【大学物理】第七章 静止电荷的电场

这是一篇关于【大学物理】第七章 静止电荷的电场的思维导图，主要内容有物质的电结构库仑定律、电场电场强度、静电场的高斯定理、静电场的环路定理电势。

静止电荷的电场

• 物质的电结构 库仑定律
  • 电荷
    • 两种电荷
      • 正电荷
        • 用丝绸摩擦过的玻璃棒所带的电荷
      • 负电荷
        • 用毛皮摩擦过的橡胶棒带的电荷
  • 物质的电结构组成
    • 由原子组成
      • 原子核
        • 中子
        • 质子
      • 核外电子
  • 起电实质
    • 通过某种作用，使该物体内电子不足或过多而呈带电状态
  • 电荷守恒定律
    • 在一个与外界没有电荷交换的系统内，无论经过怎样的物理过程，系统内正、负电荷的代数和总是保持不变
      • 电荷是相对论不变性：电荷量与运动无关
  • 电荷的量子化
    • 电荷量只能取分立的、不连续量值的性质
    • 任何带电体或其他微观粒子所带的电荷量都是电子或质子电荷量的整数倍
    • 元电荷
  • 库仑定律
    • “点电荷”模型
      • 带电体的形状和大小与它们之间的距离相比可以忽略
    • 内容
      • 两个静止的点电荷之间相互作用力的大小与这两个点电荷的电荷量q1和q2的乘积成正比
      • 两个点电荷之间的距离的平方成反比
      • 作用力方向：沿两个点电荷的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸
    • 公式
      • • • 由点电荷q2指向点电荷q1的单位矢量
      • （真空中）
        • • 比例系数
          • 真空电容率
  • 静电力的叠加原理
    • 当空间有两个以上的点电荷时，作用在某一点电荷上的总静电力等于其它各点电荷单独存在时对该点电荷所施静电力的矢量和
  • 两者配合使用解决问题
• 电场 电场强度
  • 电场
    • • 电荷的相互作用通过一个电荷所激发的电场对另一个电荷作用来传递
      • 电场性质
        • 电荷在电场中要受到电场力的作用
        • 电场力对电荷要有做工的本领
    • 电磁场
      • 媒介质
        • 光子
      • 运动速度
        • 电荷之间相互作用的传递速度→光速
    • 静电场
      • 相对于观察者为静止的电荷在其周围所激发的电场
  • 电场强度
    • 定义式
      • • 大小=单位电荷在该点所受的力的大小
        • 方向=正电荷在该处电场力的方向
    • 单位
      • N/C 或 V/m
    • 矢量场
    • 反映了电场本身具有力的属性，与试探电荷存在与否无关
    • 计算
      • 点电荷的电场强度
        • • q为源电荷
      • 点电荷系的电场强度
        • 电场强度的叠加原理
          • 点电荷系在空间任一点所激发的总电场强度等于各个点电荷单独存在时在该点各自所激发的电场强度的矢量
        • （建立合适坐标系）
        • 电偶极子模型
          • 电量为q、相距为l（微小距离）的一对正负点电荷组成的电结构，O是中点，电偶极子的方向为从负电荷指向正电荷
          • 当加上外电场后，电偶极子绕其中心O转动，最后都趋向于沿外电场方向排列，从而使物质中的合电场发生变化
          • 电偶极距
          • 合外力矩
      • 连续分布电荷的电场强度
        • 对于有限分布的带电体，可看作无限多点电荷的集合
          • 电荷元dq
          • 电荷元场强
        • 对电荷连续分布的带电体
        • 求解步骤
          • 根据几何形状和带电特征任取电荷元dq
          • 写出dq的电场表达式dE
          • 写出dE在具体坐标系的分量式，并分别积分
          • 分量合成
        • 均匀带电直棒（+q）
          • • 对称性
          • • (棒看作无限长)
            • 半无限长
            • a→0
              • P在直线上
                • 无意义
        • 均匀带电圆环(+q，R)
          • • x=0(圆环中心)
              • E=0
            • x>>R，P点原离圆环
              • 与环上电荷全部集中到环中心处一点电荷所激发的电场相同
        • 带电圆盘（R，面密度）
