第一章考研初数实数

这是一个关于第一章考研初数实数的思维导图，主要包括：第一节实数、第二节整数、第三节比例、第四节绝对值。

第一章算数

• 第一节实数
  • 考点1 有理数和无理数
    • 定义
      • 有理数
        • 都可写成分数，一般用Q表示
        • 延伸
          • 无限循环小数化分数
            • 纯循环小数化分数
              • 分母:循环节有多少位数字，分母就有几个9
              • 分子:一个循环节
            • 混循环小数化分数
              • 分母:循环节有多少位数字，分母就有几个9、后面再添几个0（个数是不循环数字的个数）
              • 分子:第二个循环节之前的数减去不循环的数
      • 无理数
        • 不能写成分数的实数
          • √2≈1.414
          • √3≈1.732
          • √5≈2.236
    • 四则运算规律
      • 有理数
        • 加减乘除
          • 封闭，还是有理数
      • 无理数
        • 无理数➕/➖无理数＝不确定
        • 无理数✖️/➗无理数＝不确定
        • 不封闭
      • 有理数和无理数的运算
        • 有理数➕无理数＝无理数
        • 有理数✖️无理数＝不确定
          • 当有理数是0时，结果是0，是有理数
          • 当有理数不是0时，结果是无理数
        • 有理数✖️无理数＝有理数
          • →有理数是0
    • 命题分析
      • 1.无理数运算
        • 细心计算
      • 2.有理数和无理数的混合运算
        • 注意:方程标准式
          • 有理数1➕有理数2✖️无理数＝0
  • 考点2 实数的运算
    • 基本运算
      • 循环小数化分数
      • 乘方运算
        • 
      • 开方运算
        • 
      • 多个数运算
        • 
• 第二节整数
  • 整数
    • 整数的概念与运算
      • 整数 (Z)
        • 正整数
        • 负整数
        • 零
      • 自然数（N）
        • 非负整数
      • 整数的运算
        • 整数➕/➖整数＝整数
        • 整数✖️整数＝整数
        • 整数的乘方＝整数
        • 整数➗整数＝整数或分数
        • 整数的开方＝整数或无理数
    • 整除
      • 整除
        • a能被b整除
        • b能整除a
        • a➗b＝k(b≠0)
      • 倍数约数
        • a是b的倍数
          • a能被b整除
        • b是a的约数
          • b能整除a
        • 0是任何非零整数的倍数
        • 倍数约数中有负整数
    • 数的整除特征
      • 能被2或5整除的数
        • 末尾数字能被2或5整除
      • 能被3或9整除的数
        • 各位数字之和能被3或9整除
      • 能被4整除的数
        • 末两位数字必能被4整除
      • 能被8整除的数
        • 末三位数字必能被8整除
    • 整除的性质
      • ①如果b是c的倍数，a也是c的倍数，则对于任意的整数m、n有ma➕nb也是c的倍数
      • ②如果c是a✖️b的倍数，则c是a的倍数，也是b的倍数
      • ③如果c是a的倍数，也是b的倍数，且a、b互质（最大公约数是1），则c也是a✖️b的倍数
      • ④如果b是c的倍数，a是b的倍数 ，则a是c的倍数
    • 带余除法
      • 若a➗b，商为c,余数为d，则有
        • ①a,b,c,d为整数
        • ②b≠0
        • ③d＜b
        • ④a➖d＝b✖️c
          • a➖d是b的倍数
    • 倍数的个数
      • 自然数1~N中，m的倍数有N/m个（N/m是取整运算）
    • 命题分析
      • 整除与倍数约数
      • 带余除法
  • 奇数与偶数
    • 概念
      • 负整数也分奇偶性
    • 运算
      • 两个数运算
        • 奇数➕奇数＝偶数
        • 奇数➕偶数＝奇数
        • 偶数➕偶数＝偶数
        • 奇数✖️奇数＝奇数
        • 偶数✖️奇数＝偶数
        • 偶数✖️偶数＝偶数
      • 多个数运算
        • 多个偶数相加减是偶数
        • 偶数个奇数相加减是偶数，奇数个奇数相加减是奇数
    • 性质
      • 若a,b同为整数，则a➕b,a➖b的奇偶性相同
      • 两个相邻的整数必为一奇一偶
  • 质数和合数
    • 定义
      • 质数
        • 一个大于1的正整数只能被1和他本身整除，则该正整数是质数
          • 1不是质数也不是合数
          • 30以内的质数
            • 2.3.5.7.11.13.17.19.23.29
            • 2是唯一的偶质数
