高等数学知识导图上

高等数学知识完整版分享！高等数学复习有这一张思维导图就够了，下图根据根据宋浩老师出的高等数学讲义自行整理，内容包括函数、极限、求导与微分、中值定理及导数的应用以及积分。

高等数学（上）

• 函数
  • 反三角函数
• 极限
  • 数列极限（内容见宋浩P24-29）
    • 题（宋浩P29 4、5）
  • 函数的极限
    • 认识极限
      • 自变量x趋向无穷
      • 自变量x趋向常数
        • 小考点：分段函数求极限（题见宋浩P34-35）
      • 极限的性质
        • 唯一性
          • 判断某个变化过程的极限是否存在
        • 局部有界
          • 典例宋P38-39
        • 局部保号
      • 无穷小与无穷大
        • 性质应用于求极限（题见宋P44和P48）
      • 渐近线（见宋P49-53）
        • 水平
        • 铅锤
        • 斜
    • 极限的运算法则
      • 一般函数运算法则的应用
        • 小难点
          • 极限商运算分母为零或分子分母为零
          • • 多项式之比（题见宋P58）
      • 复合函数的极限运算（题见宋P61）
        • 常规
        • 幂指函数
      • 极限运算的其他应用（见宋P63-65）
        • 等差等比求和公式
        • 有理化
        • 求参数
    • 两个重要极限的应用
      • 第一类应用小考点（题见宋P71-73）
        • 涉及反三角函数
        • 无“口”时
        • 无“sin”时
      • 第二类应用小考点（题见宋P74-75）
        • 无+
        • 无典式
    • 无穷小的比较
      • 无穷小的阶
      • 等价无穷小的应用（题见宋P81-84）
    • 函数连续性与间断点
      • 认识连续与间断点（题见宋P87-91）
        • 理解并判定连续
        • 理解并判定间断及其种类
      • • 连续函数的运算法则（见宋95-96）
          • 虽然内容较为简单，但在随后理解“零点定理”做法归纳以及“中值定理”做法归纳中的“连续”部分起到关键作用
        • 初等函数的连续性（见宋97-98）
          • 理解有些函数不需要过多处理就可以快速求出其极限（基础中的基础）
      • 闭区间上连续函数的应用（题见宋P101-103）
        • 性质
          • 有界性、最值性、介值性
          • 介值定理
          • 零点（存在）定理
        • 零点定理的应用
          • “构造”思想，创造应用定理的条件
        • 介值定理的应用
• 求导与微分
  • 导数的本质（见宋P119-128）
    • 导数概念与定理，与极限的关系
      • 小考点：利用导数定义式求极限
    • 导数的几何
    • 可导与连续的关系
  • 求导数
    • 基本导数公式：一切求导的根基
    • 和差积商基本法则
    • 求导的进阶
      • 反函数求导(题见宋P135-136）
      • 复合函数求导（题见宋P137-140）
        • 小难点：多层复合函数求导（P138例11）以及幂指恒等式的应用
      • 高阶求导（见宋P148-152）
      • 隐函数求导（题见宋P156-158）
        • 常规
        • 求隐函数的二阶导
        • 隐函数求切线方程
      • 对数法求导（题见宋P160-162）
        • 幂指函数
        • 复杂函数
      • 参数方程求导（题见宋P163-165）
  • 微分初体验
    • 微分的定义和几何意义
    • 微分的计算公式和运算法则
    • 微分，可导，连续的关系
• 中值定理及导数的应用（大概率考大题）
  • 中值定理：反应函数与导数的关系
    • 罗尔定理（题见宋P188-189）
      • 构造思想：关键在于结合题目构造出“端点值相等”
    • 拉格朗日定理(题见宋P190-191）
      • 应用拉格朗日推论做题
      • “君子善假于物”法
    • 柯西定理（题见宋P192）
  • 洛必达法则（题见宋P194-204）
    • 时刻注意还能不能用
    • 不定式的种类