          • • R>>x
              • • 无限均匀带电平面的电场强度
            • R<<x
              • • 可以看作点电荷
  • 电场线（假想，实际不存在）
    • 代表电场强度的大小和方向
      • 曲线上任意一点的切线方向代表该电的场强的方向
      • 垂直通过某点单位面积上的电场强度数目代表该点的场强的大小
    • 静电场中的场强特点
      • 电场线起于正电荷（或无穷远处）
        • 终于负电荷（或无穷远处）
          • 无电荷处不中断
      • 任何两条电场线不会相交
        • 电场线不能形成闭合曲线
          • 电场中每一点的电场强度具有确定方向的必然结果
      • 电场线密集处电场强，电场线稀疏处电场弱
  • 电场强度通量
    • 定义
      • 电场中通过某一曲面（平面）的电场线的条数
      • 标量
        • 电场线从曲面内向外穿出为正
        • 电场线从曲面外向内穿出为负
    • 单位
    • • 均匀电场
      • 非均匀电场
      • 面元法向规定
        • 非封闭曲面面法向正向任取
        • 封闭曲面指向外发向
• 静电场的高斯定理
  • • 在静电场中通过任意闭合曲面大的电通量等于该曲面内电荷量代数和除以真空中的介电常数
  • 高斯定理给定的是电场强度对闭合面的通量与场源电荷的关系
    • 闭合曲线外的电荷对磁通量的贡献为0，对其电场强度有贡献
  • 应用：求解电场强度 （条件：电荷分布具有较高的空间对称性）
    • 分析带电体的电荷分布和电场分布的特点
      • →选取合适闭合曲面（高斯面）
        • 面上各电电场强度与面垂直，大小处处相等
        • 面上一部分各点与电场强度处处相等且与面垂直，另外的部分电场与面处处平行
    • 常见的高对称电荷分布
      • 球对称
        • 均匀带电的球体、球面和点电荷
        • 电荷均匀分布在球面上
          • r<R
            • E=0(高斯面内无电荷)
          • r>R
            • (高斯面内电荷量即为球面上的全部电荷)
        • 电荷均匀分布在整个球体内
          • r<R
          • r>R
            • (高斯面内的全部电荷量即为球体上的全部电荷)
      • 柱对称
        • 均匀带电的无限长的柱体、柱面和带电直线
        • 电荷成柱对称性，场方向沿径向
          • r<R
          • r>R
      • 平面对称
        • 均匀带电的无限大平板和平面
        • 电荷及场面对称性，场方向沿法向
          • • 无限大均匀带电平面激发的电场强度与离面的距离无关→面的两侧形成匀强电场
• 静电场的环路定理 电势
  • 静电场做功
    • 点电荷电场力的功
    • 点电荷系的电场力的功
      • 各电荷做功的代数和
    • 做功与路径无关 和路径的起点和终点有关（静电场力是保守力）
  • 静电场的环路定理
    • 静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分（电场强度E的环流）恒为零
    • 任何力场只要其场强的环流为零→保守力场或势场
  • 电势
    • 公式
      • • 单位：伏特（V=J/C）
    • • 静电场中a、b两点的电势差=将单位正电荷从a点移至b点电场力所做的功
      • 任意两点的电势差保持不变
    • 零势能点的选择
      • 理论计算
        • 对有限带电体电势选无限远为参考点
      • 实际应用中
        • 取大地、仪器外壳等为电势零点
    • 计算
      • 两种方法
        • 已知电场强度分布，用电势的定义
          • （积分路径可任意选取一个方便的路径）
        • 从点电荷的电势出发，应用电势叠加原理计算任何有限分布电荷系统的电势
      • 点电荷的电场
        • • 点电荷周围空间任一点的电势与该点距离点电荷的距离r成反比，以点电荷为中心，呈球对称分布
      • 点电荷系的电势
        • 每个电荷单独在该点激发的电势的代数和
      • 连续分布带电体的电势
        • 均匀带电球面
          • • r<R
              • 球内为等势区
            • r>R
              • 球外电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势
