考研高等数学知识点整理

本章思维导图是作者对考研高等数学知识点的大致整理，内容框架清晰明确，欢迎有需要的朋友们参考学习。

高等数学

一、函数

函数

函数的定义

设x和y是两个变量(均在实数集R内取值)，D是一个给定的非空数集，如果对于每个数x∈D，按照某个对应法则f，变量y都有唯一确定的数值和它对应，则称变量y是变量x的函数，记作y=f(x)。其中D称为函数y=f(x)的定义域，x称为自变量，y称为因变量。函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f的值域。

函数的性质

有界性

设y=f(x)在区间I上有定义，如果存在正数M，对于任意x∈I，恒有|f(x)|≤M，则称y=f(x)在区间I上有界；否则称为无界。如果存在实数M1，对于任意x∈I，恒有f(x)≤M1，则称y=f(x)在区间I上有上界；如果存在实数M2，对于任意x∈I，恒有f(x)≥M2，则称y=f(x)在区间I上有下界；y=f(x)在区间I上有界⟺既有上界又有下界。

单调性

设y=f(x)在区间I上有定义，如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2))，则称y=f(x)在区间I上是单调增加(或单调减小)的。

周期性

设f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的常数T，使得对于任一x∈D，有x±T∈D且f(x±T)=f(x)，则f(x)称为周期函数，T称为f(x)的周期。通常把满足上式的最小正数T称为f(x)的周期。

奇偶性

设f(x)的定义域D关于原点对称，如果对于任一x∈D，恒有f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x))，则称f(x)为偶函数(或奇函数)。偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。

复合函数

设y=f(u)，u=φ(x)，若φ(x)的值域与f(u)的定义域有非空交集，则由y=f(u)及u=φ(x)可复合而成复合函数y=f[φ(x)]，u称为中间变量。

反函数

设y=f(x)的定义域为D，值域为W。若∀y∈W，存在唯一确定的x∈D，满足y=f(x)，则得到的x是y的函数，记为x=φ(y)，称为y=f(x)的反函数，习惯成记为y=f-1(x)。

隐函数

设有关系式F(x,y)=0，若对∀x∈D，存在唯一确定的y满足F(x,y)=0与x相对应，由此确定的y与x的函数关系y=y(x)称为由方程F(x,y)=0所确定的隐函数。

基本初等函数及初等函数

基本初等函数

幂函数

指数函数

对称函数

三角函数

反三角函数

初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的复合运算所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数。

常用函数

绝对值函数

符号函数

取整函数

狄利克雷函数

最值函数

变积分上限函数

双曲函数

双曲正弦函数

双曲余弦函数

双曲正切函数

双曲余切函数

双曲正割函数

双曲余割函数

反双曲正弦函数

反双曲余弦函数

反双曲正切函数

二、极限

1 极限的定义

数列极限的定义

当 x→∞ 时 f(x) 的极限

当 x→x0​ 时 (x0 为有限值) f(x) 的极限

当 x→x0 时 (x0为有限值) f(x) 的左右极限

2 数列极限的基本性质

极限的唯一性

收敛数列的有界性

收敛数列的保号性

推论1

推论2

收敛数列与其子数列间的关系

3 函数极限的基本性质

极限的唯一性

函数极限的局部有界性

函数极限的局部保号性

函数极限与数列极限的关系

复合函数的极限

4 无穷小量与无穷大量

定义

无穷小量

无穷大量

性质

性质 1

性质 2

有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量

有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量

无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量

无穷小量的比较

等价无穷小替换定理

常用等价无穷小

5 极限的四则运算

6 极限存在的判别方法

单调有界定律

夹迫定律

三、函数的连续性

1 函数的连续性定义

2 函数的间断点分类

第一类间断点(左右极限都存在)

可去间断点(左极限 = 右极限)

跳跃间断点(左极限≠右极限)

第二类间断点

除第一类间断点之外的间断点

3 连续函数的运算性质

4 闭区间上连续函数的性质

有界性与最大值最小值定理

介值定理

推论

零点定理

四、导数与微分

1 导数的定义

2 微分的定义

3 可导、可微与连续三者之间的关系

4 导数的计算

基本初等函数的导数公式

函数的和、差、积、商的求导法则

设u=u(x)，v=v(x)都可导，则

反函数的求导法则

复合函数的求导法则

5 高阶导数公式

五、中值定理

1 罗尔(Rolle)定理

2 拉格朗日(Lagrange)中值定理

3 柯西(Cauchy)定理

4 洛必达法则

5 泰勒(Taylor)定理

泰勒定理

麦克劳林公式

一些初等函数的麦克劳林公式

6 四个中值定理之间的关系

六、函数单调性与凹凸性

1 函数的单调性与极值

1.1 单调性

定理

1.2 极值

1.3 驻点

定理 (第一充分判别定理)

