导图社区 考研高等数学基础篇武忠祥第一章函数极限连续思维导图
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第一章 函数 极限 连续
第一节 函数
一、函数的概念与常见函数
1. 函数
y=f(x)
定义域、对应规则相同——同一函数
2. 复合函数
内层值域与外层定义域要有交集
3. 反函数
不是每个函数都有反函数。一一映射
单调函数一定有反函数,但反之不然。
4. 初等函数
基本初等函数
幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
反三角函数
初等函数
二、函数的性质
1. 单调性
单调性定义
一阶导数的正负
2. 奇偶性
3. 周期性
4. 有界性
三、常考题型与典型题型
1. 函数有界性、单调性及奇偶性的判定
第二节 极限
一、极限的概念
1. 数列的极限
2. 函数的极限
自变量趋于无穷大时函数的极限
自变量趋于有限值时函数的极限
需分左右极限
分段函数在分界点处的极限,分界点两侧函数表达式不同(带有绝对值的函数)
二、极限的性质
1. 有界性
2. 保号性
数列
极限值推数列值 </>
数列值推极限值
函数同
3. 极限值与无穷小之间的关系
三、极限的存在准则
1. 夹逼准则
多用于求n项和的数列极限
2. 单调有界准则
单调增有上界;单调减有下届。多用于求递推关系上。
四、无穷小量
1. 无穷小量的概念
极限为0
2. 无穷小的比较
谁倾向于0的速度快
高阶
0
低阶
同阶
等价
无穷小的阶
3. 无穷小的性质
有限个无穷小的和=无穷小
有限个无穷小的积=无穷小
无穷小量×有界量=无穷小
五、无穷大量
1. 无穷大量的概念
无穷
2. 常用的一些无穷大量的比较
3. 无穷大量的性质
两个无穷大量的积=无穷大量
无穷大量+有界变量=无穷大量
4. 无穷大量与无界变量的关系
无穷大量 n>N;无穷大量——>无界变量
5. 无穷大量与无穷小量的关系
互为倒数
六、常考题型与典型题型
1. 极限的概念、性质与存在准则
2. 求极限方法(8种)
(1) 基本极限
常用的基本极限
型极限常用结论
(2) 等价无穷小代换
1||| 代换原则
乘除关系
加减关系
2||| 常用等价无穷小
(3) 有理运算法则
两函数有极限,和差积商有极限
极限非零因子先求出
(4) 洛必达法则
(5) 泰勒公式
(6) 夹逼准则
(7) 定积分定义
多用于求n项和;找到积分区间和被积函数
3. 无穷小量阶的比较
第三节 函数的连续性
一、连续性概念
二、间断点及其分类
第一间断点(左右极限存在)
可去间断点(存在且相等)
跳跃间断点(存在但不等)
第二间断点(左右极限至少一个不存在)
振荡间断点(左右极限不存在)
三、连续性的运算与性质
基本初等函数 定义域内
初等函数 定义区间
四、闭区间上连续函数的性质
最值定理
有界性定理
界值定理
零点定理
五、常考题型与典型题型
1. 讨论函数连续性及间断点的类型
一般间断点为没有定义的点,然后一个个判断
给的是极限求间断点,先求极限找表达式
2. 有关区间上连续函数性质的证明题