考研高数：函数与极限学习笔记思维导图

考研党必看！数学理论知识点不重要？才不是！梳理好知识点，才能更好的理解基础内容，解题思路更清晰！下图考研高数第一章相关内容，包括函数、极限与连续。快来好好过一遍知识点吧！

第一章 函数与极限

• 映射与函数
  • 映射
    • 映射的 定义 f ： X ～ Y 或 f （ x ） =y
      • 映射组成三要素 定义域 值域 对应法则
      • 原像可以不是唯一的但是像一定是 唯一 的
    • 映射的分类
      • 单射
      • 满射
      • 双射（一一映射） 同时 满足单射和满射
      • 逆映射
        • 原映射必须是单射
      • 复合映射
        • f 。 g g 的值域一定包含在 f 的定义域内
  • 函数
    • 函数的 概念 实数集 X 到实数集 Y 的映射称为定义在 X 上的函数 记为 y=f （ x ）
      • 定义域与值域是数集 函数是特殊的映射
      • 使法则成立的定义域叫自然定义域
    • 函数的 特性
      • 有界性
        • 上界 下界
      • 单调性
        • 单增单减
      • 奇偶性
        • 奇，偶，非奇非偶
      • 周期性
        • 周期指最小正周期
    • 特殊函数
      • 逆函数
        • 原函数要满足是单调函数
      • 复合函数
        • 括号内函数值域包含在外函数定义域中
      • 特殊函数举例
        • 符号函数 sgnx
        • 狄利克雷函数
          • 是周期函数但是 没有最小正周期
    • 函数的运算 要注意参与运算的函数定义域要有交集
    • 基本初等函数
      • 幂函数
      • 由这五个基本初等函数四则运算和有限次函数复合组成并且可以用 一个式子 表示 的函数叫初等函数
        • 举例
          • 双曲余弦 双曲正弦
      • 指数函数
      • 对数函数
      • 三角函数
      • 反三角函数
• 函数的极限
  • 函数极限的定义 在自变量的某一变化过程中，如果对应函数值无限趋近一个确定的数值，那么称这个数值是函数的极限。
    • limf （ x ） =A （ x ➡️ xo ） ～任意 s 大于 0 ，存在 h 大于 0 使 x 满足 Ix-xo Ｉ大于 0 小于 h 时，有Ｉ f （ x ） -A Ｉ小于 s 成立
      • 题型
        • 给出函数的极限，证明极限存在 考察函数极限的定义，找到存在的 h
  • 函数极限的性质
    • 函数极限的 唯一性
    • 函数极限的 局部 保号性
      • 若函数极限存在且为 A 大于 0 ，那么存在常数 h 大于 0 ，使 x 满足 Ix-xo Ｉ大于 0 小于 h 时，有 f （ x ）大于 0
    • 函数极限的 局部 有界性
    • 函数极限不存在是指极限不确定， ∞ 就是一种情况
  • 函数极限的类
    • 左极限
    • 函数极限存在的充要条件是左极限和右极限分别存在且相等
      • 题型
    • 右极限
• 无穷大与无穷小
  • 无穷小
    • 无穷小与函数极限的关系 函数极限存在且为 A 的充要条件是当 x 趋近 xo 时函数值为 A+h ， h 就是无穷小
  • 无穷大
    • 无穷大的倒数是无穷小
• 极限运算法则
• 极限存在准则 两个重要极限
  • 判断极限存在的准则 I 夹逼准则
  • 准则 II 单调有界数列必有极限
  • 柯西极限存在准则
    • ？？？？
• 数列的极限
  • 数列的概念 按照某一法则对每一个 n 都有对应的实数 Xn 存在，这些实数按照下标 n 从小到大排列得到的序列就叫做数列，即元素为法则，实数列。
  • 数列极限的定义 limXn=a （ n ➡
    • 题型
      • 证明数列极限极限为 a ，重点是通过定义 找出存在的 N 去满足极限存在的条件。
  • 收敛数列的性质
    • 收敛数列极限的唯一性
      • 数列收敛则极限唯一
        • 题型
          • 证明数列发散，假设数列收敛
    • 收敛数列的有界性
      • 数列收敛必定有界，有界数列不一定收敛。如数列 1 -1 1 -1 1 -1…… （考察有界性的充分条件等）
    • 收敛数列的保号性 数列是 局部保号
      • 数列收敛且若极限 a 大于 0 则存在 N 使得 n 大于 N 时有 Xn 大于 0 成立（小于 0 同理）
        • 推论 若数列从某一项 n 开始 Xn 大于 0 且数列极限存在且为 a ，则极限 a 大于 0
    • 收敛数列与其子数列的关系
      • 数列收敛于 a ，那么它的任意子数列也收敛于 a ， 另外 ，一个发散数列的子数列可能收敛，也可以考充要条件
• 函数的连续性与间断点
  • 函数的连续性
    • 定义 设函数在点 xo 处有定义，如果 limf （ x ） x 趋近 xo 时函数值是 f （ xo ） ，那么就说函数在这个点连续。
      • 绝对值不等式 证明原函数在某点连续那么其绝对值的函数也在这个点连续
  • 函数的间断点
    • 函数间断点存在有三种情况
    • 第一类间断点
      • 可去间断点
      • 跳跃间断点
    • 第二类间断点
      • 无穷间断点
      • 振荡间断点
        • 1/x在正负半轴当x趋向0时分别趋向正无穷与负无穷，则sin（1/x）在增大减小时就在1、-1跳变，故极限不存在
• 连续函数的运算与初等函数的连续性
  • 连续函数的四则运算的连续性
  • 反函数与复合函数的连续性
  • 初等函数的连续性
• 闭区间 上连续函数的性质
  • 有界性与最大值最小值
  • 零点定理
  • 题型
  • 介值定理
  • 一致连续性
    • 在闭区间上连续的函数在开区间一定一致连续，反之不然
    • 如 1/x 函数取不到 0 则不可能满足定义，不能总找到两个值无限趋近。
    • 一致连续是对于定义域的子集而言，而连续性可以说是对具体的点而言的
• 利用这个结论考察复合函数的连续性
• 构造函数 ，可以把介值定理也可能转换成零点定理，从而现象更明显。
• 无穷小的比较
  • 高阶无穷小
  • 考察常用的等价无穷小
  • 低阶无穷小
  • 同阶无穷小
  • 等价无穷小
  • k 阶无穷小