张宇高等数学

张宇高等数学，汇总了 极限、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、二重积分、微分方程的知识，大家也可以用于备考复习。

张宇高等数学

第一章 极限

1.函数极限的定义及使用

1.是个常数

1.导数值,偏导数值,定积分值,二重积分值都是常数

在等式中都可令为A

2.唯一性

3.局部有界性

4.局部保号性

1.由极限保函数→严格保号,由函数保极限→不严格保号

5.等式脱帽法

1.f(x)=A+α

极限不好算时(有未知量): 可直接将极限转化为函数

2.函数极限的计算

1.化简先行

2.洛必达法则

1.结果必须是0,c,∞,否则失效

2.f'(x)/g'(x)的极限存在,是法则成立的条件之一,极限不存在,并不代表原式的极限不存在

1.看到sin(1/x)特别注意

3.泰勒公式

4.无穷小比阶

3.函数极限的存在性

1.具体型

若洛必达法则失效,用夹逼定理

2.抽象型

单调有界准则

4.函数极限的应用

1.连续与间断

5.数列极限的定义及使用

1.是常数

2.唯一性

3.有界性

4.保号性

5.收敛的充要条件

所有子列均收敛与A

6.数列极限的存在性及计算

1.归结原则(变量连续化)

将n→∞直接换为x→∞: 数列存在,子列必存在

2.直接计算法

对表达式恒等变形

3.定义法(先斩后奏)(没考过)

1.思想

1.草稿纸上: 假设存在记为A,先求出极限

2.正式: 求|Xn+1-A|,将具体表达式代入,进行各种放缩工作

0.放缩最重要就是找想放缩量的范围

1.若为三角函数:和差化积公式

1.cos-cos=-2sin sin

2.若为平方:平方差公式,保留相减项

3.最后得到:|Xn+1-A|<a|Xn-A|(0<a<1)

4.再不断地递减放缩得到:|Xn+1-A|<aⁿ|X1-A|→0,所以n→∞时,极限→A

4.单调有界准则

0.重要结论

1.设数列A(n+1)=f(An),令y=f(x),若f'(x)>0

1.当a1<a2时,{An}单调递增

2.当a1>a2时,{An}单调递减

可用数学归纳法证明

1.两种证法

1.用已知不等式

1.任意x≥0: sinx≤x

2.任意x: e^x≥x+1

3.任意x>0: x-1≥lnx,x≥ln(x+1)

4.任意a>0,b>0: 根号ab≤a+b/2 (a+b为常数)

2.题设给出条件来推证

2.数列Xn单调

两种情况: 单调有界/单调无界

可假设有界,令极限为A,求出极限,若矛盾则无界→∞

3.证单调性

1.得到X(n+1)-Xn与Xn-X(n-1)关系 →两者同号,数列单调

5.夹逼准则

6.综合题总结

1.用导数综合

2.用积分综合

3.用中值定理综合

4.用方程(列)综合

5.用区间(列)综合(没考过)

6.用极限综合

补:递推公式的画法;Xn+1=ln(1+Xn)

先画出y=ln(1+x)的图像,再画出y=x的图像,在图1中任取a1,其纵坐标值即为a2,在图2中找到相同值,其横坐标值也为a2,继续在图1中找a2的纵坐标即为a3,重复下去,可看出极限是否趋向一定值,根据推导的过程也可判断数列是否单调,选择对应方法

第二章 一元函数微分学

1.导数定义

1.抽象函数在一点

1.与极限结合时: 可直接用脱帽法求出抽象函数表达式,不用计算极限

2.分段函数(含绝对值)在分段点

3.四则运算中的特殊点

1.太复杂的点

1.函数由两部分组成: 若一部分用公式方便,一部分用定义法方便,可分开求再相加

2.函数为若干项乘积: 先找到代入点后为0的项(其余不为0),将函数分为两部分乘积再求导,其中一项为0,只剩一项

2.不成立的点

2.公式求导时必须在成立的点处成立,不成立的点需要单独用定义法再求

2.导数计算

1.多项乘除,开方,乘方

对数求导法

2.高阶导数

1.归纳法

1.复杂函数的高阶导

可先求一两阶导数试一下,若能转化为乘积=常数,可用莱布尼兹公式展开(此时不用展开n阶)

arctanx

2.莱布尼兹公式

3.展开式(十个)(求具体阶导数)

