一元函数积分学

一元函数积分学知识总结，这是复习期间自己制作的思维导图，用于回顾知识点，及时查缺补漏，需要的自取。

一元函数积分学

• 基本概念
  • 不定积分
    • 定义：f(x)在区间I上的全体原函数
  • 定积分
    • 概念相关：要求积分区间有限，被积函数有界
    • 可积性
      • 充分条件：1.f(x)在[a,b]上连续；2.f(x)在[a,b]上有界且只有有限个间断点；3.f(x)在[a,b]上单调。
      • 必要条件：若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上有界。
  • 反常积分
    • 定义：即积分限中有无穷或者被积函数存在无穷间断点。能积出结果称收敛，反之称发散。
• 常用的基本公式与性质
  • 绝对值不等式:
  • 估值定理:
  • 积分中值定理
    • f(x)在[a,b]上连续
    • 积分第一中值定理：f(x)和g(x)在[a,b]上连续且g(x)≥0
    • 积分第二中值定理：f(x)在[a,b]上连续且g'(x)≥0
  • 奇偶性、周期性
  • 牛顿-莱布尼茨公式
  • 变限积分相关
    • f(x)在[a,b]上可积，则其变限积分在区间内连续
    • f(x)在[a,b]上连续，则其变限积分在区间内可导
• 积分的计算
  • 不定积分表
  • 积分方法
    • 分项积分法：即将复杂的被积函数拆分成多项简单的函数的和，分别进行积分
    • 分段积分法：即将原积分限拆分成小积分限分别计算
    • 换元积分法
      • 凑微分
      • 变量代换
        • 三角换元(万能公式，点火公式等一系列三角函数积分公式)
        • 倒代换
        • 幂函数代换
        • 指数函数代换
    • 分部积分法
  • 有理函数积分：待定系数法
  • 反常积分的计算
    • 即积分法则+极限运算法则
    • 敛散性判断(见笔记本)
• 一元函数积分学的物理应用和几何应用

一元函数积分学

• 基本概念
  • 不定积分
    • 定义：f(x)在区间I上的全体原函数
  • 定积分
    • 概念相关：要求积分区间有限，被积函数有界
    • 可积性
      • 充分条件：1.f(x)在[a,b]上连续；2.f(x)在[a,b]上有界且只有有限个间断点；3.f(x)在[a,b]上单调。
      • 必要条件：若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上有界。
  • 反常积分
    • 定义：即积分限中有无穷或者被积函数存在无穷间断点。能积出结果称收敛，反之称发散。
• 常用的基本公式与性质
  • 绝对值不等式:
  • 估值定理:
  • 积分中值定理
    • f(x)在[a,b]上连续
    • 积分第一中值定理：f(x)和g(x)在[a,b]上连续且g(x)≥0
    • 积分第二中值定理：f(x)在[a,b]上连续且g'(x)≥0
  • 奇偶性、周期性
  • 牛顿-莱布尼茨公式
  • 变限积分相关
    • f(x)在[a,b]上可积，则其变限积分在区间内连续
    • f(x)在[a,b]上连续，则其变限积分在区间内可导
• 积分的计算
  • 不定积分表
  • 积分方法
    • 分项积分法：即将复杂的被积函数拆分成多项简单的函数的和，分别进行积分
    • 分段积分法：即将原积分限拆分成小积分限分别计算
    • 换元积分法
      • 凑微分
      • 变量代换
        • 三角换元(万能公式，点火公式等一系列三角函数积分公式)
        • 倒代换
        • 幂函数代换
        • 指数函数代换
    • 分部积分法
  • 有理函数积分：待定系数法
  • 反常积分的计算
    • 即积分法则+极限运算法则
    • 敛散性判断(见笔记本)
• 一元函数积分学的物理应用和几何应用