小学数学整除及同余

小学数学整除规则 判断方法，相关性质以及余数性质、同余规则及相关性质

除法 相关

整除

定义

a÷b（b≠0）,商是整数，无余数。 叫作a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

0能被任意非零整数整除：b|0，0是任意非零整数的倍数

任意整数都能被1整除：1|a

任意非零整数都能被自己整除：a|a(a≠0)

判断方法

看末位

被2，5整除：末一位能分别被2，5整除

被4，25整除：末两位能分别被4，25整除

被8，125整除：末三位能分别被8，125整除

被16，625整除：末四位能分别被16，125整除

看各位数字和

被3，9整除

各位数字和能被3，9整除

被11整除

奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除

看两部分数字组成的差

被7，11，13整除

末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7，11，13整除。

相关性质

a,b均能被c整除，则a与b的和或差均能被c整除 c|c,c|b,则c|(a+b),c|(a-b)

a能被b整除，b能被c整除，则a能被c整除 b|a,b|c,则c|c

a能分别被b，c整除，且b,c互质，则a能被b，c乘积整除 b|a,c|a,(b,c)=1则 bc|a

bc|a,且（bc≠0),则 b|a,c|a

b|a,则 bm|am(m≠0)

b|a,则 b|am

b|a,d|c则 bd|ac

余数

定义

a÷b（b≠0）,余数为c,记作a mod b=c

可加性

a与b的和除以c的余数等于a，b分别除以c的余数之和 （这个和大于c时，等于这个和再除以c的余数)

(a+b) mod c = (a mod c)+(b mod c)

可减性

a与b的差除以c的余数等于a，b分别除以c的余数之差 （这个和为负数时，等于这个差再加上除数c)

(a-b) mod c = (a mod c)-(b mod c)

可乘性

a与b的乘职除以c的余数等于a，b分别除以c的余数之积 （这个积大于c时，等于这个积再除以c的余数)

(a×b) mod c = (a mod c)×(b mod c)

同余 规则

定义

a÷m与b÷m的余数相同，称a、b对于模m同余。 记作a≡b(mod m)

同余定理

m|(a-b)，则a≡b(mod m)

必要性

a≡b(mod m)，则（a-b)|m

传递性

a≡b(mod m),b≡c(mod m),则a≡c(mod m)

和差性

a≡b(mod m),c≡d(mod m),则a±c≡b±d(mod m)

相乘性

a≡b(mod m),c≡d(mod m),则a×c≡b×d(mod m)

乘方性

a≡b(mod m),则

同倍性

a≡b(mod m),则a×c≡b×c(mod m×c)