线性代数第二章矩阵

这是一篇关于线性代数第二章矩阵的思维导图，主要内容有—.矩阵及其运算二.逆阵三.分块矩阵等。

矩阵

• 一.矩阵及其运算
  • 线性变换与矩阵
    • 线性变换
      • 设变量y1，y2，···，yn能用变量x1，x2，···，xn线性表示，这种从变量x1，x2，···，xn到y1，y2，···，yn的变换叫做线性变换
    • 矩阵
      • 定义1
        • 由m×n个数aij（i=1,2,···，m;j=1,2,···，n）排成的m行n列的数表叫做m行n列矩阵，m×n个数叫做矩阵A的元素
      • 种类
        • 行矩阵（只有一行）、列矩阵（只有一列）、零矩阵（元素均为零）、单位矩阵（除对角线上全为1外其余元素均为零）、方阵（行数与列数相等）
  • 矩阵的运算
    • 矩阵的加法
      • 定义2
        • 设有两个m×n矩阵A=（aij），B=（bij），那么矩阵A和B的和记作A+B。只有当两个矩阵是同型矩阵时，才可进行加法运算
      • 交换律
        • A+B=B+A
      • 结合律
        • （A+B）+C=A+(B+C)
    • 数与矩阵相乘（数乘）
      • 定义3
        • 数λ与矩阵A的乘积规定为数λ乘以矩阵A的每一个元素，记为λA或Aλ
    • 矩阵与矩阵相乘
      • 定义4
        • 设A=(aij)是一个m×s矩阵，B=(bij)是一个s×n矩阵，则规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n的矩阵C=(cij)
      • 结合律
        • （AB）C=A(BC)
      • 左分配律
        • A(B+C)=AB+AC
      • 右分配律
        • （B+C)A=BA+BC
      • 数结合律
        • λ（AB）=（λA)B=A(λB)
    • 矩阵的转置
      • 定义5
        • 把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵叫做A的转置矩阵
      • 四个运算规律
      • 定义6
        • 设A为n阶方阵，如果A满足A的转置=A，则称A为对称矩阵；如果A满足A的转置=-A，则称A为反对称矩阵
      • 反对称矩阵的特点
        • 主对角线两侧的对应元素反号且主对角线上元素为0
    • 方阵的行列式
      • 定义7
        • n阶方阵A的元素所构成的行列式叫做A的行列式，记作|A|或detA
      • 三个运算规律
• 二.逆阵
  • 逆矩阵的概念
    • 定义8
      • 对于n阶方阵A，如果有一个方阵B，使AB=BA=E，则称方阵A是可逆的，并把方阵B称为A的逆阵
    • 定理1
      • 若方阵A可逆，则|A|≠0，且
  • 逆矩阵的判别及公式
    • 定义9
      • 设A为n阶方阵，行列式|A|的各元素的代数余子式Aij构成的如下方阵（元素换成对应的代数余子式再转置），称为A的伴随矩阵
    • 性质1
      • 设A*是A的伴随矩阵，则有AA*=A*A=|A|E
    • 性质2
      • 设A*是A的伴随矩阵，则|A*|=|A|
      • 定理2
        • 若|A|≠0，则A可逆，且
      • |A|≠0↔方阵A可逆↔A为非奇异矩阵
    • 推论1
      • 若AB=E（或BA=E），则B=A
    • 推论2
      • 矩阵A与其伴随矩阵A*同为可逆或同为不可逆
  • 逆矩阵的其他5个常用公式
  • 逆矩阵与线性方程组
• 三.分块矩阵
  • 概念
    • 将矩阵A用若干纵线和横线分成许多小矩阵，每一小矩阵成为A的子块，以子块为元素形式的矩阵称为分块矩阵
    • 运用
      • 对于行数和列数较高的矩阵A，可采用化整为零的思想进行运算
  • 运算
    • 加法
      • 相加两矩阵需为同型矩阵，对应元素相加即可
    • 数乘
      • λ与矩阵每个元素相乘即可
    • 矩阵乘以矩阵
      • 左边矩阵的行元素乘以右边矩阵的列元素
      • 分块矩阵相乘的2个注意点
        • 左矩阵分块后的列数等于右矩阵的行数
        • Ai1，···，Ait的列数分别等于B1j，···，Btj的行数
    • 转置运算
      • 不仅形式上进行转置，而且每个子块也进行转置
    • 分块矩阵求逆（分块对角阵）
      • 概念
      • 两个注意点
        • 只在对角线上有非零子块
        • 对角线上的子块都是方阵
      • 性质
        • |A|=|A1|·|A2|···|As|
        • 若|As|≠0，则|A|≠0，并且
      • 剑形行列式求逆矩阵
• 五.矩阵的秩
  • 矩阵的秩与计算
    • 定义12
