导数与微分

聚焦考研高数重要考点：导数与微分！下图内容包括导数概念、函数的求导法则、高阶函数求导法则、隐函数求导法则、函数的微分五部分的主要知识点，标出疑难要点，适当拓展。适用于考研高数复习，考研加油！

二 一元函数微分学

• 导数与微分
  • 导数概念：可导即左右导数都存在且相等
  • 微分概念
  • 可导可微
    • 充要条件
    • y增量=dy+o(x),高阶
  • 连续 可导 可微
    • 如图
    • n阶导，可求n-1阶导；n阶导连续，可求n阶导
  • 求导公式
  • 求导法则
    • 有理运算法则
    • 复合求导
    • 隐函数求导
    • 反函数求导
      • 倒数
      • f"(x)=-x"(y)/x'(y)^3
    • 参数方程求导
    • 对数求导
    • 高阶求导
  • 其他
    • f(x）连续，则If(x)I连续
    • 设f(x）连续
      • 充要：f(a)≠0，在a处可导，If(x)I在a处可导
      • 充要：f(a)=0,f'(a)=0
• 导数应用
  • 微分中值定理
    • 罗尔：f(a)=f(b),则存在f'(c)=0,c在（a,b)内
      • 推论：f(x)n阶≠0，则最多n个实根
    • 拉日：f(x)在闭区间连续，开区间可导，则存在f(a)-f(b）/(a-b)=f'(c)
    • 柯西：f(a)-f(b)/g(a)-g(b)=f'(c)/g'(c)
    • 泰勒（拉日余项）：整体泰勒
  • 极值与最值
    • 必要条件：a为极值点,则f'(a)=0
      • 子主题
    • 充分条件
      • 第一充分条件：一阶导数正负
      • 第二充分条件：f'(a)=0,f''(a)≠0是，f''(a)>0极小
      • 第三充分条件：前n-1阶导为0，n阶导≠0时，n为偶数有极值
    • 最值
  • 凹向与拐点
    • 凹向：f''(a)>0,凹；f''(a)<0,凸
    • 拐点：邻近凹凸性相反
      • 必要条件：二阶可导且为拐点，则f''(a)=0
      • 充分条件
        • 第一充分条件：f''(a)=0,左右异号，则为拐点
        • 第二充分条件：f''(a)=0,f'''(a)≠0，则为拐点
        • 第三充分条件：前n-1阶导为0，n阶≠0，n为奇，则为拐点
  • 渐近线
    • 水平：趋于无穷
    • 垂直：趋于间断点
    • 斜渐近线
  • 平面曲线的曲率
    • 直角坐标：K=Iy''I/(1+y'^2)^1.5
    • 参数方程：K=Iy''x'-y'x''I/(x'^2+y'^2)^1.5
    • 曲率半径：R=1/K