考研数学，高数知识点总结

考研数学，高数知识点总结大纲(全部),主要介绍了函数极限连续,导数与微分,一元函数微分学,不定积分,定积分,无穷级数,多元函数微分学以及微分方程。

数学三 高数

函数 极限 连续

函数

极限

定义

ε-N

ε-δ

ε-Χ

根据定义证明极限

性质

一般性质

唯一

局部有界

保号性

列极限与子列极限的关系

运算性质

四则运算法则

复合运算

存在准则(用来做某一题型)

夹逼定理

单调有界数列必有极限

无穷小性质/运算

加减 乘 常数乘以 常数加 有界函数乘以无穷小 极限加无穷小 无穷小＝无穷小加高阶无穷小 等价无穷小相除＝无穷小相除

无穷小量、无穷大量

两者的关系：倒数

无穷小的比较方法

常见的等价无穷小

两个重要极限

连续

连续

在x＝a处连续条件

在闭区间a,b上连续条件

有界性

介值定理

最值定理

零点定理

四则运算，复合运算

间断

第一类间断点

可去间断点

跳跃间断点

第二类间断点

无穷间断点 (左右极限为无穷，无穷可解出但视为不存在)

振荡间断点 (左右极限不存在，不可解出)

重要不等式

绝对值三角不等式

四个不等式

对数不等式

sinx＜x ln(1+x）＜x

求极限题型

不定型极限

0/0型

1的无穷次方型

无穷/无穷型

无穷-无穷型

无穷的0次方型 0的0次方型

n项和极限

先求和再极限

分子或分母的次数不齐

分子次数齐，分母次数齐 但分子分母次数不一致

极限存在性证明

导数与微分

导数与微分 的基本概念

导数

概念[定义(两个）](用定义法求导数)

可导的条件(左右导数存在且相等)

可导与连续的关系 (若函数在某点可导，则它在这点也连续)

注解4: f(a）＝b

注解5: 奇函数求导后为偶函数，反之亦然

注解6:可导与连续可导的区别

注解7:导数的几何意义

注解8，9(有一个在笔记p2eg3)

高阶导数

定义(表示方法)

求高阶导数方法

归纳法

公式法

微分

定义

可导与可微等价

A＝f(x）导

△y-dy＝△x的高阶无穷小

几何意义

微分用于近似计算

求导公式与法则 (微分同理)

求导公式

导数基本公式 (常数，幂函数 指数函数，对数函数 三角函数，反三角函数)

高阶导数的公式

微分基本公式

求导法则

四则运算法则 (加减乘除以及推论)

莱布尼兹公式

复合运算法则(链式法则)

反函数求导法则(倒数)

隐函数与参 数方程确定 的函数求导

隐函数的导数求得法

参数方程求导(数三不要求)

题型

导数与微分的基本概念

定义

公式

基本求导类型

显函数求导

隐函数求导

参数方程求导

分段函数求导

变积分限函数的导数

导数的几何应用

高阶导数

归纳法

公式法

泰勒公式法

一元函数微分学

中值定理

引导知识

极值点

一阶导数的两种情况(反之不对）

中值定理们

Rolle

定理

图象/证明

Lagrange

定理

图象/证明/辅助函数

等价形式

常用于…

Cauchy

定理

图象/证明/辅助函数

洛必达

定理两种情况

证明

Taylor

证明过程

常见的麦克劳林公式

推广公式

导数零点定理

导数介值定理

泰勒中值定理推广

单调性与极值 凹凸性与拐点 作图

单调性与极值

概念

单调性判别法(反之不对？)

极值点判别方法 (先找驻点)

第一充分条件

第二充分条件

泰勒公式判别法

凹凸性与拐点

基本概念

凹凸

拐点

凹凸判别法

二阶导数判别

三阶导数(？)

渐近线

水平

铅直(一定是间断点)

斜

弧微分与曲率

基本公式

曲率计算公式

函数作图步骤

题型

f(ξ)的n次方＝0证明

需证结论中只有ξ，不含其他字母

还原法

分组构造法

凑微法

需证结论中含ξ，含a,b

a b和ξ可以分离

不可以分离

结论含两个或两个以上中值

结论中只含ξ一阶导和η一阶导

只含ξη，但复杂程度不同

不只含ξη一阶导，两者对应的项完全相等

中值定理关于Θ的问题

Lagrange的两种惯性思维(常用于…

Toylor的常规证明问题

二阶导数保号性问题

不等式证明

利用中值

利用单调性

利用凹凸性

利用最值

函数零点或方程根的个数问题

函数单调性与极值与渐近线

不定积分

概念

原函数

不定积分

基本性质

基本公式 推导

常数

幂函数

指数函数

三角函数

平方和差

积分法

第一类换元积分法(凑微分) 掌握一些凑微分方法p84

第二类换元积分法

无理

平方和差三角代换

分部积分法

先分部再积分

六种情况

特殊函数不定积分

有理函数不定积分

概念

积分方法(两种情形)

