导图社区 极限
考研高数之极限知识总结,包括极限的概念、性质、存在准则,求极限的基本极、洛必达求极限、泰勒公式求极限等内容。
编辑于2022-03-27 18:50:08极限
极限
概念
数列的极限
定义
几何意义
3
4
5
6
函数的极限
自变量趋于无穷大时函数的极限
定义
注意
自变量趋于有限值时的函数的极限
定义
注意
需分左右极限求极限
分段函数
e^∞型极限
arctan∞型
性质
有界性
(数列)收敛则有界,反之不成立
(函数)趋于Xo极限存在,在Xo某去心邻域有界,局部有界,反之不成立
保号性
(数列)
极限值可以管住N值后的所有项
(函数)
极限值与无穷小的关系
极限的存在准则
夹逼定理
多用于n项和
单调有界准则
多用于数列具有递推关系
无穷小量
概念无穷小的概念
无穷小的比较
高阶 低阶 同阶 等价 无穷小的阶
无穷小的性质
有限个无穷小的和仍是无穷小; 有限个无穷小的积仍是无穷小: 无穷小量与有界量的积仍是无穷小。
无穷大量与无穷小量的关系
非零即为倒数关系
无穷大量
无穷大量的概念
常用的一些无穷大量的比较
无穷大量的性质
两个无穷大量的积仍未无穷大量; 无穷大量与有界变量之和仍为无穷的量。
无穷大量与无界变量的关系
无穷大量必为无界变量,而无界变量不一定是无穷大量
求极限
基本极限求极限
常用基本极限
1^∞型极限常用结论
等价无穷小代换求极限
代换原则
常用的等价无穷小
有利运算法则求极限
有理运算法则
加减乘除
极限都存在时,正常运算
不存在时
特殊-存在±不存在=不存在;其余都为不一定
拓展结论
常用结论
非零因子独立
极限存在,分母极限为零—>分子极限为零
极限存在且不为零,分子极限为零—>分母极限为零
洛必达法则求极限
洛必达法则
适用类型及使用
条件满足才可用; 可多次使用; 0/0、∞/∞型极限中的函数有非零因子的可以单独求极限,简化运算; 等价无穷小代换,恒等变形配合,简化运算。
泰勒公式求极限
带皮亚诺余项的泰勒公式
展项原则-相除时上下同幂;相加减时前面是项可约去
几个常用的泰勒公式
夹逼定理求极限
单调有界准则求极限
定积分定义求极限
函数的连续性
概念
定义1:函数在x0的某邻域内有定义,若满足以下式子则称函数在x0点处连续
定义2:函数在x0的某邻域内有定义,若满足 【函数在这点的极限】=【x0处的函数值】 则称函数在x0点处连续
要求:函数在这点的极限存在;函数在x0点有定义
函数在x0点连续的充要条件是函数在点x0处做连续且左右连续相等
区间的连续:【f(x)在(a,b)内每点都连续】=【f(x)在(a,b)内连续】 【f(x)在(a,b)内连续,在x=a处右连续,在x=b处左连续】=【f(x)在[a,b]上连续】
间断点
定义:函数在x0的某邻域内有定义,但在x0处不连续,则称x0为函数的间断点
前提:去心领域有定义; 在x0处不连续
第一类间断点:左右极限都存在
可去间断点:左右极限都存在且相等
跳跃间断点:左右极限都存在但不相等
第二类间断点:左右极限至少有一个不存在
无穷间断点,左极限或右极限至少有一个为无穷
振荡间断点:x=0是sin(1/x)的振荡间断点
题目
寻找无定义点——
判断是否须区分左右极限(有区别则需分)
分段函数
e的无穷次方
arctan∞
运算与性质
函数A和B在点X0处连续,则A和B的加减乘除结果在X0处也连续
函数u=g(x)在x0点处连续且点x0的函数值为u,y=f(u)在点x0处连续——则复合函数f(g(x))在x0点处连续
基本初等函数在其定义域内都是连续的
有定义即连续
初等函数在其定义区间内都是连续的
定义区间内及连续
闭区间上连续函数的性质
最值定理
有界性定理
介值定理
零点定理
导数和微分
概念
导数
导数是个特殊的极限;变化率
常用的等价形式
【函数在点x0处可导】的充分必要条件是【它在该点的左右导数都存在且相等】
如果 y =(x)在开区间( a , b )内每一点都可导,则称 f (x)在区间( a , b )内可导. 导数/导函数:此时对于( a , b )内的每一点 x ,都对应一个导数值 f '( x ),常称 f '(x)为 f (x)在( a , b )内的导函数. 若 f ( z )在区间( a , b )内可导 且 f ( a )和 f ( b )都存在,则称 f ( z 在区间[ a , b ]上可导.