定理 (第二充分判别定理)

推论

2 函数的凹凸性与拐点

2.1 凹凸性

对于可导函数f(x)的图形

定理

2.2 拐点

定理 1

定理 2

推论

七、渐近线与曲率

1 渐近线

斜渐近线

水平渐近线

垂直渐近线

2 曲率

弧微分公式

曲率

曲率半径

八、不定积分

1 不定积分的基本性质

2 基本积分公式

3 不定积分法

第一类换元积分法

第二类换元积分法

分部积分法

九、定积分

1 定积分的定义

定理 1

定理 2

2 定积分的性质

3 重要定理、公式、关系

4 换元积分公式与分部积分公式

5 广义积分的概念及计算

无穷限的广义积分

无界函数的广义积分

Γ函数

6 定积分的几何应用

平面图形的面积

平面曲线的弧长

旋转体的体积

旋转体的侧面积

平行截面面积已知的立体体积

十、无穷级数

1 级数的概念与性质

定义

性质 1

性质 2

注

若一个收敛，一个发散，则和一定发散。

性质 3

改变前有限项不影响级数的敛散性

性质 4

收敛级数加括号仍收敛，且和不变

注

一个级数加括号后收敛，原级数不一定收敛；一个级数加括号后发散，则原级数一定发散。

性质 5

推论

2 级数的收敛准则

正项级数

定理 1

定理 2 (比较判别法)

若0≤un≤vn，则

定理 3 (比较判别法的极限形式)

定理 4 (比值判别法)

定理 5 (根值判别法)

交错级数

定理 (莱布尼茨判别法)

注

任意项级数

绝对收敛与条件收敛

绝对收敛与条件收敛的一些基本结论

3 函数项级数和幂级数

函数项级数、收敛域与和函数

定义 1

定义 2

幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域

定义 1

定理 1 (阿贝尔定理)

定义 2

定理 2

定理 3

4 幂级数的性质

运算性质

和函数的性质

注

5 函数的幂级数展开式

泰勒级数

麦克劳林级数

泰勒级数的收敛定理

定理

常用的麦克劳林展开式

6 傅里叶级数

以2l为周期的傅里叶级数

傅里叶系数

定理 (收敛定理)

十一、常微分方程与差分方程

1 一阶微分方程

变量可分离微分方程

定义

通解

齐次微分方程

定义

通解

一阶齐次线性微分方程

定义

通解

一阶非齐次线性微分方程

定义

通解

伯努利微分方程

定义

通解

全微分方程

定义

通解

2 可降阶的高阶微分方程

3 二阶线性微分方程

定理 1

定理 2

定理 3

定理 4 (叠加原理)

4 二阶常系数线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程

5 n阶常系数齐次线性微分方程

6 欧拉方程

7 差分方程

差分

定义

差分方程

定义 1

含有未知函数yt的差分的方程称为差分方程，差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶。

定义 2

满足差分方程的函数称为该差分方程的解，如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数，则称这个解为该差分方程的通解。

齐次差分方程

非齐次差分方程

f(t)=b为常数

f(t)为一般情况

十二、空间解析几何与向量代数

向量运算及其性质

向量的运算

运算性质

向量之间的关系

平面方程

直线方程

十三、多元函数微分学

多元函数偏导数和全微分的概念

偏导数

全微分

可微的必要条件

可微的充分条件

多元函数几个概念间的关系

方向导数和梯度

方向导数

梯度

二元函数的泰勒公式

多元函数的极值和条件极值

二元函数极值

定义

定理

定理

条件极值

一个约束条件的极值

两个约束条件的极值

复合函数微分法

隐函数求导法

定理 (二元隐函数存在定理)

定理

十四、重积分

二重积分

二重积分的定义

二重积分的性质

二重积分的计算

利用直角坐标计算二重积分

利用极坐标计算二重积分

三重积分

三重积分的定义

三重积分的计算

利用直角坐标计算三重积分

利用柱坐标计算三重积分

利用球面坐标计算三重积分

重积分的应用

重积分的几何应用

平面图形面积

曲面面积

空间立体的体积

重积分的物理应用

质量

物体的重心坐标

转动惯量

物体对质点的引力

十五、曲线积分与曲面积分

1 曲线积分

对弧长的曲线积分

定义

性质

对坐标的曲线积分

定义

性质

两类曲线积分的关系

曲线积分的计算

2 曲面积分

对面积的曲面积分

定义

性质

对坐标的曲面积分

定义

性质

两类曲面积分的关系

曲面积分的计算

高斯公式及其应用

高斯公式

散度

高斯公式的向量形式

斯托克斯公式及其应用

斯托克斯公式

旋度

斯托克斯公式的向量形式

曲面形物体的转动惯量和引力