若所求点为k≠0,展开时X0必须取k,对于要展开的项也应该先向(x-k)的形式凑

3.导数的几何应用

1.研究对象

1.祖孙三代

2.分段函数(含绝对值)

3.参数方程

4.隐函数

2.研究内容

1.切线,法线,截距

1.与x轴的截距就是x的坐标,可正可负

2.极值,单调

3.拐点,凹凸

1.凹凸性推广

f''(x)≥0时: 任意λ₁,λ₂∈(0,1)且λ₁+λ₂=1 →λ₁f(x₁)+λ₂f(x₂)≥f(λ₁x₁+λ₂x₂)

f(0)(1-x)+f(1)x≥f(x)

通常x₁故意取0,λ₁取x,不像凹曲线定义

2.凹凸性应用

1.f(x)=(x-1)(x-2)²(x-3)³(x-4)^4,问(1/2/3/4,0)哪个是拐点

1.直接求二阶导数不好求,利用凹凸性定义,比较f(x₁+x₂/2)与f(x₁)+f(x₂)/2的大小

2.对于(2,0)点,可以取3/2和2 与 5/2和2分别代入上式比较大小,分别求出两边的 凹凸性,不一致为拐点

2.f''(x)>0 →f(x)>f(xo)+f'(xo)(x-xo)

1.证明: 利用泰勒展开式到二阶,放缩后即可证明

2.

1.特点: 两边的运算完全相同,只有次序不同

2.将f(x)在[0,1]的积分视为常数=to,左边相当于lnx将to代入

3.构造辅助函数h(x)=lnx,二阶导<0,利用前面的性质

4.下面就是将不等式向右边凑近,将x用f(x)替换,再将整个不等式在[0,1]上积分

5.此时不等式的左边变为题目的右边,不等式右边括号里的x经过变化后正好是 f(x)在[0,1]的积分=to,将一阶导消去,剩下的h(to)正好就是题目的左边,得证

3.f(k₁x₁+k₂x₂+...+knxn)≤k₁f(x₁)+...+knf(xn)

1.条件: f''(x)>0,ki>0,k₁+k₂+...+kn=1

2.同样将左边括号内看做一个数=to,二阶导>0,利用前面性质得到不等式

3.同样将不等式向题目右边配凑,得到n个不等式

4.将n个不等式相加后,左边变为题目右边,右边根据已知正好将一阶导消去,剩下的为题目左边

4.渐近线

5.最值(值域)

6.曲率

4.中值定理

5.不等式问题

0.注意点

1.首先判断f(x)的奇偶性/周期性,缩减区间(含有ln时特别注意)

1.ln(1+x/1-x)=g(x)-g(-x)为奇函数

2.

2.求导时

1.可将>0的因子去掉,对剩下部分再求导

2.将特别明显的与1的关系放缩掉: 1+f²(x),1+x²/1-x²

3.求导前

1.首先判断是否满足朗格朗日的形式(常考)

2.所有除法转化为乘法,方便求导

1.题型

1.含参数的函数

1.导数中不含参 →最值中含参 →k取值确定位置关系

2.导数中含参 →k取值定单调 →最值不含参

2.方法

1.用单调性

2.用最值

3.用凹凸性

1.题型

1.两端点值相同,能确定二阶导数符号

4.用拉格朗日中值定理

1.题型

1.证明连续不等式且前后结构类似

前后可能为求导后代入端点值的结果

2.含有分式,分子分母结构类似

5.用柯西中值定理

1.条件: 满足柯西定理条件,且x∈(a,b)时,F'(x)/G'(x)≥A

6.用带有拉格朗日余项的泰勒公式

1.条件: F''(x)存在且>0或更高阶存在

7.常数变异法

1.题型

1.式子中全都是常数,令b=x(注意x>a)

2.含有积分时,积分上下限全是常数

6.等式问题(方程的根,函数的零点)

