微分方程

高等数学同济第七版第七章——微分方程思维导图，包括：基本概念、分类、线性微分方程解的结构、线性概念。

微分方程

• 基本概念
  • 含有未知数函数的导数
  • 元素概念
    • 通解
    • 初值条件
• 分类
  • 一阶微分方程
    • 可分离变量
      • y'=f(x,y)
    • 齐次方程
      • y'=ɸ（）
    • 一阶线性微分方程
      • +P(x)y=Q(x)
        • Q（x）=0
          • 齐次线性方程
        • Q(x)≠0
          • 非齐次线性方程
            • * 常数变易法
        • 通解
          • 对应的齐次方程通解+非齐次方程的一个特解之和
  • 高阶微分方程
    • 可降阶的高阶微分方程
      • =f(x)
      • y''=f(x，y')
      • y''=f(y，y')
    • 高阶线性微分方程
      • 二阶线性微分方程
        • y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)
          • f(x)=0——齐次方程
          • f(x)≠0——非齐次方程
  • 常系数线性微分方程
    • 常系数齐次线性微分方程
      • y''+py'+qy=0(以二阶为例)
    • 常系数非齐次线性微分方程
      • y''+py'+qy=f(x)
        • f(x)=
          • λ是特征方程的k重根（k取0，1，2）
        • f(x)=coswx+sinwx]
          • [coswx+sinwx]
          • m指的是次方数，m=max{l，n}
          • λ+iw为特征方程的k重根
      • n阶常系数齐次线性微分方程
    • 特征方程
      • 将对应常系数线性微分方程的阶数换成对应的幂次数，得到的方程称为微分方程的特征方程
• 线性微分方程解的结构
  • 定理一
    • 对于二阶齐次线性微分方程y''+P(x)y'+Q(x)y=0，如果（注意不一定为通解）
  • 定理二
    • 当定理一中的
      • 是两个线性无关的解，是方程的通解
  • 定理一、二推论
    • 如果是n阶齐次线性方程
      • =0的n个线性无关的解，则此方程的解为，
  • 定理三
    • 非齐次线性方程通解等于对应的齐次方程通解加非齐次方程的特解
  • 叠加原理
    • 设非齐次线性方程右端为两个函数之和y''+P(x)y'+Q(x)y=；与fe分别是方程y''+P(x)y'+Q(x)y=和方程y''+P(x)y'+Q(x)y=的特解；则是原方程的特解
• 线性概念
  • (x)，(x)...，(x)为定义在区间I上的n个函数，如果存在n个不全为0的常数，，,使得，则称这n个函数在区间I上线性相关，否则称线性无关