考研数学，高数知识点总结

考研数学，高数知识点总结大纲(全部),主要介绍了函数极限连续,导数与微分,一元函数微分学,不定积分,定积分,无穷级数,多元函数微分学以及微分方程。

数学三 高数

• 函数 极限 连续
  • 函数
  • 极限
    • 定义
      • ε-N
      • ε-δ
      • ε-Χ
      • 根据定义证明极限
    • 性质
      • 一般性质
        • 唯一
        • 局部有界
        • 保号性
        • 列极限与子列极限的关系
      • 运算性质
        • 四则运算法则
        • 复合运算
      • 存在准则(用来做某一题型)
        • 夹逼定理
        • 单调有界数列必有极限
      • 无穷小性质/运算
        • 加减 乘 常数乘以 常数加 有界函数乘以无穷小 极限加无穷小 无穷小＝无穷小加高阶无穷小 等价无穷小相除＝无穷小相除
    • 无穷小量、无穷大量
      • 两者的关系：倒数
      • 无穷小的比较方法
      • 常见的等价无穷小
      • 两个重要极限
  • 连续
    • 连续
      • 在x＝a处连续条件
      • 在闭区间a,b上连续条件
        • 有界性
        • 介值定理
        • 最值定理
        • 零点定理
      • 四则运算，复合运算
    • 间断
      • 第一类间断点
        • 可去间断点
        • 跳跃间断点
      • 第二类间断点
        • 无穷间断点 (左右极限为无穷，无穷可解出但视为不存在)
        • 振荡间断点 (左右极限不存在，不可解出)
  • 重要不等式
    • 绝对值三角不等式
    • 四个不等式
    • 对数不等式
    • sinx＜x ln(1+x）＜x
  • 求极限题型
    • 不定型极限
      • 0/0型
      • 1的无穷次方型
      • 无穷/无穷型
      • 无穷-无穷型
      • 无穷的0次方型 0的0次方型
    • n项和极限
      • 先求和再极限
      • 分子或分母的次数不齐
      • 分子次数齐，分母次数齐 但分子分母次数不一致
    • 极限存在性证明
• 导数与微分
  • 导数与微分 的基本概念
    • 导数
      • 概念[定义(两个）](用定义法求导数)
      • 可导的条件(左右导数存在且相等)
      • 可导与连续的关系 (若函数在某点可导，则它在这点也连续)
      • 注解4: f(a）＝b
      • 注解5: 奇函数求导后为偶函数，反之亦然
      • 注解6:可导与连续可导的区别
      • 注解7:导数的几何意义
      • 注解8，9(有一个在笔记p2eg3)
    • 高阶导数
      • 定义(表示方法)
      • 求高阶导数方法
        • 归纳法
        • 公式法
    • 微分
      • 定义
      • 可导与可微等价
      • A＝f(x）导
      • △y-dy＝△x的高阶无穷小
      • 几何意义
      • 微分用于近似计算
  • 求导公式与法则 (微分同理)
    • 求导公式
      • 导数基本公式 (常数，幂函数 指数函数，对数函数 三角函数，反三角函数)
        • 高阶导数的公式
      • 微分基本公式
    • 求导法则
      • 四则运算法则 (加减乘除以及推论)
        • 莱布尼兹公式
      • 复合运算法则(链式法则)
      • 反函数求导法则(倒数)
  • 隐函数与参 数方程确定 的函数求导
    • 隐函数的导数求得法
    • 参数方程求导(数三不要求)
  • 题型
    • 导数与微分的基本概念
      • 定义
      • 公式
    • 基本求导类型
      • 显函数求导
      • 隐函数求导
      • 参数方程求导
      • 分段函数求导
      • 变积分限函数的导数
    • 导数的几何应用
    • 高阶导数
      • 归纳法
      • 公式法
      • 泰勒公式法
• 一元函数微分学
  • 中值定理
    • 引导知识
      • 极值点
      • 一阶导数的两种情况(反之不对）
    • 中值定理们
