导图社区 线性代数第一章n阶行列式
这是一篇关于线性代数第一章n阶行列式的思维导图，主要内容有一.引言、二.排列的逆序数与对换、三.n阶行列式的定义。
对概率论与数理统计中的数理统计初步中的基本概念进行总结，包括：总体、样本、样品；X1、X2、......Xn的联合分布；统计量及样本的数字特征；三大分布。
对概率论与数理统计中的大数定律与中心极限定理知识点进行总结，包括：马尔科夫不等式、切比雪夫大数定律、依概率收敛、贝努利大数定律、辛钦大数定律。
对于概率论与数理统计中的随机变量的数字特征进行了知识点总结归纳，包括：数学期望、相关系数与相关阵、方差。
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n阶行列式
一.引言
二元线性方程组
二阶行列式
三元线性方程组
三阶行列式
······
二.排列的逆序数与对换
全排列及其逆序数
全排列：把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列
逆序数
奇排列：逆序数为奇数
偶排列：逆序数为偶数
排列的对换及其性质
对换：将一个排列中的某两个元素的位置对调，其余元素不动从而做出新排列的过程
性质
定理1
一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性
推论1
奇排列--（对换奇数次）--标准排列
偶排列--（对换偶数次）--标准排列
三.n阶行列式的定义
n阶行列式的定义
三个证明题的结论
对角行列式的值为对角元素的乘积
斜对角行列式的值为对角元素的乘积乘以
上（下）三角行列式结果为对角线元素乘积
若行列式中有一行（或一列）元素全为零，则行列式的值为零
行列式的列顺序表示
一种表示方式
行列式的其它两种等价定义
定义2
定义3
六.克莱姆法则
克莱姆法则
定理5
如果线性方程组的系数行列式D≠0，则方程组一定有解，且解是惟一的
逆否命题
如果线性方程组的无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零
定理4
如果线性方程组的系数行列式不等于零，则方程组有唯一解，其中，Dj（j=1,2，···，n）是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的自由项代替后所得到的n阶行列式
线性齐次方程组
定理6
如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则它没有非零解（即只有零解）
如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零
五.行列式按行（列）展开（降阶法）
余子式与代数余子式
余子式
在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划掉后，留下来的n-1阶行列式叫做元素aij的余子式
代数余子式
Aij为元素aij的代数余子式
定理2
行列式等于它的任一行（列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和
推论4
行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零
三种特殊行列式
双对角行列式
将最后一行逐行换到第一行，再逐列换到第一列
范德蒙行列式
剑形行列式
进行列变换，将第一列对角元以下的元素全消成零
三种其他方法
提公因式法
加边法
主要用于对角线上的元素不同，其余元素相同的行列式
递推法
按最后一行拆项，建立递推公式
四.行列式的性质
六个性质及其推论
性质1
行列式与它的转置行列式相等
性质2
互换行列式的两行（列），行列式变号
推论二
如果行列式有两行（列）相同，则此行列式为零
性质3
行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘以此行列式
推论三
行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面
性质4
行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零
性质5
若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则行列式等于两个行列式之和
性质6
把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个数后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变
典型字母行列式
各行（列）元素之和相等
采用提公因式法求解
消元+降价
标准排列为偶排列
对角线法则（仅适用于此两种行列式）