无理函数不定积分

三角有理函数不定积分

概念

万能公式法

定积分

概念与性质

产生背景

定义(注解)

一般性质及推广

基本理论

定理一

定理二：牛顿-莱布尼兹

特殊性质

广义积分

积分区间无限的…定义(两个)

积分区间有限的…定义(三个）

敛散性的判别法

Γ函数

几何应用

面积(好几个)

体积(好几个)

微分方程

基本概念

“微分方程”定义

“阶”定义

“微分方程解”的定义

特解

通解

一阶微分方程

可分离变量的微分方程

齐次微分方程

一阶齐次线性微分方程

一阶非齐次线性微分方程

可降阶的高阶微分方程

普通高阶

缺y

缺x

高阶线性微分方程

基本概念

线性无关

f(x）拆成两个

线性组合

解的结构(5个)

常系数齐次线性微分方程

常系数非齐次线性微分方程

型一(＝多项式×指数函数)

型二 (＝指数函数×[多项式×cos+多项式×sin])

多元函数微分学

基本概念

多元函数的极限

多元函数的连续

偏导数(高阶偏导数)

全微分

基本理论

有界闭区域上多元函数的性质

连续、可偏导、可微的关系

证明可微推连续

证明可微推可偏导

证明连续与可偏导不能互推

求偏导的类型

显函数求偏导

复合函数求偏导

情形一

情形二

情形三

隐函数求偏导

一个约束条件

两个约束条件

多元函数微分学的代数应用

无条件极值

条件极值

子主题

二重积分

例子引入概念

二重积分的定义

二重积分的性质

一二三四

5，积分中值定理

6，关于对称的性质

7，绝对值

计算/积分方法

直角坐标系计算二重积分 对于抛物线、椭圆、双曲线等的识别

X型

Y型

极坐标系计算

概念

特征

交换

dσ

直角坐标与极坐标的转换

无穷级数

常数项级数

定义

5个性质

两个重要级数 的判别法

p级数

几何级数

审敛法

正项级数

定义

审敛法

比较审敛法

比较审敛法的极限形式

比值法

根值法

交错级数

定义

莱布尼兹审敛法

绝对收敛与条件收敛

幂级数

基本概念

函数项级数的概念

幂级数

定义

Abel定理

收敛半径与收敛域

幂级数分析性质

逐项可积性

逐项可导性

幂级数展开

直接法

公式法

求和函数

数学三 高数

函数 极限 连续

函数

极限

定义

ε-N

ε-δ

ε-Χ

根据定义证明极限

性质

一般性质

唯一

局部有界

保号性

列极限与子列极限的关系

运算性质

四则运算法则

复合运算

存在准则(用来做某一题型)

夹逼定理

单调有界数列必有极限

无穷小性质/运算

加减 乘 常数乘以 常数加 有界函数乘以无穷小 极限加无穷小 无穷小＝无穷小加高阶无穷小 等价无穷小相除＝无穷小相除

无穷小量、无穷大量

两者的关系：倒数

无穷小的比较方法

常见的等价无穷小

两个重要极限

连续

连续

在x＝a处连续条件

在闭区间a,b上连续条件

有界性

介值定理

最值定理

零点定理

四则运算，复合运算

间断

第一类间断点

可去间断点

跳跃间断点

第二类间断点

无穷间断点 (左右极限为无穷，无穷可解出但视为不存在)

振荡间断点 (左右极限不存在，不可解出)

重要不等式

绝对值三角不等式

四个不等式

对数不等式

sinx＜x ln(1+x）＜x

求极限题型

不定型极限

0/0型

1的无穷次方型

无穷/无穷型

无穷-无穷型

无穷的0次方型 0的0次方型

n项和极限

先求和再极限

分子或分母的次数不齐

分子次数齐，分母次数齐 但分子分母次数不一致

极限存在性证明

导数与微分

导数与微分 的基本概念

导数

概念[定义(两个）](用定义法求导数)

可导的条件(左右导数存在且相等)

可导与连续的关系 (若函数在某点可导，则它在这点也连续)

注解4: f(a）＝b

注解5: 奇函数求导后为偶函数，反之亦然

注解6:可导与连续可导的区别

注解7:导数的几何意义

注解8，9(有一个在笔记p2eg3)

高阶导数

定义(表示方法)

求高阶导数方法

归纳法

公式法

微分

定义

可导与可微等价

A＝f(x）导

△y-dy＝△x的高阶无穷小

几何意义

微分用于近似计算

求导公式与法则 (微分同理)

求导公式

导数基本公式 (常数，幂函数 指数函数，对数函数 三角函数，反三角函数)

高阶导数的公式

微分基本公式

求导法则

四则运算法则 (加减乘除以及推论)