微分dy
概念
函数改变量的近似值
【函数在点x0处可微】的充分必要条件【f(x)在x0处可导且dy=f '(x)▲x=f '(x)dx】
几何意义
导数
曲线某点处的切线斜率
可导则有切线;有切线不一定可导(x^1/3)
法线斜率:-1/f'(x),要求不为零
斜率为零=在某点处有水平切线
微分
dy曲线的切线的增量
连续、可导、可微
可导<—>可微
可导—>连续
可微—>连续
常考题型
导数含义
正负极限影响左右导数
复合函数、隐函数求导
高阶导数
由公式求解
求一阶、二阶归纳得
泰勒公式,普遍项有高阶函数
导数应用
几何意义
直角坐标系
角坐标系
参数坐标
高阶导数
n阶导数就是n-1阶导函数的导数
导数公式及求导法则
微分中值定理及导数应用
微分中值定理
罗尔定理
拉格朗日定理
柯西中值定理
皮亚诺余项泰勒公式
多项式逼近函数
麦克劳林公式(x=x0)
·
拉格朗日型余项泰勒公式
导数的应用
导数的单调性
闭区间上连续,开区间上可导
f'(x)>0,f(x)↑↑
f'(x)<0,f(x)↓↓
函数的极值
驻点:导数为零,(x,y)
任何函数值都小于或等于某一点的函数值,故该点的极大值点。
极值的必要条件
该点可导,极值点的导数值为0
极值的第一充分条件
导数在这一点变号则存在极值点
极值的第二充分条件
要求一阶为零,二阶不为零(一阶二阶都可导) f''(t)<0,取得极大值。f''(t)>0取得极小值
函数的最大值和最小值
连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值最小值
求出开(a,b)上的驻点和不可导的点
求出驻点、不可导点和区间端点a,b相对于的函数值
比较上述函数值
求最大最小值的应用题
建立目标函数并确定定义域,后按前三步
曲线的凹凸性
定义
中间点的值与端点值的平均
函数在[a,b]上连续,(a,b)内二阶可导
f''(x)>0;在[a,b]上图形是凹的;存在极小值
f''(x)<0;在[a,b]上图形的凸的;存在极大值
拐点:凹凸的分界点;
必要条件:二阶可导,点是曲线的拐点,则f''(x)=0
第一充分条件:二阶导数在拐点处变号
第二成分条件:三阶可导,二阶为零,且拐点处的三阶导数不为零
曲线的渐近线
水平渐近线
f(x),x趋近于无穷(正无穷或负无穷),y=A
垂直渐进线
f(x),x趋近于某一点,X=x0
斜渐进线
f(x)/x,x趋近于无穷(正无穷或负无穷),y=ax+b
函数的作图
考虑单调性、极值、曲线的凹凸性、拐点、渐近线
导数在经济学中的应用
常见函数
需求函数X
供给函数X
成本函数C
收益(入)函数R
利润函数L
边际函数与边际分析
概念:函数可导,函数的一阶导函数是边际函数 某点处的一阶导函数值是某一点处的边际值
边际成本函数C=C'(q)产量
边际收益函数R=R'(q)产量
边际利润函数L=L'(q)销售量
均是对q求导,产量或销售量
弹性函数与弹性分析
相对弹性=
相对弹性函数=
经济学称为相对变化率
弹性分析
需求的价格弹性ɳd
需求函数Q
ɳd=
因需求价格函数递减 其一阶导小于零,ɳd<0
当ɳd大于零时
供给的价格弹性ɳs
供给函数Q
ɳs=
因供给函数单调增加 其一阶导大于零,ɳs>0
当价格为p时,若提价(或降价)1%,则供给量将增加(或减少)ɳs%
相对变化率
局部:极限极值
整体)最值,不等式
费马引理:函数在某点有切线+切线水平,则导数为0
建立导数与函数之间的联系