解析几何

大学第一学期解析几何第一章的概要分享！下图包括向量的内积、向量的外积、向量的混合积、几何空间的线性结构、向量及其线性运算五大块内容，值得收藏学习。

几何空间的线性结构与度量结构

• 1向量及其线性运算
  • 向量
    • 特殊向量
      • 零向量（方向不确定）
      • 单位向量（长度为一）
    • 分类
      • 自由向量
      • 非自由向量
    • 定义
      • 既有大小又有方向的量
        • 加绝对值指的是模（大小）
  • a,b共线《===》λa+μb=0
  • 有关运算
    • 加法
      • 规律
        • 结合律（a+b)+c=a+(b+c)
        • 交换律 a+b=b+a
        • a+0=a
        • a+(-a)=0
      • 法则
        • 平行四边形法则
        • 三角形法则
        • 多边形法则
      • 三角不等式
        • Ia+bI≤IaI+IbI
          • 当且仅当a,b同向时等号成立
    • 数乘
      • 比例缩放（P4）
      • 规律
        • 1·a=a,(-1)·a=-a
        • λ（μa)=(λμ）a
        • （λ+μ）a=λa+μa
        • λ（a+b)=λa+λb
    • 共线共面定理
      • 线性组合（P6）
      • 共线
        • A,B,C三点共线《===》λOA+μOB+vOC=0且λ+μ+v=0(λ，μ，v不全为0）
        • a≠0，a与b共线----唯一λ，b=λa
        • M在线段AB上《===》OM=λOA+μOB，且λ+μ=1（λ，μ非负）
      • 共面
        • a,b,c共面《===》ma+nb+oc=0(m,n,o不全为0）
        • c=λa+μb《===》abc共面
          • 反推时需要a,b不共线
• 2几何空间的线性结构
  • 位置向量
    • 以O为起点
      • 位置向量为非自由向量
  • 仿射标架及仿射坐标
    • 定义P13
    • 性质
      • 可表性
      • 唯一性
    • 形式：[O;d1,d2,d3]
      • 四元组
    • 坐标运算（P15）
  • 三点（或两向量）共线的条件（P16-P18）
    • 平面内两向量共线
    • 平面内三点共线
    • 空间内两向量共线
  • 线段的定比分点
    • 点C满足AC=λCB==》点C分线段AB成定比λ(P18）
      • 同向→内分点 反向→外分点
    • 门内劳斯定理（P20）
      • P,Q,R三点共线
    • 切瓦定理(P21)
      • 三线共点
• 5向量的混合积
  • 定义
    • a×b·c
      • Ia×b·cI表示以abc为棱的平行六面体的体积
  • 记作（a,b,c)
  • 性质
    • a×b·c=0《==》abc共面
    • （a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)
    • a×b·c≥0《==》{a,b,c}成右手系
  • 坐标计算向量的混合积
    • 有关行列式表示及运算见P40-P43
  • 共轭向量组
    • （a1,b1,c1)=(a,b,c)^2
      • 设a1=b×c（同理b1,c1)
  • 拉格朗日恒等式
    • P43
    • 推论：（a×b)^2=a^2·b^2-(a·b)^2
  • 柯西-施瓦茨不等式：（a·b)^2≤IaI^2+IbI^2
    • a,b共线时等号成立
• 4向量的外积
  • 仍是向量！
  • 定义(大小）：Ia×bI=IaIIbIsin<a,b>
  • 方向：与a,b均垂直，成右手系
  • 几何意义：以a,b为邻边的平行四边形的面积
    • 详见P31-P33
  • 运算规律
    • a≠0，则a×b=a×b2,b2为b沿a下的外射影
    • 右手直角坐标系[O;e1,e2,e3]→e1×e2=e3,e2×e3=e1,e1×e3=e2
    • a×b=-b×a(反交换律）
    • (λa)×b=λ（a×b)=a×（λb)
    • a×（b+c)=a×b+a×c(左分配律）
  • 坐标计算向量外积
    • 详见P36-P37
  • 二重外积
    • 公式
      • a×（b×c)=(a·c)b-(a·b)c
    • 雅可比公式
      • a×（b×c)+b×（c×a)+c×（a×b)=0
    • 命题：（a×b)×c=a×（b×c)<==>a//c
    • 在▲中的应用
      • 余弦定理:a^2=b^2+c^2-2bccosA,a^2=(AC-AB)^2
      • 正弦定理：sinA/a=sinB/b=sinC/c b×c=bcsinAe a×c=acsinBe a×b=absinCe
      • 海伦公式：S▲=根号下[L（L-a)(L-b)(L-c)]，L=0.5（a+b+c) S▲平方=0.25（b×c)^2=0.25[b^2c^2-(cb)^2]
      • 引理：Ia×bI^2+（a·b)^2=IaI^2·IbI^2
• 3向量的内积
  • 射影和分量
    • 内射影
      • 分量只是数值（无方向），内射影为向量
      • 平行于已知向量
    • 外射影
      • 垂直于已知向量
    • a在e上的分量记为Πe(a)
    • 夹角：<a,e>
    • 规律
      • Πe(a+b)=Πe(a)+Πe(b)
      • Πe(λa)=λΠe(a),λ∈R
      • Πμa(b)={Πa(b);μ<0}或{-Πa(b);μ<0}
  • 向量的内积的定义和性质
    • 定义
      • a·b=IaIIbIcos<a,b>
    • 性质
      • a·b=b·a(对称性）
      • （λa)·b=λ(a·b)(线性性之一）
      • （a+c)·b=a·b+c·b(线性性之二）
      • a·a≥0，等号成立当且仅当a=0(正定性）
  • 用坐标计算向量的内积
    • 两向量内积等于对应坐标乘积之和（证明P28）
    • 度量参数（P28）
  • 方向角和方向余弦
    • 方向角
      • a与基向量e1,e2,e3成的角α，β，γ
    • 方向余弦
      • cosα，coaβ，cosγ
        • 平方和为1
• 重要例题
  • P21
  • P27
  • P11(13,15)
  • P19(2.1)
  • P20-P21
• 行列式
  • 性质
    • 详见第七周解析几何作业
    • 对称性
    • 齐次性
    • 等于0
    • 可加性
    • 错切性
    • Laplace展开定理
• 欧氏几何
  • 五大公理
    • a=b,b=c==>a=c
    • a=b,c=d==>a+d=b+c
    • a=b,c=d==>a-d=b-c
    • 彼此重合的图形A,B全等
    • 整体大于部分
  • 五大公设
    • 过两点可连接一条直线
    • 每条线段（有限直线）可以无限延长
    • 以一点为圆心，任意长度为半径可以画圆弧
    • 所有直角都相等
    • 过直线外一点做平行线，只能做一条
      • 罗氏几何：可以做两条以上 椭圆几何：做不出平行线