高数第一章思维导图

高等数学第七版上册，同济大学数学系。在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。

高等数学第一章思维导图

• 第一节 映射与函数
  • 映射
    • 定义p1：两个非空数集，唯一确定，像，原像，元素x的像y是唯一的，元素y的像不是唯一的
  • 满射
  • 单射
  • 逆映射与复合映射p2——p3
    • 单射才存在逆映射
  • 函数
    • 绝对值函数
    • 符号函数
    • 取整函数
    • 分段函数
  • 函数特性
    • 有界性，单调性，奇偶性，周期性
  • 反函数与复合函数
    • 反函数
      • 单射，逆映射特例
      • 直接函数与反函数关于直线y=x对称
    • 复合函数
      • （fog)(x)=f[g(x)]
      • 条件：函数g的值域Rg必然包含于函数f的定义域Df
  • 函数运算
    • 任何一个函数都能表示奇偶函数和的形式
  • 初等函数
• 第二节 数列的极限
  • 定义
    • 任意给定e，存在N,n>N |xn-a|<e 收敛\发散
  • 收敛数列性质
    • 极限唯一性
    • 收敛数列的有界性
      • 数列无界，一定发散；数列有界，不一定收敛
    • 收敛数列的保号性©p25
    • 收敛数列与其子数列间的关系
      • 如果数列有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列是发散的
      • 一个发散的数列也可能有收敛的子数列
• 第三节 函数的极限
  • 定义
    • 在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限
  • 自变量趋于有限值时函数的极限
    • 去心领域，任意给定正数e，总存在正数d,0<|x-x0|<d,|f(x)-A|<e,极限为A
    • 有没有极限在点x0是否有定义没有关系
    • 例5看
    • 单侧极限
      • 左极限
      • 右极限
      • 极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等
  • 自变量趋于无穷大时函数的极限
    • 极限为AÛ"e>0,$X>0,当|x|>X时，有|f(x)-A|<e
  • 函数极限的性质
    • 函数极限的唯一性
    • 函数极限的局部保号性
    • 函数极限的局部有界性
      • 定理3’p32
      • 推论
    • 函数极限与数列极限的关系
• 第四节 无穷小于无穷大
  • 无穷小定义，34
    • 是函数
  • 无穷小定理1 35
  • 无穷大定义
    • 无穷大不是数
  • 无穷大定理2 36
• 第五节 极限运算法则
  • 定理1 两个无穷小的和是无穷小，有限个无穷小之和也是无穷小
  • 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
    • 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小
    • 推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小
  • 定理3 如果y(x)³n(x),而limy(x)=A,limv(x)=B,那么A>=B
• 第十节 闭区间上连续函数的性质
  • 有界性与最大值最小值定理
    • 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得他的最大值和最小值
    • 其他情况不一定
  • 零点定理与介值定理
  • 一致连续性
• 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
  • 连续函数的和，差，积，商的连续性
  • 反函数与复合函数的连续性
  • 初等函数的连续性
• 第八节 函数的连续性与间断点
  • 连续性
    • 一点处的极限等于该点的函数值
    • 函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续
  • 函数的间断点
    • 三情形
    • 第一类间断点
      • 可去间断点
      • 跳跃间断点
    • 第二类间断点
      • 无穷间断点
      • 振荡间断点
• 第七节 无穷小的比较
  • （）阶无穷小
  • b与a是等价无穷小的充分必要条件为：b=a+o（a)
  • 用等价无穷小要是乘积形式
• 第六节 极限存在法则 两个重要极限
  • 夹逼准则
  • 单调有界数列必有极限(看书例题）
  • 柯西极限存在准则（数列收敛）
  • 两个重要极限
• 浮动主题