极限

考研高数之极限知识总结，包括极限的概念、性质、存在准则，求极限的基本极、洛必达求极限、泰勒公式求极限等内容。

极限

• 极限
  • 概念
    • 数列的极限
      • 定义
      • 几何意义
      • 3
      • 4
      • 5
      • 6
    • 函数的极限
      • 自变量趋于无穷大时函数的极限
        • 定义
        • 注意
      • 自变量趋于有限值时的函数的极限
        • 定义
        • 注意
        • 需分左右极限求极限
          • 分段函数
          • e^∞型极限
          • arctan∞型
  • 性质
    • 有界性
      • （数列）收敛则有界，反之不成立
      • （函数）趋于Xo极限存在，在Xo某去心邻域有界，局部有界，反之不成立
    • 保号性
      • （数列）
        • 极限值可以管住N值后的所有项
      • （函数）
    • 极限值与无穷小的关系
  • 极限的存在准则
    • 夹逼定理
      • 多用于n项和
    • 单调有界准则
      • 多用于数列具有递推关系
  • 无穷小量
    • 概念无穷小的概念
    • 无穷小的比较
      • 高阶 低阶 同阶 等价 无穷小的阶
    • 无穷小的性质
      • 有限个无穷小的和仍是无穷小； 有限个无穷小的积仍是无穷小： 无穷小量与有界量的积仍是无穷小。
  • 无穷大量与无穷小量的关系
    • 非零即为倒数关系
  • 无穷大量
    • 无穷大量的概念
    • 常用的一些无穷大量的比较
    • 无穷大量的性质
      • 两个无穷大量的积仍未无穷大量； 无穷大量与有界变量之和仍为无穷的量。
    • 无穷大量与无界变量的关系
      • 无穷大量必为无界变量，而无界变量不一定是无穷大量
• 求极限
  • 基本极限求极限
    • 常用基本极限
    • 1^∞型极限常用结论
  • 等价无穷小代换求极限
    • 代换原则
    • 常用的等价无穷小
  • 有利运算法则求极限
    • 有理运算法则
      • 加减乘除
        • 极限都存在时，正常运算
      • 不存在时
        • 特殊-存在±不存在=不存在；其余都为不一定
    • 拓展结论
      • 常用结论
        • 非零因子独立
        • 极限存在，分母极限为零—>分子极限为零
        • 极限存在且不为零，分子极限为零—>分母极限为零
  • 洛必达法则求极限
    • 洛必达法则
    • 适用类型及使用
      • 条件满足才可用； 可多次使用； 0/0、∞/∞型极限中的函数有非零因子的可以单独求极限，简化运算； 等价无穷小代换，恒等变形配合，简化运算。
  • 泰勒公式求极限
    • 带皮亚诺余项的泰勒公式
      • 展项原则-相除时上下同幂；相加减时前面是项可约去
    • 几个常用的泰勒公式
  • 夹逼定理求极限
  • 单调有界准则求极限
  • 定积分定义求极限

函数的连续性

• 概念
  • 定义1：函数在x0的某邻域内有定义，若满足以下式子则称函数在x0点处连续
  • 定义2：函数在x0的某邻域内有定义，若满足 【函数在这点的极限】=【x0处的函数值】 则称函数在x0点处连续
    • 要求：函数在这点的极限存在；函数在x0点有定义
  • 函数在x0点连续的充要条件是函数在点x0处做连续且左右连续相等
  • 区间的连续：【f(x)在（a,b）内每点都连续】=【f(x)在（a,b）内连续】 【f(x)在（a,b）内连续，在x=a处右连续，在x=b处左连续】=【f(x)在[a,b]上连续】
• 间断点
  • 定义:函数在x0的某邻域内有定义,但在x0处不连续，则称x0为函数的间断点
    • 前提：去心领域有定义； 在x0处不连续
  • 第一类间断点：左右极限都存在
    • 可去间断点：左右极限都存在且相等
    • 跳跃间断点：左右极限都存在但不相等
  • 第二类间断点：左右极限至少有一个不存在
    • 无穷间断点，左极限或右极限至少有一个为无穷
    • 振荡间断点：x=0是sin（1/x）的振荡间断点
  • 题目
    • 寻找无定义点——
      • 判断是否须区分左右极限（有区别则需分）
        • 分段函数
        • e的无穷次方
        • arctan∞
• 运算与性质
  • 函数A和B在点X0处连续，则A和B的加减乘除结果在X0处也连续
  • 函数u=g（x）在x0点处连续且点x0的函数值为u，y=f(u)在点x0处连续——则复合函数f（g（x））在x0点处连续
  • 基本初等函数在其定义域内都是连续的
    • 有定义即连续
  • 初等函数在其定义区间内都是连续的
    • 定义区间内及连续
• 闭区间上连续函数的性质
  • 最值定理
  • 有界性定理
  • 介值定理
  • 零点定理