        • 同心球面
          • • 方法一：由场强积分求电势
              • 高斯定理：
              • r<R1
              • R1<r<R2
              • r>R2
            • 方法二：多个带电体的电势叠加
        • 无限长的均匀带电直线电场
          • 不能直接用公式来计算&不能用连续分布的电荷的电势公式计算
          • • 无限均匀带电直线在x轴上的场强
            • P与参考点P1的电势差
              • 选取ln 1 = 0为零势能点
    • 等势面
      • 图示
        • 相邻两等势面之间的电势间隔相等
        • 场强越强，等势面分布越密；场强越弱，等势面分布越稀
      • 性质
        • 电荷沿等势面移动，电场力不做功
        • 电场线与等势面正交
        • 电场线由电势高的地方指向电势低的地方
        • 等势面密集处场强量值越大，稀疏处场强量值小
• 电场强度与电势梯度的关系
  • 电势梯度
    • • 大小：电势在该点最大空间变化率
      • 方向：沿等势面法向，指向电势增加的方向
    • 单位：V/m
  • 关系
    • 静电场中各点的电场强度等于该点电势梯度的负值
      • • 直角坐标系中：
      • 场强与等势面垂直，指向电势降低的方向
• 静电场中的导体
  • 导体的静电平衡
    • 金属导体与电场的相互作用
      • 无外电场时：无规则运动
      • 有外电场时：无规则运动→宏观定向运动
        • 静电感应：在电场力的作用下，导体中的自由电子作宏观定向运动，使电荷产生重新分布的现象
    • 导体静电平衡的性质
      • 导体内部和导体表面处处电势相等，整个导体是个等势体，导体表面成为等势面
      • 导体内部强度处处为零，导体表面的电场强度垂直于导体表面
      • 导体上感应电荷将对原来的外加电场施加影响，改变其分布
  • 静电平衡下导体上电荷的分布
    • 实心导体
      • 导体所带电荷只能分布在导体的外表面上，内部无净电荷
    • 内部有空腔的导体
      • 空腔中无电荷
        • 空腔内表面和导体中无净电荷，净电荷只能分布在导体外表面
      • 空腔中有电荷
        • 在内、外表面分别有与腔内电荷电性相反和相同的等量净电荷
          • 导体静电平衡时，净电荷只能分布在导体外表面
  • 电荷密度和场强的关系
    • • en导体表面的法向单位向量
    • 带电导体表面附近的电场强度与该表面的电荷密度成正比，电场方向垂直于表面
  • 电荷面密度与导体表面曲率的关系
    • 孤立导体电荷面密度和半径成正比→曲率半径越小（曲率越大），电荷面密度越大
    • 在表面凹进去的部分电荷密度最小
    • 孤立的带电导体球、长直圆柱、无限大平板表面电荷均匀分布
    • • 尖端放电
  • 导体与静电场相互作用问题的计算原则
    • 导体静电平衡条件
    • 静电场基本方程
    • 电荷守恒定律
    • 平行带电金属板
      • Qa，Qb的带电性质
        • 相反电荷量
        • 相同电荷量
  • 空腔导体内外大的静电场与静电屏蔽
    • 空腔导体内外的静电场
      • 腔内无带电体
        • 内表面电荷代数和为零
          • 导体内部场强为零，空腔内场强处处为零
        • 导体壳与空腔形成等势区
        • 空腔导体内不受外电场的影响
        • 空腔导体外的电场由空腔导体外表面的电荷分布和其他带电梯的电荷分布共同决定
      • 腔内有带电体
        • 导体内部的场强处处为零
          • 导体壳为等势体
        • 空腔内场强不再为零，空腔内不再为等势区
        • 腔内场强由腔内带电体和空腔内表面所带的电荷分布所决定
        • 腔外导体和电场不影响腔内电场
        • 电荷分布在导体的两个表面
          • 腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带的电量等量异号
          • 腔体外表面所带的电量由电荷守恒定律决定
    • 静电屏蔽
      • 在静电平衡的状态下，空腔导体外面的带电体不会影响空腔内部大的电场分布
      • 一个接地的空腔导体，空腔内的带电体对腔外的带电体对腔外的物体不会产生影响
      • 利用空腔体对腔内、外进行静电隔离
        • 空腔导体起到屏蔽外电场的作用