莱布尼兹公式

复合运算法则(链式法则)

反函数求导法则(倒数)

隐函数与参 数方程确定 的函数求导

隐函数的导数求得法

参数方程求导(数三不要求)

题型

导数与微分的基本概念

定义

公式

基本求导类型

显函数求导

隐函数求导

参数方程求导

分段函数求导

变积分限函数的导数

导数的几何应用

高阶导数

归纳法

公式法

泰勒公式法

一元函数微分学

中值定理

引导知识

极值点

一阶导数的两种情况(反之不对）

中值定理们

Rolle

定理

图象/证明

Lagrange

定理

图象/证明/辅助函数

等价形式

常用于…

Cauchy

定理

图象/证明/辅助函数

洛必达

定理两种情况

证明

Taylor

证明过程

常见的麦克劳林公式

推广公式

导数零点定理

导数介值定理

泰勒中值定理推广

单调性与极值 凹凸性与拐点 作图

单调性与极值

概念

单调性判别法(反之不对？)

极值点判别方法 (先找驻点)

第一充分条件

第二充分条件

泰勒公式判别法

凹凸性与拐点

基本概念

凹凸

拐点

凹凸判别法

二阶导数判别

三阶导数(？)

渐近线

水平

铅直(一定是间断点)

斜

弧微分与曲率

基本公式

曲率计算公式

函数作图步骤

题型

f(ξ)的n次方＝0证明

需证结论中只有ξ，不含其他字母

还原法

分组构造法

凑微法

需证结论中含ξ，含a,b

a b和ξ可以分离

不可以分离

结论含两个或两个以上中值

结论中只含ξ一阶导和η一阶导

只含ξη，但复杂程度不同

不只含ξη一阶导，两者对应的项完全相等

中值定理关于Θ的问题

Lagrange的两种惯性思维(常用于…

Toylor的常规证明问题

二阶导数保号性问题

不等式证明

利用中值

利用单调性

利用凹凸性

利用最值

函数零点或方程根的个数问题

函数单调性与极值与渐近线

不定积分

概念

原函数

不定积分

基本性质

基本公式 推导

常数

幂函数

指数函数

三角函数

平方和差

积分法

第一类换元积分法(凑微分) 掌握一些凑微分方法p84

第二类换元积分法

无理

平方和差三角代换

分部积分法

先分部再积分

六种情况

特殊函数不定积分

有理函数不定积分

概念

积分方法(两种情形)

无理函数不定积分

三角有理函数不定积分

概念

万能公式法

定积分

概念与性质

产生背景

定义(注解)

一般性质及推广

基本理论

定理一

定理二：牛顿-莱布尼兹

特殊性质

广义积分

积分区间无限的…定义(两个)

积分区间有限的…定义(三个）

敛散性的判别法

Γ函数

几何应用

面积(好几个)

体积(好几个)

微分方程

基本概念

“微分方程”定义

“阶”定义

“微分方程解”的定义

特解

通解

一阶微分方程

可分离变量的微分方程

齐次微分方程

一阶齐次线性微分方程

一阶非齐次线性微分方程

可降阶的高阶微分方程

普通高阶

缺y

缺x

高阶线性微分方程

基本概念

线性无关

f(x）拆成两个

线性组合

解的结构(5个)

常系数齐次线性微分方程

常系数非齐次线性微分方程

型一(＝多项式×指数函数)

型二 (＝指数函数×[多项式×cos+多项式×sin])

多元函数微分学

基本概念

多元函数的极限

多元函数的连续

偏导数(高阶偏导数)

全微分

基本理论

有界闭区域上多元函数的性质

连续、可偏导、可微的关系

证明可微推连续

证明可微推可偏导

证明连续与可偏导不能互推

求偏导的类型

显函数求偏导

复合函数求偏导

情形一

情形二

情形三

隐函数求偏导

一个约束条件

两个约束条件

多元函数微分学的代数应用

无条件极值

条件极值

子主题

二重积分

例子引入概念

二重积分的定义

二重积分的性质

一二三四

5，积分中值定理

6，关于对称的性质

7，绝对值

计算/积分方法

直角坐标系计算二重积分 对于抛物线、椭圆、双曲线等的识别

X型

Y型

极坐标系计算

概念

特征

交换

dσ

直角坐标与极坐标的转换

无穷级数

常数项级数

定义

5个性质

两个重要级数 的判别法

p级数

几何级数

审敛法

正项级数

定义

审敛法

比较审敛法

比较审敛法的极限形式

比值法

根值法

交错级数

定义

莱布尼兹审敛法

绝对收敛与条件收敛

幂级数

基本概念

函数项级数的概念

幂级数

定义

Abel定理

收敛半径与收敛域

幂级数分析性质

逐项可积性

逐项可导性

幂级数展开

直接法

公式法

求和函数