1.理论依据

1.零点定理及其推广

区间(a,b),极限值A,B,可以是有限数,也可以是无穷大

2.用导数工具研究函数形态

需要求三阶以上且形式复杂,要转换思路

3.罗尔定理的推广

若f的n阶导=0最多有k个根,则f(x)=0最多有k+n个根

4.实系数奇次方程最少有一个根

2.考法

1.证明恒等式

f'(x)=0 →f(x)恒等于c,令x=xo →f(xo)=c

2.函数的零点个数(方程根的个数,曲线交点的个数)

3.方程列问题

4.区间列问题

见第一章

7.物理应用

1.以"A对B的变化率"为核心: dA/dB

第三章 一元函数积分学

1.概念与性质

1.祖孙三代的奇偶性,周期性

1.f(x)以T为周期,且f(x)在(0,T)的积分=0

f(x)的积分上限函数才是以T为周期的函数

2.积分比大小

1.看出正负,如(π,2π)上,sinx<0

不用换元,与sinx有关时,在任何区间上都可以直接判断正负

2.作差,再换元,常用x=π±t,x=π/2±t

3.相同区间时,只看函数的大小,与区间的范围无关

3.定积分定义

1.基本型(能凑成i/n,提出1/n)

1.从1加到n,转化为(0,1)上的积分,i/n直接换成x

2.从1加到2n,转化为(0,2)上的积分,i/n直接换成x

2.放缩型(不能凑成i/n)

1.夹逼定理: n²+i

2.放缩后再凑成i/n

1.(i/n)² < i²+1/n² < (i+1/n)²

3.变量型(凑成xi/n,提出x/n)

转化为(0,x)上的积分,xi/n直接换成t,其他部分不变

4.注意

1.有时前面给的不是1/n,而是sin(1/n)

用等价无穷小替换

4.反常积分的敛散性

1.题型

1.当分母为两式相加时,讨论x的趋向后,收敛性由大的那个数决定(比较大小)

注意与等价无穷小比阶的区别

2.sinx与cosx在(0,π/2)上与x具有相同的敛散性

sinx与x等价无穷小,而cosx与sinx关于x=π/4对称,同敛散性

3.1/xlnⁿx在(2,+∞)的敛散性 与1/xⁿ在(1,+∞)的敛散性相同

在n>1时收敛

n≠1时,积分= 1/(1-n)·(lnx)^(1-n),显然n>1时,lnx收敛

4.1/(x^a)(lnx^b)在(1,+∞)上收敛 →b<1,a>1

0.先将区间划分为(1,2)和(2,+∞)

1.x→1时,lnx与x同敛散性 →b<1

2.由3知:a=1发散

3.0<a<1,x^a < x,也发散(小的发散,大的发散)

4.a>1,lnx^b >1(大的收敛,小的也收敛)

用比较判别法

2.注意

1.做大题,有瑕点时

在瑕点处一定写成极限的形式: ε→0﹢或+∞

5.一些定理T

1.积分中值定理: ξ∈[a,b]

1.利用介值定理证明,所以为闭区间

2.一般用于积分前面的系数与积分区间长度互为相反数

2.积分中值定理的推广: ξ∈(a,b)

1.构造原函数,用拉格朗日中值定理证明,所以为开区间

2.用于区间和函数值会重合的情况,用此定理可保证取不到端点值

3.积分平均值

f(x)在[a,b]上的平均值=f(x)在[a,b]上的积分/(b-a)

4.积分第一中值定理

1.条件: f(x),g(x)在[a,b]上连续,g(x)≥0,存在ξ∈[a,b]

2.证明: 利用f(x)的介值定理,一步步推证,加到要证的形式,最后同除以g(x)在[a,b]上的积分≥0

5.柯西不等式

1.证明: f(x)恒等于0时,显然成立

2.f(x)不恒等于0: 任意t,[tf(x)+g(x)]²≥0,展开后关于t的二次函数,同时在[a,b]上积分,t²系数>0,且式子≥0,所以∆=b²-4ac≤0,得证

