4.3,4,5：对数与对数函数

高中数学【对数与对数函数】知识点整理，包含1.对数：①对数的概念②对数的性质③对数的运算 2.对数函数：①对数函数的概念②对数函数的图像和性质③对数单调性的应用④反函数 3.函数的应用：①函数的零点②常见函数模型等

对数与对数函数

• 对数
  • 概念
    • • a:对数的底数
      • N：真数
      • 读作：x等于以a为底N的对数
      • • “log”表示一种运算，即已知一个数和他的幂，求指数的运算
    • 常用对数和自然对数
      • 常用对数
        • 通常，将以10为底的对数叫做常用对数
      • 自然对数
        • 在科技，经济以及社会生活中常使用无理数e=2.71828...为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数
    • 对数与指数之间的关系
      • 
      • 当a＞0，a≠1时，
    • 对数的基本性质
      • ①负数和0没有对数
      • ②1的对数等于0，即
      • ③底数的对数等于1，即
      • ④对数恒等式
        • 作用
          • ①化简求值
          • ②将有关数值转化成幂的形式
  • 对数的运算
    • 性质
      • 如果a＞0，且a≠1,M＞0，N＞0，那么
        • ①
          • ①
          • 积的对数等于对数的积
        • ②
          • ①
          • 商的对数等于对数的差
        • ③
          • ①
          • 幂的乘方取对数，要把指数提到前，特别的
    • 换底公式
      • 公式
      • 推论
      • • 在使用换底公式时，通常根据需要和从简的原则进行换底，一般换成以10或e为底的常用对数或自然对数
        • 换底公式的意义在于改变对数式的底数，以便进行计算和证明
• 对数函数
  • 概念
    • 定义
      • • x是自变量
        • 定义域是（0，+∞）
      • 判断一个函数是不是对数函数
        • 形如
        • 底数a＞0,且a≠1
        • 真数为x，而不是x的表达式
    • 特殊的对数函数
      • 以10为底的对数函数
        • 常用对数函数
          • y=lgx
      • 以无理数e为底的对数函数
        • 自然对数函数
          • y=lnx
  • 图像和性质
    • 底数a对对数函数图像的影响
      • • ①底数的大小决定了图像相对位置的高低，不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，取相同的函数值时，不同图像对应的对数函数的底数自左向右逐渐变大
        • ②两个单调性相同的对数函数，它们的图像在位于直线x=1右侧的部分是“底大图低”
        • ③底数互为倒数的两个对数函数的图像关于x轴对称
  • 与对数函数有关的函数的定义域
    • 的定义域
      • （0，+∞）
    • • f(x)＞0
      • g(x)＞0
      • g(x)≠1
    • • 必须保证每一部分都要有意义
  • 对数式的大小比较
    • ①若底数为同一常数
      • 由对数的单调性直接进行比较
    • ②若底数为同一字母
      • 根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论
      • • 0＜a＜1
        • a＞1
    • ③若底数不同，真数相同
      • 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
      • 也可以画出对数函数的图像，再进行比较
    • ④底数与真数都不同
      • 常借助0,1等中间值进行比较
    • • 方法
        • 作差法
        • 介值法
      • 比较多个数的大小时，常利用“0”和“1”作为分界点
  • 对数单调性的应用
    • 解简单对数不等式
      • • 底数确定
          • 利用单调性求解
        • 底数不确定
          • 分类讨论
      • • 将b化为以a为底的对数形式，再求解
      • • 注意“定义域优先”的原则
    • 对数型复合函数的单调性
      • • 用复合法判定
      • • 由f(x)＞0确定函数的定义域
        • 然后判断t=f(x)在定义域上的单调性
        • 最后结合底数a＞1或0＜a＜1来确定原函数单调性
          • 同增异减
  • 反函数
    • 定义
      • 一般地，函数y=f(x)（x∈A）中，设它的值域为C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出来，得到x=g(y)。如果y在C中的任何取值，通过x=g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，则x=g(y)就表示x是关于自变量y的函数。这样的函数x=g(y)(y∈C)叫做y=f(x)(x∈A)的反函数
    • 性质
      • 函数y=f(x)的定义域、值域分别是它的反函数的值域、定义域
      • 互为反函数的两个函数图像关于直线y=x对称
      • 互为反函数的两个函数的单调性相同
    • • 求反函数的步骤
        • ①求出函数y=f(x)的值域
        • ②由y=f(x)解出x=g(y)
        • ③把x=g(y)改写成y=g(x)，并写出函数的定义域（即原函数的值域）
  • 几类不同增长的函数模型及特点
• 函数的应用（二）
  • 函数的零点
    • 定义
      • 对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
      • • 零点不是点，它是一个具体的实数
    • 方程的解与函数零点的关系
      • 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图像与x轴的公共点的横坐标
  • 函数零点存在定理
    • 存在定理
      • 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内至少有一个零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0
      • • 只能判断出零点的存在性，不能判断出零点的个数
      • 理解
        • ①当函数y=f(x)在(a,b)内有零点且单调时，必只有一个零点
        • ②若函数y=f(x)在[a，b]上不满足f(a)f(b)＜0，则在(a,b)内依然可能有零点
    • 几何意义
      • 在闭区间[a,b]上有一条连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的始点（a,f(a)）与终点（b,f(b)）分别在x轴的两侧，则连续曲线至少与x轴有一个交点
  • 函数零点（个数）的判断方法
    • 直接求零点
      • 令f(x)=0，有几个解就有几个零点
    • 零点的存在性
    • 利用图像交点的个数
      • 对于y=f(x)-g(x)型函数，可以画出两个函数y=f(x)和y=g(x)的图像，看其交点的个数，有几个交点，原函数就有几个零点
  • 二分法
    • 定义
      • 对于在区间[a,b]上图像连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法
    • 用二分法求函数零点
  • 几种常见的函数模型
    • 常见的8种函数模型
      • ①一次函数模型
      • ②反比例函数模型
      • ③二次函数模型
      • ④指数函数模型
      • ⑤对数函数模型
      • ⑥幂函数模型
      • ⑦“勾”函数模型
      • ⑧分段函数模型
    • 解决实际问题的基本步骤
      • ①审题
        • 理解题意
        • 分清条件和结论
        • 理顺其中的数量关系
        • 把握其中的数学本质
      • ②建模
        • 将自然语言转化为数学语言
        • 将文字语言转化为符号语言
        • 利用数学知识，建立相应的模型
      • ③解模
        • 用数学知识和方法解决转化出的实际问题
      • ④还原
        • 回到问题本身，检验结果的实际意义，给出结论