）第一章 行列式

这是一篇关于22线代强化（强化）第一章 行列式的思维导图，主要包括数子型行列式计算、抽象行列式、特征多项式、矩阵秩的概念、、克拉默法则、代数余子式求和等知识点。

（强化）第一章 行列式

• 数字型行列式计算
  • 1.直接展开公式
    • 展开时尽量选择中间为0的行（列）
  • 2.行（列）变换后，拉普拉斯展开式
  • 3. 全加到第一行（列）
    • 在行或列的和相同情况下
  • 4.逐行相加出现上（下）三角
    • 多条斜线相等
  • 5.爪型行列式
    • 用对角线元素去化上、下三角
  • 6.数学归纳法
    • 第一归纳法
      • ①验证n=1时，命题正确
      • ②设n=k时，命题正确
      • ③证明n=k+1时，命题正确
    • 第二归纳法
      • ①验证n=1，n=2时命题正确
      • ②设n<k时，命题正确
      • ③证明n=k时，命题正确
• 抽象行列式
  • 1.|A+B|型的计算
    • 直接代入，利用行列式的性质进行提取公因数
    • 对现有的一些公式进行推理改造
    • 对"E"的改造
  • 2.相似，特征值乘积的应用
    • 相似
      • • |A+kE|=|B+kE|
      • 用相似的性质|A|=|B| 来求行列式的值
  • 3.分块矩阵
• 特征多项式
  • 注意在求特征值时，先破译三次方程；求特征向量的时候，先令一线性无关的一行为0
  • 特征值相加为矩阵的迹；特征值相乘为矩阵的行列式
• 矩阵秩的概念
  • r（A）=n 充要 A中有n阶子式不为0，n+1阶子式必为0
  • r（A）<n 充要 A中每一个n阶子式为0
  • r（A）≥n 充要 A中有n阶子式不为0
  • 若A 是n阶矩阵，r（A）=n 充要 |A|≠0，A可逆
  • 若A是n阶矩阵，r（A）<n 充要 |A|=0，A不可逆
• 证|A|=0
  • Ax=0有非零解
    • 克拉默法则的推论
  • 反证法
    • 用A逆时矛盾
  • r(A)<n
  • 0是A的特征值
  • |A|=-|A|
• 克拉默法则
  • 非齐次线性方程组有解
    • |A|≠0
  • 齐次线性方程组有非零解
    • |A|=0
• 代数余子式求和
  • 代数余子式的值与相对应行列式位置的值无关
  • 代数余子式的和与矩阵的秩
• 方阵的行列式
  • 如A相似B，|A|=|B|