线性代数第二章 行列式

行列式思维导图，包括行列式的定义、性质、计算三部分内容，适用于考前复习，也可以综合其他资料使用。

行列式

• 排列
  • n个数码1,2,3……n的一个排列指的是由着n个数码组成的一个有序数列
  • n级排列有n！种
  • 在一个排列里出现的逆序总数称为这个排列的逆序数，逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列
  • 把一个排列中的某两个数字i与j交换一下位置，而其余数字不动，就得另一个同阶的新排列，对排列施行这样的一个交换称为一个对换
  • 任意两个n阶排列可以通过一系列对换互变
  • 对换改变排列的奇偶性
  • 当n≥2时，n个数字的奇排列与偶排列的个数相等，各为½n！
• n阶行列式的概念
  • 由n²个数排成一个n行n列的表，并在两边各画一条竖线记号，所表示的数D称为n阶行列式，这个数D表示所有取自不同行不同列元素的乘积
  • 上三角形行列式、主对角线行列式、左下三角形行列式的值等于其主对角线上各元素之积；副对角线行列式、左上三角行列式，右下三角行列式的值为副对角元素之积再乘以（-1）的½n（n-1）次方
• 行列式的主要性质
  • 行列互换，行列式的值不变，n阶行列式的转置行列式记为DT
  • 交换行列式的两行（列），行列式的符号改变，如果有行列式两行（列）完全相同，则此行列式等于零
  • 行列式的某一行中所有元素都乘以同一个数k等于用数k乘以此行列式 推论1：行列式中某一行所有元素的公因子都可以提到行列式符号的外面 推论2：如果一个行列式中有一行的元素全部是零，那么这个行列式等于零 推论3：如果一个行列式有两行对应的元素成比例，那么这个行列式等于零 性质4：若行列式的某一列的元素都是两数之和，则D等于下列两个行列式之和，行列式见课本12页。
  • 把行列式的某一行元素乘以同一个数后加到另一行的对应元素上，行列式不变
• 行列式按行展开
  • 在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫元素aij的余子式，记为Mij，记Aij等于（-1）i+jMij，Aij叫元素aij的代数余子式
  • 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除aij外都是零，那么，这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积
  • n阶行列式等于它的任意一行的元素与其代数余子式乘积之和；n阶行列式等于它的任意一列各元素与其代数余子式乘积之和
  • n阶行列式的任一行的元素与另外一行的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零
• 克拉默法则
  • 设给定一个含有n个未知数n个方程的线性方程组，以D记式的系数行列式≠0时，有且仅有一个解，x1=D1/D,x2=D2/D……xn=Dn/D
  • 常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，齐次线性方程组有非零解的必要条件是系数行列式D=0
• 拉普拉斯定理、行列式的乘法规则
  • 在n阶行列式中，任意指定r行r列，位于这些行列交点处的r²个元素构成的r阶行列式M称为原行列式的一个r阶子式
  • 在n阶行列式中任意选定k行，则n阶行列式等于这k行中一切k阶子式Mi与其对应的代数余子式之和
  • 两个n阶行列式的乘积等于一个n阶行列式，仅限同阶，左行右列