掌握证明

6.积分的不恒等问题

f(x),g(x)在[a,b]上连续,f(x)≥g(x)且f(x)不恒等于g(x),则f(x)在[a,b]上的积分>g(x)的积分

满足条件时,可将等号去掉

6.一些概念

1.原函数存在 与 可积性(定积分存在)

1.连续函数必有原函数,也一定可积

2.有第一类间断点的函数,没有原函数,但可积,且积分上限函数连续

个别点不影响积分的结果

3.无界函数一定不可积,但可能有原函数

4.f(x)可积 →积分上限函数F(x)连续,但不一定可导 f(x)连续 →F(x)可导

连续性 > 可积性

5.连续函数一定可积,但可积的不一定是连续函数

2.原函数 与 积分上限函数

1.当f(x)有第一类间断点时: 原函数不存在(原函数本质是不定积分,是一个函数)

2.当f(x)有第一类间断点时: 积分上限函数在X0处连续,也存在(本质是定积分,是一个数,个别点不影响结果)

3.当f(x)在x=a处为可去间断点时: 积分上限函数在x=a处可导

4.当f(x)在x=a处为跳跃间断点时: 积分上限函数在x=a处不可导

7.题型

1.S1=f(x)在[a,b]上积分,S2=f(b)(b-a),S3=1/2[f(a)+f(b)](b-a)

1.S1为曲边梯形面积,S2为长方形面积,S3为梯形面积

2.f'(x)>0时,S1<S2, f'(x)<0时,S1>S2

3.f''(x)>0时,S1<S3, f''(x)<0时,S1>S3

2.等式中含未知函数的定积分

1.定积分本质是个数,直接令定积分=A

2.替换后,不断对等式进行变换,向定积分的形式转化,最后得到关于A的等式,可解出A

2.计算

0.注意

1.含有根号的

1.含平方的

1.无论根号里面是什么,换元的目的都是出现平方相乘,可以消去根号(可令任何式子=asint,只要能消去根号)

2.不含平方的

1.无法消去根号,直接令整体=t

1.定积分的计算

1.区间再现公式

1.x+t=a+b

2.消去其中的x

若为cosx,应为偶次方时可用

2.华里士公式

1.偶数时: 最后为(1/2)(π/2) 奇数时: 最后为1

3.常用含三角函数的积分等式

1.在含sinx,cosx的积分计算/等式证明中,常令x=π±t,x=π/2±t

2.

必须在[0,π/2]上

4.区间简化公式

1.转化到[-π/2,π/2]: x-(b+a)/2=sint·(b-a)/2

适用于根号下(b-x)(x-a)

2.转化到[0,1]: x=a+(b-a)t

5.对称下的积分问题

1.在(a,b)上,x-(a+b)/2(对称轴)也为奇函数=0

看到积分中含有单独的x,必写成x-(a+b)/2+(a+b)/2,就只剩下常数

2.

1.(e^sint)sint在[x,x+2π]上积分

1.周期函数先转化到[-π,π]上

2.利用前面结论到[0,π]上

3.(e^sint-e^-sint)sint在[0,π]上≥0,且不恒等于0,积分>0

F2: 利用分部积分法 也可以判断

6.定积分换元法的几点注意

0.做之前,首先观察奇偶性,周期性,对称性(简化积分),再考虑换元/三角变换

注: 常考积分平均值

在(0,2)上的积分平均值=在(0,2)上的积分/2

2.变限积分的计算(数二必考)

1.f(x)的反函数为g(x) →g[f(x)]=x

2.f(x)与其变上限积分函数的原函数关系

3.积分等式与积分不等式

1.积分等式问题

1.常用积分等式(见定积分的计算)

1.区间再现/区间简化

2.通过证明某些特殊积分等式求某特殊积分

3.积分形式的中值定理(范围中出现闭区间)

2.积分不等式问题

1.用函数的单调性

1.将上限/下限变量化,移项构造辅助函数

1.多用于: f(x)在[a,b]上连续

2.整个式子除了积分变量外,无其他变量

2.处理被积函数

1.用积分保号性

告知f(x)≤g(x)

