函数与极限

高等数学同济版第一章函数与极限，内容有函数的连续性与间断点、无穷小的比较、极限存在准则、两个重要极限、闭区间上连续函数的性质等。

函数与极限

• 极限存在准则 两个重要极限
  • 主要是了解方法
  • 准则一 夹逼准则
    • 可用于证明题
  • 准则二 单调有界数列必有极限
  • 柯西存在准则
  • • ③中的考点主要是考察凑倒数
• 无穷小的比较
  • 定义
    • 注意（是在同一个自变量的变化过程中）
  • 定理一
    • α与β是等价无穷小的充分必要条件
  • 定理二
  • 特殊（需记忆）
    • • 分子分母是不同类型时，采用等价无穷小来计算
      • 若tanx中的x是f(x),则看f(x)极限是否为0，若为0则可将x改为f(x)的形式
      • 看p56 5.(3)
• 闭区间上连续函数的性质
  • 有界性与最大值最小值定理
    • 定理一（有界性与最大值最小值定理） 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值
      • 条件：闭区间，连续
  • 零点定理与介值定理
    • 定理二（零点定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)·f(b)﹤0),则在开区间（a,b)内至少有一点ξ，使f(ξ)=0
  • 一致连续性
    • 定理四：（一致连续性定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么它在该区间上一致连续
• 连续函数的运算与初等函数的连续性
  • 连续函数的运算
    • 连续函数的和，差，积，商的连续性
    • 反函数的连续性
      • • 单调是要保证反函数的存在，但（函数的单调性只是函数存在反函数的一个充分条件）
    • 复合函数的连续性
      • 连续函数的复合依旧是连续函数，定理四
      • • 求复合函数的极限时，函数符号f与极限号可以交换次序。如
  • 初等函数的连续性
    • 若f(x)是初等函数，x。是其定义区间内的点，则f(x)x趋于x。时的极限等于f(x。）
    • 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的
    • 一切初等函数在其定义区间内都是连续的
  • 幂指函数
    • 极限计算经常出
• 函数的连续性与间断点
  • 函数的连续性
    • 定义
    • 左连续
    • 右连续
      • 来判断该函数于某点是否连续，（左连续和右连续）
  • 函数的间断点
    • p71,3(2)和p59 例4
    • 第一类间断点
      • 左右极限相等：可去间断点
      • 左右极限不相等：跳跃间断点
    • 第二类间断点
      • 无穷间断点
      • 振荡间断点