      • Rolle
        • 定理
        • 图象/证明
      • Lagrange
        • 定理
        • 图象/证明/辅助函数
        • 等价形式
        • 常用于…
      • Cauchy
        • 定理
        • 图象/证明/辅助函数
      • 洛必达
        • 定理两种情况
        • 证明
      • Taylor
        • 证明过程
        • 常见的麦克劳林公式
      • 推广公式
        • 导数零点定理
        • 导数介值定理
        • 泰勒中值定理推广
  • 单调性与极值 凹凸性与拐点 作图
    • 单调性与极值
      • 概念
      • 单调性判别法(反之不对？)
      • 极值点判别方法 (先找驻点)
        • 第一充分条件
        • 第二充分条件
        • 泰勒公式判别法
    • 凹凸性与拐点
      • 基本概念
        • 凹凸
        • 拐点
      • 凹凸判别法
        • 二阶导数判别
        • 三阶导数(？)
      • 渐近线
        • 水平
        • 铅直(一定是间断点)
        • 斜
      • 弧微分与曲率
        • 基本公式
        • 曲率计算公式
      • 函数作图步骤
  • 题型
    • f(ξ)的n次方＝0证明
    • 需证结论中只有ξ，不含其他字母
      • 还原法
      • 分组构造法
      • 凑微法
    • 需证结论中含ξ，含a,b
      • a b和ξ可以分离
      • 不可以分离
    • 结论含两个或两个以上中值
      • 结论中只含ξ一阶导和η一阶导
      • 只含ξη，但复杂程度不同
      • 不只含ξη一阶导，两者对应的项完全相等
    • 中值定理关于Θ的问题
    • Lagrange的两种惯性思维(常用于…
    • Toylor的常规证明问题
    • 二阶导数保号性问题
    • 不等式证明
      • 利用中值
      • 利用单调性
      • 利用凹凸性
      • 利用最值
    • 函数零点或方程根的个数问题
    • 函数单调性与极值与渐近线
• 不定积分
  • 概念
    • 原函数
    • 不定积分
    • 基本性质
  • 基本公式 推导
    • 常数
    • 幂函数
    • 指数函数
    • 三角函数
    • 平方和差
  • 积分法
    • 第一类换元积分法(凑微分) 掌握一些凑微分方法p84
    • 第二类换元积分法
      • 无理
      • 平方和差三角代换
    • 分部积分法
      • 先分部再积分
      • 六种情况
  • 特殊函数不定积分
    • 有理函数不定积分
      • 概念
      • 积分方法(两种情形)
    • 无理函数不定积分
    • 三角有理函数不定积分
      • 概念
      • 万能公式法
• 定积分
  • 概念与性质
    • 产生背景
    • 定义(注解)
    • 一般性质及推广
  • 基本理论
    • 定理一
    • 定理二：牛顿-莱布尼兹
    • 特殊性质
  • 广义积分
    • 积分区间无限的…定义(两个)
    • 积分区间有限的…定义(三个）
    • 敛散性的判别法
    • Γ函数
  • 几何应用
    • 面积(好几个)
    • 体积(好几个)
• 微分方程
  • 基本概念
    • “微分方程”定义
    • “阶”定义
    • “微分方程解”的定义
    • 特解
    • 通解
  • 一阶微分方程
    • 可分离变量的微分方程
    • 齐次微分方程
    • 一阶齐次线性微分方程
    • 一阶非齐次线性微分方程
  • 可降阶的高阶微分方程
    • 普通高阶
    • 缺y
    • 缺x
  • 高阶线性微分方程
    • 基本概念
      • 线性无关
      • f(x）拆成两个
      • 线性组合
    • 解的结构(5个)
    • 常系数齐次线性微分方程
    • 常系数非齐次线性微分方程
      • 型一(＝多项式×指数函数)
      • 型二 (＝指数函数×[多项式×cos+多项式×sin])