2.用拉格朗日: 再作不等式,再用积分保号性

1.多用于: f(x)一阶可导,且题中有较简单的函数值

2.告诉两个函数值相等,用两次朗格朗日

3.用泰勒公式: 再作不等式,再用积分保号性

1.多用于: f(x)二阶或更高阶可导,且题中有较简单函数值

4.用放缩法: 常见不等式,再用保号性

1.|sinx|≤1,|cosx|≤1,sinx≤x,|f(x)|≤M,基本不等式

5.用分部积分法: 升降阶为主

6.用换元法: 见到复合函数的积分,直接不好积,换元后上下限必然变复杂

sin(e^t)

1.令e^t=u,换元后用分部积分法

2.将所有的与cos有关的,用≤1放缩掉

sinf(x)

1.令f(x)=t,换元后涉及反函数的问题

2.写出反函数:x=f﹣¹(t)=ψ(t),方便对dx写出结果

3.ψ'(t)=1/f'(x),可确定范围放缩掉

4.换元后,上下限必然变化,放缩到[0,π],对sinx积分取最大值=2(一拱)

2.1 常用思想T

1.看到积分外面有绝对值

立刻放到积分里面去(变大)

2.看到积分外面有平方,积分里面为两函数相乘

将平方放到两函数上,且拆成两积分相乘的形式(放大)

柯西不等式定理

3.无平方,无绝对值

对等式积分

4.不等式两边的积分区间有明显变化[0,1]

用区间变化的换元公式

5.积分前面的系数与积分区间长度互为相反数

用积分中值定理

6.f(x)一阶可导

1.积分中无f'

用拉格朗日中值定理

2.积分中有f'

用N-L公式,上限为x

出现3个点,有两点相等时,都用两次

7.f(x)二阶/高阶可导:泰勒公式

1.若证ξ∈(a,b)

1.用F(x)积分上限函数在两个端点处展开,从而限制了两个ξ₁,ξ₂取不到端点

2.两个F(x)相减后得到要证的积分与两个ξ有关

3.再在[ξ₁,ξ₂]上用介值定理时ξ∈(a,b)开区间

2.若证ξ∈[a,b]

1.直接用f(x)在x处展开得到一个等式

2.直接在等式两边在所证区间积分,根据二阶导连续(存在m,M),可得到关于f''(ξ)积分的范围,变换为[m,M]

3.这时再用介值定理就是在[a,b]闭区间上

3.用夹逼准则: 求解一类积分的极限问题

1.对积分用夹逼准则,在极限下趋于同一值

2.对积分放缩时,只能确定一端,另一端先不用确定,一般都是常数,将确定的一端算出来即可确定另一端

4.曲边梯形面积的连续化与离散化问题

1.一般图像类似于反函数图像,且有明显的连加形式

2.利用曲线上方的n个长方形与下方的n个长方形用夹逼定理

[k,k+1]上的积分 < 1/k < [k-1,k]上的积分

1/k可换成其他类似反函数

3.常用公式: 1/(1-x)= 1+x+x²+...+xⁿ+...

可以直接将其中的x用其他量替换掉

4.几何应用

1.研究对象

2.研究内容

1.面积/旋转体体积/平均值

2.平面曲线的弧长

3.旋转曲面的面积(侧面积)

4."平面上的曲边梯形"的形心坐标公式(热点)

1.x的形心与y的形心利用累次积分展开后是不一样的

2.可由0→f(x),推广为g(x)→f(x)

3.若f'(x)>0,证x的形心>1/2

1.写出形心公式化简后要构造辅助函数,不能用1/2当作系数,因为形心随着x的变化而变化,用1/2当系数最后得不到具体值,应该也使用变量x/2当作系数,代入1即可

2.求导后,对积分用积分中值定理化为统一形式,即可比较大小,判断正负

3.若告诉f''(x)>0,求二阶导,先推一阶,再往回推即可

5.平面截面面积为已知的立体体积

补充: 复杂函数画图问题

1.直角坐标下

1.首先确定函数经过的特殊点

2.再确定函数是否具有奇偶性,周期性(对称画图)

