小学数学整除及同余

小学数学整除规则 判断方法，相关性质以及余数性质、同余规则及相关性质

除法 相关

• 整除
  • 定义
    • a÷b（b≠0）,商是整数，无余数。 叫作a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
    • 0能被任意非零整数整除：b|0，0是任意非零整数的倍数
    • 任意整数都能被1整除：1|a
    • 任意非零整数都能被自己整除：a|a(a≠0)
  • 判断方法
    • 看末位
      • 被2，5整除：末一位能分别被2，5整除
      • 被4，25整除：末两位能分别被4，25整除
      • 被8，125整除：末三位能分别被8，125整除
      • 被16，625整除：末四位能分别被16，125整除
    • 看各位数字和
      • 被3，9整除
        • 各位数字和能被3，9整除
      • 被11整除
        • 奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除
    • 看两部分数字组成的差
      • 被7，11，13整除
        • 末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7，11，13整除。
  • 相关性质
    • a,b均能被c整除，则a与b的和或差均能被c整除 c|c,c|b,则c|(a+b),c|(a-b)
    • a能被b整除，b能被c整除，则a能被c整除 b|a,b|c,则c|c
    • a能分别被b，c整除，且b,c互质，则a能被b，c乘积整除 b|a,c|a,(b,c)=1则 bc|a
    • bc|a,且（bc≠0),则 b|a,c|a
    • b|a,则 bm|am(m≠0)
    • b|a,则 b|am
    • b|a,d|c则 bd|ac
• 余数
  • 定义
    • a÷b（b≠0）,余数为c,记作a mod b=c
  • 可加性
    • a与b的和除以c的余数等于a，b分别除以c的余数之和 （这个和大于c时，等于这个和再除以c的余数)
    • (a+b) mod c = (a mod c)+(b mod c)
  • 可减性
    • a与b的差除以c的余数等于a，b分别除以c的余数之差 （这个和为负数时，等于这个差再加上除数c)
    • (a-b) mod c = (a mod c)-(b mod c)
  • 可乘性
    • a与b的乘职除以c的余数等于a，b分别除以c的余数之积 （这个积大于c时，等于这个积再除以c的余数)
    • (a×b) mod c = (a mod c)×(b mod c)
• 同余 规则
  • 定义
    • a÷m与b÷m的余数相同，称a、b对于模m同余。 记作a≡b(mod m)
  • 同余定理
    • m|(a-b)，则a≡b(mod m)
  • 必要性
    • a≡b(mod m)，则（a-b)|m
  • 传递性
    • a≡b(mod m),b≡c(mod m),则a≡c(mod m)
  • 和差性
    • a≡b(mod m),c≡d(mod m),则a±c≡b±d(mod m)
  • 相乘性
    • a≡b(mod m),c≡d(mod m),则a×c≡b×d(mod m)
  • 乘方性
    • a≡b(mod m),则
  • 同倍性
    • a≡b(mod m),则a×c≡b×c(mod m×c)