• 多元函数微分学
  • 基本概念
    • 多元函数的极限
    • 多元函数的连续
    • 偏导数(高阶偏导数)
    • 全微分
  • 基本理论
    • 有界闭区域上多元函数的性质
    • 连续、可偏导、可微的关系
      • 证明可微推连续
      • 证明可微推可偏导
      • 证明连续与可偏导不能互推
    • 求偏导的类型
      • 显函数求偏导
      • 复合函数求偏导
        • 情形一
        • 情形二
        • 情形三
      • 隐函数求偏导
        • 一个约束条件
        • 两个约束条件
  • 多元函数微分学的代数应用
    • 无条件极值
    • 条件极值
    • 子主题
• 二重积分
  • 例子引入概念
  • 二重积分的定义
  • 二重积分的性质
    • 一二三四
    • 5，积分中值定理
    • 6，关于对称的性质
    • 7，绝对值
  • 计算/积分方法
    • 直角坐标系计算二重积分 对于抛物线、椭圆、双曲线等的识别
      • X型
      • Y型
    • 极坐标系计算
      • 概念
        • 特征
        • 交换
        • dσ
      • 直角坐标与极坐标的转换
• 无穷级数
  • 常数项级数
    • 定义
    • 5个性质
    • 两个重要级数 的判别法
      • p级数
      • 几何级数
    • 审敛法
      • 正项级数
        • 定义
        • 审敛法
          • 比较审敛法
          • 比较审敛法的极限形式
          • 比值法
          • 根值法
      • 交错级数
        • 定义
        • 莱布尼兹审敛法
      • 绝对收敛与条件收敛
  • 幂级数
    • 基本概念
      • 函数项级数的概念
      • 幂级数
        • 定义
        • Abel定理
    • 收敛半径与收敛域
    • 幂级数分析性质
      • 逐项可积性
      • 逐项可导性
    • 幂级数展开
      • 直接法
      • 公式法
    • 求和函数

数学三 高数

• 函数 极限 连续
  • 函数
  • 极限
    • 定义
      • ε-N
      • ε-δ
      • ε-Χ
      • 根据定义证明极限
    • 性质
      • 一般性质
        • 唯一
        • 局部有界
        • 保号性
        • 列极限与子列极限的关系
      • 运算性质
        • 四则运算法则
        • 复合运算
      • 存在准则(用来做某一题型)
        • 夹逼定理
        • 单调有界数列必有极限
      • 无穷小性质/运算
        • 加减 乘 常数乘以 常数加 有界函数乘以无穷小 极限加无穷小 无穷小＝无穷小加高阶无穷小 等价无穷小相除＝无穷小相除
    • 无穷小量、无穷大量
      • 两者的关系：倒数
      • 无穷小的比较方法
      • 常见的等价无穷小
      • 两个重要极限
  • 连续
    • 连续
      • 在x＝a处连续条件
      • 在闭区间a,b上连续条件
        • 有界性
        • 介值定理
        • 最值定理
        • 零点定理
      • 四则运算，复合运算
    • 间断
      • 第一类间断点
        • 可去间断点
        • 跳跃间断点
      • 第二类间断点
        • 无穷间断点 (左右极限为无穷，无穷可解出但视为不存在)
        • 振荡间断点 (左右极限不存在，不可解出)
  • 重要不等式
    • 绝对值三角不等式
    • 四个不等式
    • 对数不等式
    • sinx＜x ln(1+x）＜x
  • 求极限题型
    • 不定型极限
      • 0/0型
      • 1的无穷次方型
      • 无穷/无穷型
      • 无穷-无穷型
      • 无穷的0次方型 0的0次方型
    • n项和极限
      • 先求和再极限
      • 分子或分母的次数不齐
      • 分子次数齐，分母次数齐 但分子分母次数不一致