3.最后确定函数的单调性与凹凸性,画出大致趋势

1.判断凹凸性可确定切线是在上方还是在下方

2.极坐标系下

1.先画出极坐标方程在对应的以θ为x轴,r为y轴下的直角坐标的图形(方程保持不变)

2.在直角坐标中找到特殊的点,对应点在极坐标系下一一描点即可

3.将直角坐标下θ的长度转化为极坐标系下θ的角度大小即可,r仍然为长度

5.物理应用(微元法)

1.总路程

2.变力沿直线做功

1.dW=Fdx

取距离微元dx,力在每个距离微元上都不同

3.提取物体做功

0.公式

W=Fx, F=ρgv=mg, V=A(x)dx

dW=xρgA(x)dx

1.抓斗上升

1.取距离为微元dx,因为在每个距离微元上,质量,做功都不一样

2.与时间有关时: 取时间微元dt,dx=vdt

2.球体内抽水

1.取体积为微元,因为在不同位置上体积不同,而同一体积在不同位置上没有变化

2.不同的微元体积在上升时所经过的路程是不一样的: h-y

3.将球捞出水面

1.会构建坐标系: 以水面为x轴做直角坐标系

4.静水压力

F=PS,其中P为压强P=ρgh,S=xy

取面积微元dS=xdy,随着面积在变化,h也在变化

5.细杆质心

在形心的基础上多加了线密度,公式中同时多乘线密度再积分

6.其他重要应用

单位面积上的量*单位面积

一般为圆环S=2πrdr

第四章 多元函数微分学

1.概念

1.求多元函数极限

除了洛必达法则/单调有界准则不能用,其他都可以用

2.题型

1.先对x求5阶偏导,再对y求5阶偏导

将x,y拆开分别用高阶导数展开式

2.由极限判断可微的条件

1.写出可微的定义式,其中A,B是与x,y无关的常数,可取0

2.将极限利用脱帽法化为等式,与定义式进行对比

3.求偏导数

0.总规则: 先代后求

1.求x的偏导时,一定先将y的值代入,其他与x无关的值也一样代入,简化计算

1.混合偏导数连续时

可以交换求导次序,简化混合偏导的计算

2.链式法则

无论z对哪个变量求导,无论z已经求了几次导,求导后的新函数仍然具有与原函数完全相同的复合结构(书写规范)

4.求dz时

一定写成dx+dy的形式,其系数为对x,y的偏导数

5.f(u,v)满足关于x,y的等式,求f(u,v)

将f内部的式子换元=u和v时,立刻反解x,y,即可用u,v表示x,y

不要想着将x,y向u,v凑

2.复合函数求导法

1.f里面套f

1.一定要保证里面的f与外面的f的对应法则完全一致,不能因为里面的简单就不一致

里面也要写成f₁' 不能写成fx'

2.f里面的东西不能省,否则就无法区分里外层的f

3.隐函数求导法

1.一个方程的情形

1.证明题用公式法比较简单

az/ax=-Fx'/Fz'(x,z相互独立)

2.方程组的情形

1.用补充公式,背公式

3.求某个式子的结果时

求偏导得到方程后,不需要将偏导数解出来,直接在方程上进行变换向题目凑,其他项自然会抵消

4.多元函数的极/最值

1.无条件极值

1.直接对x,y求偏导,令偏导=0得到x与y的关系,解出x,y(同时确定z)

2.再对x,y求偏导,得到三个二阶偏导数,将求出的x,y,z及两个一阶偏导数=0都代入

3.得到A,B,C的值,判断AC-B²,>0有极值,A>0,极小值

2.条件极值

1.解拉格朗日方程组的方法

0.L分别对x,y,z,λ求偏导

1.消元代入法(xy乘在一起)

消去λ,用两式相除,得到x与y的关系,再代入剩下的方程

2.定一个(方程中只含x或y)

先根据一个方程确定解的情况,分别代入其他方程

3.求λ(方程中有x,y,但未乘在一起)