      • 常规
      • 其它不定式
  • 泰勒公式
  • 基于导数的函数研究
    • 函数的单调性
    • 函数图像的凹凸性与拐点
    • 函数的极值
    • 函数的最值
    • 函数图像的绘制
• 积分（重难点）
  • 原函数（见宋P232-233）
  • 不定积分
    • 概念：导函数的所有原函数
    • 性质（题见宋P239-240）
    • 求不定积分：就是求导的逆运算
      • 直接法求不定积分（题见P244例12-13）
        • 1、结合计算性质以及概念
        • 2、结合基本积分公式（记住啊）
        • 3、遵守原则：要将被积函数化成和差形式
        • 非单纯计算的实际应用（题见宋P246例14-15）
      • 求复杂的不定积分（难点）：这几类方法的究极目的都是将被积表达式转化成可以用直接法解决的形式
        • 换元积分法
          • 第一类换元法：核心是凑微分，从而找换元函数
            • 目的与思路
            • 应用的时机
            • 主关键：怎么凑？
          • 第二类换元法：核心是直接在被积函数中找换元函数
            • 目的与思路
            • 应用的时机
            • 主关键：怎么找？
            • 次关键：怎么换回来？
        • 分部积分法：核心也是凑微分，只不过要找准是谁来凑
          • 应用的时机
          • 主关键1：找谁来当V’（X）？
          • 主关键2：方便快捷地凑微分？
          • 次关键：见笔记
        • 有理函数的不定积分
  • 定积分
    • 概念
      • 定义
      • 积分上限b，积分下限a
      • 积分区间[a，b]
      • 定积分只与积分变量、被积函数有关
    • 几何意义：曲面梯形的面积
      • 在理解定积分性质有很大作用
    • 性质
      • 积分上限b与积分下限a相同时
      • 积分下限a比积分上限b要大时
      • 线性性质
      • 积分区间的可加性
      • 1的定积分
      • 定积分的符号和被积函数保持一致
      • 推论5.1:在积分区间上比较被积函数，从而比较定积分大小
      • 估值定理
      • 积分中值定理
        • 注：平均值
    • 求定积分
      • 定积分基本公式
        • 积分上限函数的求导方法
          • 前提：x是积分上限！（注意别看错）
          • 简而言之，t换成x即可
          • 补充
            • x在积分下限时
            • 积分上限x是函数式时
            • 积分上、下限都是函数时
        • 牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理）
          • 解释了定积分与不定积分的关系，使我们可以利用求不定积分的方法计算定积分
          • 利用求不定积分的方法求出原函数F（x），便迎刃而解
          • 小考点
            • 涉及被积函数绝对值
              • 核心：给积分区间分段
            • 涉及分段函数
      • 定积分换元法
        • 根式代换（本质上和第二换元法没有区别）
        • 三角代换（本质上和第二换元法没有区别）
        • 灵活变化
        • 根据取值范围给被积函数
        • 奇偶法
      • 定积分分部积分法
• 后面章节习得的解决极限运算的方法
• 题型归纳
  • 幂函数
  • 子主题
  • 子主题
• 题型归纳
  • 根式代换（宋P269例7）
  • 三角代换（宋P270例8）
  • 倒代换（宋P274例9）
  • 指数代换（宋P275例10）
• 题型归纳
  • 宋P258例2（相对常规的凑）
  • 宋P259-P261（向着涉及反三角函数的基本积分公式凑微分，并总结出三套针对性的公式，可直接应用）
  • 宋P261-P263（涉及三角函数）
• 解决应用题（必考一大题）
• ”凑“
• 难点：幂指恒等式在求极限与求导中的应用
  • 求极限
    • 幂指函数形式的不定式求极限（洛必达）
  • 求导
    • 幂指函数类型的复合函数求导（也可以用对数求导法）
• 解决“不定式”极限运算问题