    • 极限存在性证明
• 导数与微分
  • 导数与微分 的基本概念
    • 导数
      • 概念[定义(两个）](用定义法求导数)
      • 可导的条件(左右导数存在且相等)
      • 可导与连续的关系 (若函数在某点可导，则它在这点也连续)
      • 注解4: f(a）＝b
      • 注解5: 奇函数求导后为偶函数，反之亦然
      • 注解6:可导与连续可导的区别
      • 注解7:导数的几何意义
      • 注解8，9(有一个在笔记p2eg3)
    • 高阶导数
      • 定义(表示方法)
      • 求高阶导数方法
        • 归纳法
        • 公式法
    • 微分
      • 定义
      • 可导与可微等价
      • A＝f(x）导
      • △y-dy＝△x的高阶无穷小
      • 几何意义
      • 微分用于近似计算
  • 求导公式与法则 (微分同理)
    • 求导公式
      • 导数基本公式 (常数，幂函数 指数函数，对数函数 三角函数，反三角函数)
        • 高阶导数的公式
      • 微分基本公式
    • 求导法则
      • 四则运算法则 (加减乘除以及推论)
        • 莱布尼兹公式
      • 复合运算法则(链式法则)
      • 反函数求导法则(倒数)
  • 隐函数与参 数方程确定 的函数求导
    • 隐函数的导数求得法
    • 参数方程求导(数三不要求)
  • 题型
    • 导数与微分的基本概念
      • 定义
      • 公式
    • 基本求导类型
      • 显函数求导
      • 隐函数求导
      • 参数方程求导
      • 分段函数求导
      • 变积分限函数的导数
    • 导数的几何应用
    • 高阶导数
      • 归纳法
      • 公式法
      • 泰勒公式法
• 一元函数微分学
  • 中值定理
    • 引导知识
      • 极值点
      • 一阶导数的两种情况(反之不对）
    • 中值定理们
      • Rolle
        • 定理
        • 图象/证明
      • Lagrange
        • 定理
        • 图象/证明/辅助函数
        • 等价形式
        • 常用于…
      • Cauchy
        • 定理
        • 图象/证明/辅助函数
      • 洛必达
        • 定理两种情况
        • 证明
      • Taylor
        • 证明过程
        • 常见的麦克劳林公式
      • 推广公式
        • 导数零点定理
        • 导数介值定理
        • 泰勒中值定理推广
  • 单调性与极值 凹凸性与拐点 作图
    • 单调性与极值
      • 概念
      • 单调性判别法(反之不对？)
      • 极值点判别方法 (先找驻点)
        • 第一充分条件
        • 第二充分条件
        • 泰勒公式判别法
    • 凹凸性与拐点
      • 基本概念
        • 凹凸
        • 拐点
      • 凹凸判别法
        • 二阶导数判别
        • 三阶导数(？)
      • 渐近线
        • 水平
        • 铅直(一定是间断点)
        • 斜
      • 弧微分与曲率
        • 基本公式
        • 曲率计算公式
      • 函数作图步骤
  • 题型
    • f(ξ)的n次方＝0证明
    • 需证结论中只有ξ，不含其他字母
      • 还原法
      • 分组构造法
      • 凑微法
    • 需证结论中含ξ，含a,b
      • a b和ξ可以分离
      • 不可以分离
    • 结论含两个或两个以上中值
      • 结论中只含ξ一阶导和η一阶导
      • 只含ξη，但复杂程度不同
      • 不只含ξη一阶导，两者对应的项完全相等
    • 中值定理关于Θ的问题
    • Lagrange的两种惯性思维(常用于…
    • Toylor的常规证明问题
    • 二阶导数保号性问题
    • 不等式证明
      • 利用中值
      • 利用单调性
      • 利用凹凸性
      • 利用最值