      • 合数
        • 一个正整数除了能被1和他本身整除外，还能被其他的正整数整除，则该正整数是合数
    • 重要性质
      • 正整数分为1.质数，合数
      • 2是唯一的偶质数
      • 4是最小的合数
      • 若p＝ab,且p是质数，a,b是正整数，则必有a＝p或b＝p
    • 考情
      • 试数法
      • 分解质因数（几个质数的乘积）
      • 唯一的偶质数➕奇偶分析
      • 反例法（判定质数）
      • 质数的分解性质
  • 公约数和公倍数
    • 概念
      • 正整数范围内
      • 个数
        • 公倍数无数个
        • 公约数有限个
      • 最小公倍数，最大公约数
      • 互质
        • 两个正整数的最大公约数是1
      • 判断
        • 两个质数一定互质（✓）
        • 一奇数和一偶数一定互质（×）
        • 相邻的两个正整数一定互质（✓）
    • 计算
      • 质因数分解法
        • 分解质因数，最大公约数＝质数的最低次数相乘
        • 最小公倍数＝质数的最高次幂相乘
      • 短除法
    • 命题分析
      • 公倍约的应用
  • 整数的综合应用
    • 不定方程
      • 线性和
        • 类似Ax➕By＝C的方程，其中x和y属于特殊数域，常用奇偶分析，未知数范围，倍数约数，个位数等方法求解
      • 交叉乘
        • 类似于xy➕Ax➕By＝C的形式，其中x,y属于特殊数域（整数，正整数或者质数等），因式分解将方程化为（x➕B）(y➕A)＝D的形式，然后结合特殊数域的要求分析求解
    • 命题
      • 在有限的数域里可以试数
• 第三节比例
  • 比例1
    • 正比反比
      • 正比
        • y=Kx(K≠O)
      • 反比
        • y=k/ⅹ(K≠O)
          • K是比例系数
    • 比例计算
      • a:b=a/b=α÷b
      • 若a:b=k，则α=bk
      • 若m≠O，则α:b=am:bm
      • 若a:b=C:d，则ad=bc
      • 若x:y:Z=1/α:1/b:1/C，则x:y:Z=bc:ac:ab
      • 若√x:√y:√z=α:b:C，则x:y:z=a²:b²:C²
      • 若x:y=α:b，y:Z=C:d，则x:y:z=ac:bc:bd
    • 求比例关系
      • 已知两个方程，求字母之间的比例关系:解方程组的思路（消元，换元）
      • 已知二元二次方程，求字母之间的比例关系:分解因式求解
    • 命题分析
      • 比例求值
        • 第一步:化最简整数比
        • 第二步:设k求值
  • 比例2
    • 等比定理
  • 比例3
    • 分式比较大小
• 第四节绝对值
  • 考点1：绝对值的定义
    • 考点知识
      • 定义
        • 代数意义
          • lal=
            • a
              • a≥O
            • -a
              • a<O
        • 几何意义
          • |a|
            • 数轴上的a点到0点的距离
      • 对称性
        • lal=|-a|
      • 等价性
        • √a²=|a|
        • |a丨²=a²
    • 命题分析
      • 利用定义和性质去绝对值
  • 考点2:绝对值的自比性
    • 考点知识
      • 绝对值的自比性
        • -|a|≤a≤|a|
          • -|a|≤a，R成立
            • -|a|<a，a>O
            • -|a|=a，a≤O
          • a≤|a|，R成立
            • a<|a|，a<O
            • a=|a|，a≥O
        • 丨x丨/x=x/|x|=
          • 1，x≥0
          • 一1，x<O
    • 命题分析
      • 绝对值比较大小
      • 自比求值
  • 考点3:绝对值的非负性
    • 考点知识
      • 绝对值的非负性
    • 命题分析
      • 非负定零
        • 几个非负代数式的和为零，则每个代数式的值为零
        • 部分非负:加减消元，配方
      • 非负定整
        • 几个非负代数式的和为整数，且其中的数据是整数域。通常利用代数式的非复负性和整数相关的知识求解。
  • 考点4:绝对值三角不等式
    • 考点知识
      • 绝对值三角不等式
        • |a十b|≤|a|十|b|
        • |a一b|≤la|十|b|
        • 恒成立
          • 针对题目:有三个绝对值，内部代数有和差关系
    • 命题分析
      • 求范围
      • 等号成立的条件
        • |a十b|=|a|十|b|
          • ab≥O
        • |a一b|=la|十|b|
          • ab≤O
        • |a十b|<|a|十|b|
          • ab<O