导数和微分

• 概念
  • 导数
    • 导数是个特殊的极限；变化率
    • 常用的等价形式
    • 【函数在点x0处可导】的充分必要条件是【它在该点的左右导数都存在且相等】
    • 如果 y =(x）在开区间（ a , b ）内每一点都可导，则称 f (x）在区间（ a , b ）内可导． 导数/导函数：此时对于（ a , b ）内的每一点 x ，都对应一个导数值 f '( x )，常称 f '(x）为 f (x）在（ a , b ）内的导函数． 若 f ( z ）在区间（ a , b ）内可导 且 f ( a ）和 f ( b ）都存在，则称 f ( z 在区间［ a , b ］上可导．
  • 微分dy
    • 概念
      • 函数改变量的近似值
      • 【函数在点x0处可微】的充分必要条件【f(x)在x0处可导且dy=f '(x）▲x=f '(x）dx】
  • 几何意义
    • 导数
      • 曲线某点处的切线斜率
        • 可导则有切线；有切线不一定可导（x^1/3）
      • 法线斜率：-1/f'(x),要求不为零
        • 斜率为零=在某点处有水平切线
    • 微分
      • dy曲线的切线的增量
    • 连续、可导、可微
      • 可导<—>可微
      • 可导—>连续
      • 可微—>连续
• 常考题型
  • 导数含义
    • 正负极限影响左右导数
  • 复合函数、隐函数求导
  • 高阶导数
    • 由公式求解
    • 求一阶、二阶归纳得
    • 泰勒公式，普遍项有高阶函数
  • 导数应用
    • 几何意义
      • 直角坐标系
      • 角坐标系
      • 参数坐标
• 高阶导数
  • n阶导数就是n-1阶导函数的导数
• 导数公式及求导法则

微分中值定理及导数应用

• 微分中值定理
  • 罗尔定理
  • 拉格朗日定理
  • 柯西中值定理
  • 皮亚诺余项泰勒公式
    • 多项式逼近函数
    • 麦克劳林公式（x=x0）
      • ·
  • 拉格朗日型余项泰勒公式
• 导数的应用
  • 导数的单调性
    • 闭区间上连续，开区间上可导
      • f'(x)>0,f(x)↑↑
      • f'(x)<0,f(x)↓↓
  • 函数的极值
    • 驻点：导数为零，（x，y）
      • 任何函数值都小于或等于某一点的函数值，故该点的极大值点。
    • 极值的必要条件
      • 该点可导，极值点的导数值为0
    • 极值的第一充分条件
      • 导数在这一点变号则存在极值点
    • 极值的第二充分条件
      • 要求一阶为零，二阶不为零（一阶二阶都可导） f''(t)<0,取得极大值。f''(t)>0取得极小值
  • 函数的最大值和最小值
    • 连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值最小值
      • 求出开（a，b）上的驻点和不可导的点
      • 求出驻点、不可导点和区间端点a，b相对于的函数值
      • 比较上述函数值
    • 求最大最小值的应用题
      • 建立目标函数并确定定义域，后按前三步
  • 曲线的凹凸性
    • 定义
      • • 中间点的值与端点值的平均
    • 函数在[a,b]上连续，（a,b)内二阶可导
      • f''(x）>0；在[a,b]上图形是凹的；存在极小值
      • f''(x)<0;在[a,b]上图形的凸的；存在极大值
    • 拐点：凹凸的分界点；
      • 必要条件：二阶可导，点是曲线的拐点，则f''(x)=0
      • 第一充分条件：二阶导数在拐点处变号
      • 第二成分条件：三阶可导，二阶为零，且拐点处的三阶导数不为零
  • 曲线的渐近线
    • 水平渐近线
      • f(x),x趋近于无穷（正无穷或负无穷）,y=A
    • 垂直渐进线
      • f(x),x趋近于某一点，X=x0
    • 斜渐进线
      • f(x)/x，x趋近于无穷（正无穷或负无穷），y=ax+b
  • 函数的作图
    • 考虑单调性、极值、曲线的凹凸性、拐点、渐近线
  • 导数在经济学中的应用
    • 常见函数
      • 需求函数X
      • 供给函数X
      • 成本函数C
      • 收益（入）函数R
      • 利润函数L
    • 边际函数与边际分析
      • 概念：函数可导，函数的一阶导函数是边际函数 某点处的一阶导函数值是某一点处的边际值
        • 边际成本函数C=C'(q)产量
        • 边际收益函数R=R'(q)产量
        • 边际利润函数L=L'(q)销售量
        • 均是对q求导，产量或销售量
    • 弹性函数与弹性分析
      • 相对弹性=
        • 相对弹性函数=
          • 经济学称为相对变化率
      • 弹性分析
        • 需求的价格弹性ɳd
          • 需求函数Q
            • ɳd=
            • 因需求价格函数递减 其一阶导小于零，ɳd<0
              • 当ɳd大于零时
        • 供给的价格弹性ɳs
          • 供给函数Q
            • ɳs=
            • 因供给函数单调增加 其一阶导大于零，ɳs>0
• 当价格为p时，若提价（或降价）1%，则供给量将增加（或减少）ɳs%
• 相对变化率
• 局部：极限极值
• 整体）最值，不等式
• 费马引理：函数在某点有切线+切线水平，则导数为0
• 建立导数与函数之间的联系