12.24管综数学陷阱

杠杆原理：当题干明确给出完成同一件工作的两种不同方式,求某人单独做需要几天需想到转化法；当题干出现某个整体按一个标准分为两类时或多次出现平均值概念或出现一个上涨多少,一个下降多少，总量变化多少时需想到杠杆原理。

数学陷阱

• 实数
  • 质数
    • 1.若质数+质数=奇数，则其中一个质数一定为2 2.若质数×质数=偶数，则其中一个质数一定为2 3.abc为质数，且a+b=c(a＜b)，则a=2
    • 4.质数只能分解为1和它本身 5.质因数定理，约数的个数M=(k1+1)(k2+1)...(kn+1) 6.不一定是质数才互质 (4，9)
  • 奇偶性
    • 1.m，n为整数，则(m+n)和(m-n)同奇同偶
  • 有理性与无理性
    • 1.常见的无理数的值： 2.易忘的有理数：0 3.有理方程的无理根是成对出现的 4.[根号(n+1)+根号n]与[根号(n+1)-根号n]互为倒数
  • 绝对值
    • 绝对值的几何意义使用前提:未知数的系数要保持一致(|ax-b|+|ax-d|)min=|b-d|
    • y=f(x)＞A 恒成立＝Ymin＞A 有解=Ymax＞A
    • 非负性来证明求最值、计算值
    • 去绝对值常用的方法
      • 平方法(注意要保证式子两侧大于等于0)
      • 分段讨论（绝对值内部较为简单）
      • 绝对值的几何意义(必须保证系数一致)
      • 画图(绝对值内部较为复杂)菱形、正方形的绝对值图像！！
    • 复习与绝对值有关错过的所有题目(平板)
• 应用题
  • 1.比例问题
    • 1.m增大两倍：m→3m
    • 2.比例题常常忘记可以用设k法
    • 3.一件商品先上涨p%，在下降p%，结果比原值小
    • 4.若题干没有给出具体数值，都是比例关系可直接用比例法或特值去解答即可
  • 行程问题
    • 跑圈问题中若求在起点处相遇时，甲乙各跑多少圈可直接套用 N甲/N乙=V甲/V乙
  • 至多至少问题
    • 大多利用极限思想求解最值
  • 杠杆原理
    • 当题干明确给出完成同一件工作的两种不同方式,求某人单独做需要几天需想到转化法；当题干出现某个整体按一个标准分为两类时或多次出现平均值概念或出现一个上涨多少,一个下降多少，总量变化多少时需想到杠杆原理
  • 浓度问题
    • 当题干所给条件或数量较多时或多次溶液混合问题可列表格分析
• 方程
  • 24.解决一元二次方程恒成立时，若二次项系数不确定时一定要讨论是否为0
  • 28.当求解不定方程时，一定要注意题干前提是否默认未知数为正整数，求解时可利用奇偶特征、倍数特征、个位特征以及质数特征讨论求值
  • 29.若题干涉及到判别式的计算，与判别式△有关系的量有：顶点坐标以及|X1一X2l
  • 35.当出现抛物线与直线相交、相切或相离，圆与直线相交、相切或相离时也可考虑联立方程用判别式分析
• 函数
  • 定义域：
  • y = ax²+bx+c= a(x-x1)(x-x2)，两种形式可相互转化 (2015)（2020）
  • 在二次函数中，若题干出现f(a)=f(b)，则对称轴为(a+b)/2 （两题41）
• 不等式
  • 求解不等式的时注意：如果两边约掉的是正数时不变号，如果是负数要变号
  • 均值定理
    • 均值定理使用前一定要牢记三大前提（一正且二定且三相等)， 如果题目较难可直接取等求最值
  • 三角不等式
    • 使用前提：|a|,|b|,|a±b|同时出现
  • 柯西不等式
    • 
• 数列
  • 等差数列
    • 通项
      • 1.an的公式 2.根据an判断是否为等差 3.已知{an}为等差，则{}
    • Sn
      • 最值
        • 41.等差数列前n项和最值要么在变号处取到，要么利用抛物线对称轴分析 (若题干没有告诉前n项和公式都找变号处取最值)
        • S8为最大值≠8是对称轴，只要在7.5≤对称轴=1/2-a1/d≤8.5
    • 公差
      • 42.若等差数列{an}的公差为d1,{bn}的公差为d2, 则{λan+b}也为等差数列,公差为λd1 {λ1an.+λ2bn}也为等差数列,公差为λ1d1+ λ2d2
    • 在等差数列中，
    • 等差数列中，a1，an，d，n，Sn，其关系是知三求二
  • 等比数列
    • 等比数列中，a1，an，q，n，Sn，S,其关系是知三求三
    • 
    • 《高分指南》P125 例28
    • 无穷等比数列|q|＜1，S奇\S偶(笔记)！！
  • Sn
    • 若等差数列有2n项，则S偶-S奇=nd , 若等比数列有2n项，则S偶/S奇=q
  • 45.既为等差数列又为等比数列的是非零常数列
  • 54.在计算数列一共有几项时一定要注意，例如:从1-9有9项，从3-6有4项
  • 递推公式：找规律、类等差数列、类等比数列、构造等差数列、构造等比数列
• 几何
  • |ax±b+ cy±d|=e所围成的图形为四边形,其面积为
  • lxy|+ab=a|x|+b|y|(图像是四条直线，而非四边形)所围成的四边形，其面积为S=4ab
• 排列组合
  • n支队单循环比赛，共赛Cn2场，每队赛n-1场 n支队双循环比赛，共赛2Cn2场，每队赛2(n-1)场
  • 先特殊后一般，确定元素不参选不参排 消序：局部定序、局部相同、等数量分堆
  • 双至少问题：正面分类/反面求解，有限制条件的 分房问题先分堆在分配
  • 圆排：(n-1)! 涂色：(m-1)^n+(m-1)(-1)^n （m种不同的颜色；n块区域） 错排：D(0)=1;D(1)=0;D(2)=1;D(3)=2;D(4)=9;D(5)=44
• 概率
  • 试密码
  • S要注意 1/n!!最好套公式 避免出错
• 做题方法
  • 1.特值法
    • 比大小问题和表达式化简求值首选特值法
    • 当题干出现任意或限制条件很少时可用特值法
  • 2.换元法
    • 若题干重复出现类似或相同的表达式时一定要用(h c)换元
    • 遇见复合函数时可将里边的函数用字母替换，替换时一定要注意取值范围
  • 3.联想法
    • 出现完全平方数需想到勾股定理及平方差公式
  • 4.画图法
    • 在条件充分性判断题中，若遇到|ax±byl≤(≥)c； x²+y²≤(≥)r²；√r²-x²(上半圆)，可用画图法分析

条件充分性判断坑

• 数列
  • 如果题干说对于数列{an}，要注意判断其有可能既不是等差也不等比， 则其性质是不能用的。
• 方程
  • △：利用韦达定理求最值、范围、计算完答案有2个数或在条件充分性判断中，一定要验证判别式
• 实数
  • 多考虑0、负数、分数等特值来举反例
• 恒成立
  • 公式
    • • 变形1：
      • 变形2：
    • 
    • 4. a²+b²≥2ab