    • 函数零点或方程根的个数问题
    • 函数单调性与极值与渐近线
• 不定积分
  • 概念
    • 原函数
    • 不定积分
    • 基本性质
  • 基本公式 推导
    • 常数
    • 幂函数
    • 指数函数
    • 三角函数
    • 平方和差
  • 积分法
    • 第一类换元积分法(凑微分) 掌握一些凑微分方法p84
    • 第二类换元积分法
      • 无理
      • 平方和差三角代换
    • 分部积分法
      • 先分部再积分
      • 六种情况
  • 特殊函数不定积分
    • 有理函数不定积分
      • 概念
      • 积分方法(两种情形)
    • 无理函数不定积分
    • 三角有理函数不定积分
      • 概念
      • 万能公式法
• 定积分
  • 概念与性质
    • 产生背景
    • 定义(注解)
    • 一般性质及推广
  • 基本理论
    • 定理一
    • 定理二：牛顿-莱布尼兹
    • 特殊性质
  • 广义积分
    • 积分区间无限的…定义(两个)
    • 积分区间有限的…定义(三个）
    • 敛散性的判别法
    • Γ函数
  • 几何应用
    • 面积(好几个)
    • 体积(好几个)
• 微分方程
  • 基本概念
    • “微分方程”定义
    • “阶”定义
    • “微分方程解”的定义
    • 特解
    • 通解
  • 一阶微分方程
    • 可分离变量的微分方程
    • 齐次微分方程
    • 一阶齐次线性微分方程
    • 一阶非齐次线性微分方程
  • 可降阶的高阶微分方程
    • 普通高阶
    • 缺y
    • 缺x
  • 高阶线性微分方程
    • 基本概念
      • 线性无关
      • f(x）拆成两个
      • 线性组合
    • 解的结构(5个)
    • 常系数齐次线性微分方程
    • 常系数非齐次线性微分方程
      • 型一(＝多项式×指数函数)
      • 型二 (＝指数函数×[多项式×cos+多项式×sin])
• 多元函数微分学
  • 基本概念
    • 多元函数的极限
    • 多元函数的连续
    • 偏导数(高阶偏导数)
    • 全微分
  • 基本理论
    • 有界闭区域上多元函数的性质
    • 连续、可偏导、可微的关系
      • 证明可微推连续
      • 证明可微推可偏导
      • 证明连续与可偏导不能互推
    • 求偏导的类型
      • 显函数求偏导
      • 复合函数求偏导
        • 情形一
        • 情形二
        • 情形三
      • 隐函数求偏导
        • 一个约束条件
        • 两个约束条件
  • 多元函数微分学的代数应用
    • 无条件极值
    • 条件极值
    • 子主题
• 二重积分
  • 例子引入概念
  • 二重积分的定义
  • 二重积分的性质
    • 一二三四
    • 5，积分中值定理
    • 6，关于对称的性质
    • 7，绝对值
  • 计算/积分方法
    • 直角坐标系计算二重积分 对于抛物线、椭圆、双曲线等的识别
      • X型
      • Y型
    • 极坐标系计算
      • 概念
        • 特征
        • 交换
        • dσ
      • 直角坐标与极坐标的转换
• 无穷级数
  • 常数项级数
    • 定义
    • 5个性质
    • 两个重要级数 的判别法
      • p级数
      • 几何级数
    • 审敛法
      • 正项级数
        • 定义
        • 审敛法
          • 比较审敛法
          • 比较审敛法的极限形式
          • 比值法
          • 根值法
      • 交错级数
        • 定义
        • 莱布尼兹审敛法
      • 绝对收敛与条件收敛
  • 幂级数
    • 基本概念
      • 函数项级数的概念
      • 幂级数
        • 定义
        • Abel定理
    • 收敛半径与收敛域
    • 幂级数分析性质
      • 逐项可积性
      • 逐项可导性
    • 幂级数展开
      • 直接法
      • 公式法
    • 求和函数