线性代数-矩阵

居余马版线性代数第二章矩阵自取，主要内容有其概念、线性方程组、矩阵的运算、常规矩阵、重点矩阵、其他矩阵重要考点。

矩阵

• 概念
  • 定义：mxn个数排列成m行n列，并以圆括弧括起来的一个数乘
  • m=n时，叫n阶矩阵
  • 元素全为0位零矩阵O
  • 矩阵是表格，行列式是数
• 线性方程组
  • 分类
    • 齐次线性方程组
      • 线性方程组的常数项等于零
    • 非齐次线性方程组
  • 引出
    • 线性方程组对应的矩阵称为方程的增广矩阵
    • 由未知元系数排成的矩阵称为线性方程组的系数矩阵
  • 其他
    • 阶梯形线性方程组
    • 行简化阶梯矩阵
  • 未知量
    • 基本未知量
      • 增广矩阵中每行第一个非零元所在列对应的未知量
    • 自由未知量
      • 其余未知量
    • 阶梯矩阵的形式不是唯一的，但阶梯矩阵的非零行的行数是唯一确定的（基本未知量，自由未知量个数确定）
  • 注意
    • 方阵A和方阵A的行列式丨A丨是不同的概念
    • 丨A丨=0（A不一定为零矩阵），称A为奇异矩阵；丨A丨≠0，称A为非奇异矩阵
• 矩阵的运算
  • 加法
    • ①交换律：A+B=B+A ②结合律（A+B）+C=A+（B+C） ③零矩阵满足：A+0=A，0与A同型
    • 注意：只有同型矩阵才能相加，且同型矩阵之和仍是同型矩阵
    • 阶梯矩阵的形式不是唯一的，但阶梯矩阵的非零行的行数是唯一确定的（基本未知量，自由未知量个数确定）
  • 数乘
    • 设1，l，k是数域F中的数 ①1A=A ②（kl）A=K（lA） ③（k+l）A=kA+lA ④k（A+B）=kA+kB
  • 乘法
    • 运算规律
      • ①结合律(AB)C = A(BC)，C是数量 ②数乘结合律k（AB）=k（A）B=A（kB），k是数 ③左分配律A(B+C) = AB + AC；右分配律（B+C）A=BA+BC ④若A，B均为n阶方阵，则丨ABl=|A丨|B丨
    • 注意
      • ①只有矩阵A的列数与矩阵B的行数相同时AB才有意义 ②乘积C=（Cij）mxn的第i行第j列的元Cij等于矩阵A的第i行每一个元与矩阵B的第i列的对应元的乘积之和. ③乘积矩阵C的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数
        • Ap×m Bm×n=Cp×n （内标同可乘，外标决定型）
    • 结论
      • ①矩阵的乘法不满足交换律，一般AB≠BA。eg.单位阵 ②由AB=0，不能推出A=0或B=0。A≠0，B≠0，有可能使AB=0。 ③矩阵的乘法不满足消去律。
• 常规矩阵
  • 单位矩阵
    • 主对角线全为1，其他全为0
    • 单位矩阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在数的乘法中的作用
  • 对角矩阵
    • 非主对角元素都是0的矩阵，记作∧
  • 数量矩阵
    • （kI）A=k（IA）=IA
  • 上（下）三角矩阵
    • 当i＞j时，aij=0（当i＜j时，aij=0）
    • 两个上(下)三角阵A与B的乘积AB仍是上（下）三角阵，且其主对角元(AB）ii=aii+bii
  • 对称矩阵
    • Aᵀ = A
  • 反对称矩阵
    • Aᵀ= -A
• 重点矩阵
  • 转置矩阵
    • 定义：行列互换。记作Aᵀ或A＇
    • 运算规律
      • （Aᵀ）ᵀ=A （A+B）ᵀ=Aᵀ+Bᵀ （kA）ᵀ=kA⁻¹（k是数） （AB）ᵀ=BᵀAᵀ
  • 伴随矩阵
    • 定义
      • 由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的矩阵
        • 记作A*，注意排列方式
    • 特殊
      • A=（a，b；c，d）⇨A*=（d，-c；-b，a）
    • 运算公式
      • A*A = AA* = |A|I
        • 如果A可逆
      • (A*)⁻¹ = (A⁻¹)* = 1/|A| A
        • |A|≠0
      • (A*)ᵀ= (Aᵀ)*
      • |A*| = |A|ⁿ⁻¹
      • (kA)* = kⁿ⁻¹A*
      • |A丨丨A*丨=|AA*丨=丨A|ⁿ
      • A* = |A|A⁻¹
    • 求法
      • 定义法
        • 注意： （1）不要丢+-号 （2）不要排错队，竖着写，避免得到伴随的转置
      • 公式法
        • 注意： A可逆且A逆容易求
  • 可逆矩阵
    • 定义
      • A是n矩阵，存在n阶矩阵B，使得AB = BA = I 则称A是可逆矩阵(非奇异矩阵)，B是A的逆矩阵
        • 记作A⁻¹= B
    • 定理
      • 定理1
        • 若A可逆，则A的逆矩阵唯一
          • A⁻¹
      • 定理2
        • A可逆 ⇔ |A｜≠0且A⁻¹=｜A｜⁻¹A*
          • 推论:若A,B都是n阶矩阵，且AB=I,则BA=I,即A,B皆可逆，且A,B互为逆矩阵。
          • 对角阵和上（下）三角矩阵可逆的充要条件是它们的主对角元全不为零。
          • 可逆（反）对称矩阵的逆矩阵仍是（反）对称矩阵。
    • 充分必要条件