        • |a一b|<la|十|b|
          • ab>O

第一章算数

• 第一节实数
  • 考点1 有理数和无理数
    • 定义
      • 有理数
        • 都可写成分数，一般用Q表示
        • 延伸
          • 无限循环小数化分数
            • 纯循环小数化分数
              • 分母:循环节有多少位数字，分母就有几个9
              • 分子:一个循环节
            • 混循环小数化分数
              • 分母:循环节有多少位数字，分母就有几个9、后面再添几个0（个数是不循环数字的个数）
              • 分子:第二个循环节之前的数减去不循环的数
      • 无理数
        • 不能写成分数的实数
          • √2≈1.414
          • √3≈1.732
          • √5≈2.236
    • 四则运算规律
      • 有理数
        • 加减乘除
          • 封闭，还是有理数
      • 无理数
        • 无理数➕/➖无理数＝不确定
        • 无理数✖️/➗无理数＝不确定
        • 不封闭
      • 有理数和无理数的运算
        • 有理数➕无理数＝无理数
        • 有理数✖️无理数＝不确定
          • 当有理数是0时，结果是0，是有理数
          • 当有理数不是0时，结果是无理数
        • 有理数✖️无理数＝有理数
          • →有理数是0
    • 命题分析
      • 1.无理数运算
        • 细心计算
      • 2.有理数和无理数的混合运算
        • 注意:方程标准式
          • 有理数1➕有理数2✖️无理数＝0
  • 考点2 实数的运算
    • 基本运算
      • 循环小数化分数
      • 乘方运算
        • 
      • 开方运算
        • 
      • 多个数运算
        • 
• 第二节整数
  • 整数
    • 整数的概念与运算
      • 整数 (Z)
        • 正整数
        • 负整数
        • 零
      • 自然数（N）
        • 非负整数
      • 整数的运算
        • 整数➕/➖整数＝整数
        • 整数✖️整数＝整数
        • 整数的乘方＝整数
        • 整数➗整数＝整数或分数
        • 整数的开方＝整数或无理数
    • 整除
      • 整除
        • a能被b整除
        • b能整除a
        • a➗b＝k(b≠0)
      • 倍数约数
        • a是b的倍数
          • a能被b整除
        • b是a的约数
          • b能整除a
        • 0是任何非零整数的倍数
        • 倍数约数中有负整数
    • 数的整除特征
      • 能被2或5整除的数
        • 末尾数字能被2或5整除
      • 能被3或9整除的数
        • 各位数字之和能被3或9整除
      • 能被4整除的数
        • 末两位数字必能被4整除
      • 能被8整除的数
        • 末三位数字必能被8整除
    • 整除的性质
      • ①如果b是c的倍数，a也是c的倍数，则对于任意的整数m、n有ma➕nb也是c的倍数
      • ②如果c是a✖️b的倍数，则c是a的倍数，也是b的倍数
      • ③如果c是a的倍数，也是b的倍数，且a、b互质（最大公约数是1），则c也是a✖️b的倍数
      • ④如果b是c的倍数，a是b的倍数 ，则a是c的倍数
    • 带余除法
      • 若a➗b，商为c,余数为d，则有
        • ①a,b,c,d为整数
        • ②b≠0
        • ③d＜b
        • ④a➖d＝b✖️c
          • a➖d是b的倍数
    • 倍数的个数
      • 自然数1~N中，m的倍数有N/m个（N/m是取整运算）
    • 命题分析
      • 整除与倍数约数
      • 带余除法
  • 奇数与偶数
    • 概念
      • 负整数也分奇偶性
    • 运算
      • 两个数运算
        • 奇数➕奇数＝偶数
        • 奇数➕偶数＝奇数
        • 偶数➕偶数＝偶数
        • 奇数✖️奇数＝奇数
        • 偶数✖️奇数＝偶数
        • 偶数✖️偶数＝偶数
      • 多个数运算
        • 多个偶数相加减是偶数
        • 偶数个奇数相加减是偶数，奇数个奇数相加减是奇数
    • 性质
      • 若a,b同为整数，则a➕b,a➖b的奇偶性相同
      • 两个相邻的整数必为一奇一偶
  • 质数和合数
    • 定义
      • 质数
        • 一个大于1的正整数只能被1和他本身整除，则该正整数是质数
          • 1不是质数也不是合数
          • 30以内的质数
            • 2.3.5.7.11.13.17.19.23.29
            • 2是唯一的偶质数
      • 合数