          • 导体外表面上的感应电荷抵消外部带电体在腔内空间激发的电场
        • 接地的空腔导体可以屏蔽内、外电场的影响
          • 导体内表面上的感应电荷抵消内部带电体在腔外空间激发的电场
• 电容器的电容
  • 孤立导体的电容
    • 定义
      • 单位：F（法拉）
    • 任何孤立导体，q/V与q、V均无关
      • 电荷量相同时不同形状和大小的孤立导体电势不同
  • 电容
    • 表征导体储电能力的物理量
    • 物理意义
      • 使导体升高单位电势所需的电荷量
    • 只与导体的几何因素（及周围介质）有关
  • 电容器的电容
    • 电容器
      • 两相互绝缘的导体组成的系统
      • 两极板常带等量异号电荷
    • • q为其中一个极板电量的绝对值
    • 大小取决于两极板的形状、大小、相对位置及两极板间的电介质
    • 计算
      • 先假设电容器两极板带电±q→求出两个极板的电势差→安定义求电容C
  • 常见电容器
    • 平板电容器
    • 圆柱形电容器
    • 球形电容器
    • • 平行板电容器
      • 圆柱形电容器
      • 球形电容器
  • 电容的性能指标
    • 电容
    • 耐压
  • 电容器的串并联
    • 并联
      • 不能增大单个电容器的耐压值，但可增大电容
    • 串联
      • 串联以后的耐压值=每个电容的耐压值之和（提高了耐压 ）
    • 混联（可以根据电路连接计算容量和耐压的特殊要求）
• 静电场的电介质
  • 电介质
    • 电阻率很大，导电能力很差的物质
    • 特征
      • 原子或分子中的电子与原子核结合力很强，电子处于束缚状态→可以看作理想的绝缘体
    • 极化电荷
      • 电介质处于电场中达到静电平衡时，在电介质的表面层或电介质体内会出现电荷
      • 对于均匀的电介质，极化电荷只集中在表面层或两种不同介质的分界面上
  • 电极化强度
    • 反映电介质极化程度的物理量
      • 单体积内分子电偶极距的矢量和
    • • 真空中：
      • 均匀极化：
    • 单位：
  • 极化电荷与电极化强度
    • 极化电荷面密度等于电极化强度沿介质表面外法线的分量
  • 介质中的静电场
    • 空间任意一点总电场强度
      • • Eo外加电场
        • E‘极化电荷产生的附加电场
      • 电介质中，外电场与极化电荷的电场方向相反→电介质中的和场强<外场强
    • 各向同性线性电介质电极化强度与总场强的关系
      • • 电极化率
    • 平板电容器充满电介质时的电容
      • 相对介电常量
    • 电介质的介电常量（电容率）：
• 有电介质时的高斯定理和环路定理 电位移
  • 介质中的高斯定理
    • 在有电介质存在的电场，高斯定理仍然成立，但要同时考虑自由电荷qo和极化电荷q'产生的电场
    • 电位移矢量
    • 有电介质时的高斯定理的应用
      • 分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面求出电位移矢量
      • 根据电位移矢量与电场的关系，求出电场
      • 根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度
      • 根据极化电荷与电极化强度关系，求出极化电荷
  • D、E、P的关系
    • 有电介质的平板电容器内的D、E、P线
      • 电场线：正电荷→负电荷（自由电荷和极化电荷）
        • 电介质内部E线较稀疏
      • 电位移线：正的自由电荷→负的自由电荷 在没有自由电荷处不中断
        • D线均匀分布
      • 电极化强度矢量线：负的极化电荷→正的极化电荷
        • P线只在电介质内部
    • 矢量关系 （对于各向同性的电介质）
      • 电极化强度矢量
      • 电位移矢量
        • • →
          • →
  • 有电介质时的环路定理
    • • E是所有电荷（自由电荷和极化电荷）所激发的静电场中各点合电场强度
    • 带电金属球周围充满均匀无限大电介质后，其电场强度减弱到真空时的
• 静电场的能量
  • 静电场的能量特征
    • 电容器充电过程是把微小电荷dq从负极移到正极→两极带等量异种电荷
  • 带点电容器的静电能
    • • 电容器电量由q=0到q=Q电场力做功
  • 平板电容器 （匀强电场能量）
    • 静电能可用表征电场性质的电场强度E表示，与电场所占体积成正比
    • 电场能量密度
  • 一般情况
    • 电场能量密度
    • 电场总能量