      • 在m×n矩阵A中，任取k行k列（k≤m，k≤n），这些行列交叉处的k²个元素，不改变它们在A中所处的位置次序所得到的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式
    • 定义13
      • 设在矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果有的话）都等于零，那么D称为A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，并规定零矩阵的秩为0
    • 满秩矩阵
      • 若A是m×n矩阵，则R(A)≤m，且R(A)≤n。当R(A)=m时，称A为行满秩矩阵；当R(A)=n时，称A为列满秩矩阵；若A是n阶方阵，当R(A)=n时，称A为满秩矩阵
    • 定理6
      • 若A是n阶方阵，则|A|≠0的充要条件是A满秩矩阵
    • 定理7
      • 矩阵经初等变换后，其秩不变
      • 推论5
        • 可逆矩阵经过有限次初等变换后仍为可逆矩阵，不可逆矩阵经初等变换后仍为不可逆矩阵
        • 行阶梯形矩阵
          • 行阶梯形矩阵的秩即为非零行的行数
          • 每个非零行的第一个非零元素均为1，且1所在列的其他元素皆为零——行最简形矩阵
      • 推论6
        • 设A为m×n矩阵，R(A)=r，则A~I=
      • 推论7
        • 设A,B都是m×n矩阵，则A~B等价的充要条件是R(A)=R(B)
  • 线性方程组与系数矩阵的秩
    • 定理8
      • n元齐次线性方程组Am×nX=0有非零解的充要条件是系数矩阵的秩R(A)＜n
    • 推论8
      • 含n个方程的n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是|A|=0
    • 矩阵秩的7个性质
      • ①若A为m×n矩阵，则0≤R(A)≤min（m，n）
      • ②R(A)=R(A)，R(kA)=R(A)，k≠0
      • ③若A~B，则R(A)=R(B)
      • ④若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A)，特别地，R(PA)=R(A),R(AQ)=R(A)
      • ⑥R(AB)≤min{R(A),R(B)}
      • ⑦若Am×nBn×1=0，则R(A)+R(B)≤n
• A可逆
  • ①存在n阶方阵B，使得AB=E
  • ②A的伴随矩阵A*可逆
  • ③|A|≠0（此时称A非奇异）
  • ④R(A)=n（即A为满秩矩阵）
  • ⑤A=P1···Pk（Pi皆为初等矩阵）
  • ⑥A~En（即A的标准形为单位阵）
  • ⑦Ax=0只有零解
  • ⑧Ax=b有唯一解
• 四.初等变换与初等矩阵
  • 初等变换
    • 定义10
      • 交换
        • 对调两行
      • 数乘
        • 以数k≠0乘以某一行的元素
      • 倍加
        • 把某一行的元素的k倍加到另一行对应的元素上
    • 初等行变换、初等列变换
      • 初等变换都可逆
      • 变换前后的矩阵可相互变换得到
      • A经过有限次初等变化的得到B，称A与B等价
      • 等价矩阵的性质
        • 反身性
          • A~A
        • 对称性
          • 若A~B，则B~A
        • 传递性
          • 若A~B，B~C，则A~C
    • 应用
      • 求逆矩阵
      • 解矩阵方程
  • 初等矩阵
    • 定义11
      • 由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵成为初等矩阵
      • 互换初等阵
        • 对调两行（列）
      • 倍乘初等阵
        • 以数k（≠0）乘某行或某列
      • 倍加初等阵
        • 以数k乘某行（列）加到另一行（列）上
    • 定理3
      • 设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵
    • 定理4
      • 任意一个矩阵Am×n=（aij）m×n经过若干次初等变换，可以化为下面形式的矩阵F，该矩阵成为A的标准形
      • 推论3
        • n阶方阵A可逆的充要条件是标准形I=En
    • 定理5
      • A为可逆方阵的充要条件是存在有限个初等方阵P1，P2，···，Pm，使A=P1P2···Pm
      • 推论4
        • m×n矩阵A~B的充要条件是：存在m阶可逆方阵P及n阶可逆方阵Q，使PAQ=B
• AA =|A|²
• 若A=PʌP，则A =Pʌ P
• E=PEP
• A为n阶方阵
  • R(A)=n
    • R(A*)=n
  • R(A)=n-1
    • R(A*)=1
  • R(A)≤n-2
    • R(A*)=0