        • 一个正整数除了能被1和他本身整除外，还能被其他的正整数整除，则该正整数是合数
    • 重要性质
      • 正整数分为1.质数，合数
      • 2是唯一的偶质数
      • 4是最小的合数
      • 若p＝ab,且p是质数，a,b是正整数，则必有a＝p或b＝p
    • 考情
      • 试数法
      • 分解质因数（几个质数的乘积）
      • 唯一的偶质数➕奇偶分析
      • 反例法（判定质数）
      • 质数的分解性质
  • 公约数和公倍数
    • 概念
      • 正整数范围内
      • 个数
        • 公倍数无数个
        • 公约数有限个
      • 最小公倍数，最大公约数
      • 互质
        • 两个正整数的最大公约数是1
      • 判断
        • 两个质数一定互质（✓）
        • 一奇数和一偶数一定互质（×）
        • 相邻的两个正整数一定互质（✓）
    • 计算
      • 质因数分解法
        • 分解质因数，最大公约数＝质数的最低次数相乘
        • 最小公倍数＝质数的最高次幂相乘
      • 短除法
    • 命题分析
      • 公倍约的应用
  • 整数的综合应用
    • 不定方程
      • 线性和
        • 类似Ax➕By＝C的方程，其中x和y属于特殊数域，常用奇偶分析，未知数范围，倍数约数，个位数等方法求解
      • 交叉乘
        • 类似于xy➕Ax➕By＝C的形式，其中x,y属于特殊数域（整数，正整数或者质数等），因式分解将方程化为（x➕B）(y➕A)＝D的形式，然后结合特殊数域的要求分析求解
    • 命题
      • 在有限的数域里可以试数
• 第三节比例
  • 比例1
    • 正比反比
      • 正比
        • y=Kx(K≠O)
      • 反比
        • y=k/ⅹ(K≠O)
          • K是比例系数
    • 比例计算
      • a:b=a/b=α÷b
      • 若a:b=k，则α=bk
      • 若m≠O，则α:b=am:bm
      • 若a:b=C:d，则ad=bc
      • 若x:y:Z=1/α:1/b:1/C，则x:y:Z=bc:ac:ab
      • 若√x:√y:√z=α:b:C，则x:y:z=a²:b²:C²
      • 若x:y=α:b，y:Z=C:d，则x:y:z=ac:bc:bd
    • 求比例关系
      • 已知两个方程，求字母之间的比例关系:解方程组的思路（消元，换元）
      • 已知二元二次方程，求字母之间的比例关系:分解因式求解
    • 命题分析
      • 比例求值
        • 第一步:化最简整数比
        • 第二步:设k求值
  • 比例2
    • 等比定理
  • 比例3
    • 分式比较大小
• 第四节绝对值
  • 考点1：绝对值的定义
    • 考点知识
      • 定义
        • 代数意义
          • lal=
            • a
              • a≥O
            • -a
              • a<O
        • 几何意义
          • |a|
            • 数轴上的a点到0点的距离
      • 对称性
        • lal=|-a|
      • 等价性
        • √a²=|a|
        • |a丨²=a²
    • 命题分析
      • 利用定义和性质去绝对值
  • 考点2:绝对值的自比性
    • 考点知识
      • 绝对值的自比性
        • -|a|≤a≤|a|
          • -|a|≤a，R成立
            • -|a|<a，a>O
            • -|a|=a，a≤O
          • a≤|a|，R成立
            • a<|a|，a<O
            • a=|a|，a≥O
        • 丨x丨/x=x/|x|=
          • 1，x≥0
          • 一1，x<O
    • 命题分析
      • 绝对值比较大小
      • 自比求值
  • 考点3:绝对值的非负性
    • 考点知识
      • 绝对值的非负性
    • 命题分析
      • 非负定零
        • 几个非负代数式的和为零，则每个代数式的值为零
        • 部分非负:加减消元，配方
      • 非负定整
        • 几个非负代数式的和为整数，且其中的数据是整数域。通常利用代数式的非复负性和整数相关的知识求解。
  • 考点4:绝对值三角不等式
    • 考点知识
      • 绝对值三角不等式
        • |a十b|≤|a|十|b|
        • |a一b|≤la|十|b|
        • 恒成立
          • 针对题目:有三个绝对值，内部代数有和差关系
    • 命题分析
      • 求范围
      • 等号成立的条件
        • |a十b|=|a|十|b|
          • ab≥O
        • |a一b|=la|十|b|
          • ab≤O
        • |a十b|<|a|十|b|
          • ab<O
        • |a一b|<la|十|b|
          • ab>O