导图社区 微分中值定理及导数应用重点知识及例题
武忠祥老师讲课视频笔记，总结了课堂上的重点知识点以及重点题型，分享给正在考研的研友们。
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微分中值定理及导数应用
微分中值定理
费马引理
如果函数在x0处可导，且在x0取得极值，那么导数等于0
罗尔定理
拉格朗日中值定理
曲线上至少有一个切线和连接曲线两端点的弦是平行的
柯西中值定理
参数方程所表示的曲线的斜率
本质
建立导数和函数的联系
右边导数值左边函数值
关系
推广和特例的关系
柯西定理是拉格朗日定理的推广
拉格朗日就是罗尔定理的推广
柯西定理更一般
但是不一定方便
拉格朗日和柯西的证明都用到了罗尔定理
高阶导数和函数的关系
泰勒公式
哪一点提供函数值导数信息多，x0就选谁
四大定理：罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理 带有拉格朗日余项的泰勒公式
导数应用
单调性
导数大于0 ，函数单调增
导数小于0 ，函数单调减
极值
可导函数要取得极值，导数要等于0
必要条件是导数等于0
导数等于0不一定能取得极值
导数等于0的点叫驻点
极值点不一定是驻点，驻点不一定是极值点
反例，x的绝对值，导数不存在
如果fx可导，极值点一定是驻点
极值的第一充分条件
判定导数等于0和导数不存在两种可能取得极值点的充分条件
极值的第二充分条件
如果一阶导数等于0，二阶导数不等于0
一定有极值
二阶小于0，取极大值
二阶大于0，取极小值
最大最小值
曲线的凹凸性
一个必要两个充分
拐点：二阶等于0
二阶变号就是拐点
二阶等于0 三阶不等于0
拐点是曲线上的点，横纵坐标表示
曲线的渐近线
水平渐近线
最多有两条水平渐近线
垂直渐近线
分母可移动的点
斜渐近线
负无穷或者正无穷这一侧，水平渐近线或者斜渐近线只能有一个
函数的作图
定义域范围
一阶导数，分单调区间确定极值
二阶导数，确定凹凸区间以及拐点
渐近线，更加准确
曲线的弧微分与曲率
描述曲线弯曲程度（曲率）
题型
求极限
函数的极限和最值，曲线的凹向与拐点
极值点可能在导函数等于0的点，也可能是导数不存在的点
问极大值极小值的个数
在某点是否可导，去极大值还是极小值
只给了极限 就要用保号性和极值的定义
个人学习体会，能举特例画图解决选择填空为最佳
渐近线的存在问题
水平，垂直，斜渐近线
来分别判定
x取无穷趋近于有限值
x取有限值时趋于无穷
x趋近于无穷 验证ab
简单方法
渐近线条数
切记无穷要分正负号
渐近线方程
方程的根
根的存在性
零点定理
要找fx的原函数，fx是原函数的导数
根的个数
判断存在
根据单调判断个数
单调性不好用：n阶导数不等于0，fx=0方程至多n个根
例题
不等式的证明
子主题
拉格朗日
同一函数在两点的函数值差
最小值大于则其他都大于
常用不等式
中值定理的证明题