      • 存在矩阵B，使得AB=E (BA=E)
      • |A|!=0或r(A) =n或A的行(列)向量线性无关
      • A的特征值全不为0
      • 非齐次方程组Ax=b有唯一解
      • 齐次方程组只有唯一解
    • 运算规律
      • (kA)⁻¹ = k⁻¹A⁻¹
      • (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹
        • (A²)⁻¹= (A⁻¹)²
      • (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ
      • （A⁻¹）⁻¹ = A
      • |A⁻¹| = |A|⁻¹
      • 注
        • 一般(A+B)⁻¹≠ A⁻¹+B⁻¹
    • 求法
      • ❶
        • A⁻¹ = |A| ⁻¹A*
      • ❷
        • 初等变换：(A|E)--初行变-->(E|A⁻¹)
          • 由上向下变成上三角
          • 由下往上变对角
          • 行×k变主线为1
      • ③
        • 求B 使AB = E = BA, A⁻¹ = B
      • ④
        • 分块矩阵求
          • 主线
          • 副线
      • ⑤
        • 初等矩阵的求逆
          • 性质
    • 证明矩阵A可逆
      • ❶定义式:存在B，使AB = E = BA ⇨ A⁻¹ = B
      • ❷|A|≠0
      • ③反证法
        • A不可逆，则|A|=0（结合方程组有无解）
      • ④齐次方程组只有唯一解
  • 初等变换、初等矩阵
    • 概念
      • 初等变换
        • 倍乘变换:k×A的某一行(列) (k≠0)
        • 倍加变换:矩阵的某行(列)加到另一行(列)
        • 对换变换:矩阵的某两行(列)互换
      • 初等矩阵
        • 定义
          • 单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵
        • 类型
          • 初等倍乘矩阵----Ei(k)
          • 初等倍加矩阵----Eij(k)
          • 初等对换矩阵----E(i,j)
      • 等价矩阵
        • A经过有限次初等变换变成B，A与B等价
        • 等价充分必要条件
          • 存在可逆矩阵P与Q，使PAQ = B
      • 行阶梯矩阵
      • 行最简矩阵
    • 性质
      • 初等矩阵初等变换后仍是初等矩阵
      • 初等矩阵左乘(右乘)A，相当于对A做初等行变换(列变换)
        • 左乘即行变，右乘即列变
      • 初等矩阵是可逆矩阵
        • Ei（c⁻¹）Ei（c）=I
        • Eij（-c）Eij（c)=I
        • EijEji=I
      • 初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵
        • Ei⁻¹（c）=Ei（c⁻¹）
        • Eij⁻¹（c）=Eij（-c)
        • Eij⁻¹=Eji
    • 定理
      • 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵
        • 推论
          • 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积
          • （A,I）一初等行变换→（I,A⁻¹） （A,I）ᵀ一初等列变换→（I,A⁻¹）ᵀ
    • 题型
      • 给定下标，找行(列)变换
      • 运用到初等矩阵的逆
      • 一段A变换的描述得到E，求A*
  • 分块矩阵
    • 定义
      • 将矩阵用若干纵线横线分成许多小块，每小块称为原矩阵的子矩阵（子块），子块看成原矩阵的一个元素
      • 对角块矩阵（准对角矩阵）:矩阵中非零元素集中在主对角线附近
    • 运算法则
      • 加法
      • 数乘
      • 乘法
        • 若n阶上三角矩阵可逆，则其逆矩阵也是上三角矩阵
      • 转置
      • 逆矩阵
        • 对角阵矩阵可逆的充要条件为对角元不为零
• 其他矩阵
  • 行阶梯矩阵
    • 定义
      • 非零行主元都是1
      • 主元所在列其他元素都是0
    • 用法
      • 求矩阵的秩
      • 其他
  • 行最简矩阵
    • 定义
      • 如果有零行，则零行在底部
      • 非零行的主元，列指标随行指标递增
  • 等价矩阵
    • A经过有限次初等变换变成B，A与B等价
    • 等价充分必要条件
      • 存在可逆矩阵P与Q，使PAQ = B
      • r(A)=r(B)
• 考点
  • 概念运算
    • 乘法
    • 6个符号
    • 分块矩阵技巧
  • 伴随矩阵可逆矩阵
  • 初等变换、初等矩阵
  • 矩阵的秩