先确定x,y同时取0不成立,所以方程组有非零解,行列式=0

4.观察法,直接看出解

5.字母的轮换对等性

x=y,若x²=y²,x=±y

技巧

1.没时间解方程组,随便写几个解(认真,工整),能得2分

2.方程中含有根号,不方便求导,把根号去掉,求导得到的点一样

三次根号也可直接去掉,|u|用u²

2.易错点

1.对于约束条件z=x²+y²

一定要转化为x²+y²-z=0的形式

2.对于曲线上的点到原点的距离

1.一定分清目标函数和约束条件(曲线为约束条件)

2.用距离的平方计算,没有根号,方便求导

3.一般在使用拉格朗日乘数法/解方程时

会默认一些变量>0,最后一定要讨论变量=0的情况下的极最值

3.闭区域上的最值

1.先求区域内部的驻点

直接对目标函数求偏导=0,得到驻点

2.再求边界上的最值

1.若边界方程简单,可直接使用消元法,代入目标方程求最值

2.若边界方程复杂,可利用拉格朗日乘数法求极值

3.将所有可能的点计算出来,进行比较

5.偏微分方程

1.已知偏导数(偏增量)的表达式,求z=f(x,y)

1.注意加的不是c,而是关于x或y的函数

2.偏增量形式: 只留下∆x,前面系数即对x的偏导,其余写成O(∆x)

3.fx'(x,y)+f(x,y)=0,求f(x,y)

移项写成相除=-1,两边对x积分,即为ln[f(x,y)]=-x+c(y)

2.给出变换,化已知偏微分方程为常微分方程,求f(u)

1.根据等式化简后,最后必然只能剩下u,必须将所有x,y转化为u,否则无法求解

3.给出变换,化已知偏微分方程为指定偏微分方程及其反问题

1.等式在线性变换ξ=x+ay,η=x+by化简

1.将ξ,η看作是中间变量,x,y看作是最终变量化简

2.z对ξ的偏导,与z本身有有相同的对应法则

第五章 二重积分

1.概念

1.和式极限

1.这里的D不是一般的平面有界闭区域,而是一个"长方形区域"

2.前面的系数为1/n²,相等于平分为n²等份

一重积分为1/n,相当于平分为n等份

2.普通对称性

0.利用对称性

1.首先判断积分区域关于哪个轴对称,再判断被积函数关于另外一个轴为奇函数=0,偶函数=2倍

1.找对称点: 设(x,y),在不同对称轴下找对称点,直接代入函数即可

1.关于x=a对称,对称点(2a-x,y)

2.找到在不同对称轴下变换与不变的量

必用技巧

1.D关于x=a对称(任意对称轴),被积函数为x+y的线性组合

1.x-对称轴 为奇函数 在D上的二重积分=0

2.x+y变化为x-a+a+y,前部分为0,只要算后部分

3.关于y=a也是同样的处理

3.轮换对称性

1.前提: D中x,y对调后,D不变才可以使用(相当于坐标轴的旋转)

一般为正方形区域/圆

2.适用条件: f(x,y)不好算,且f(x,y)+f(y,x)=a,则I=a/2SD

1.e^siny + e^(-sinx)

变换后用基本不等式

2.cosx²siny²

变换后=sin(x²+y²)

或放缩: ≤siny²≤y²≤x²+y²

4.二重积分比大小

1.对称性

1.被积函数为y-x,关于y=x对称的两点代入被积函数互为相反数

相当于y-x关于对称轴y=x为奇函数

2.D本身不对称,但D中包含对称区域

将D划分为两个区域,对称区域积分=0,非对称区域看x,y的关系

2.保号性

1.被积函数为y-x(开三次根号也一样),观察在D中x,y的大小关系,可直接确定二重积分的正负

5.周期性

1.化为累次积分后,一元积分有用周期性的机会,可简化计算

2.周期函数的面积在一个周期内与积分区间无关

1.cos(x+y)

1.对y积分时,cos(a+y)相当于cosy的水平平移

2.只要区间为2π,x取任何值都不影响结果=0(一拱=2,注意正负)

3.x和y的范围都必须是[0,2π],其他区间不行

4.若为|cos(x+y)|,周期为π,区间取[0,π]

6.形心公式反用

1.形心(x',y')

1.当被积函数为x,y的线性组合时: ax+by+c,二重积分=(ax'+by'+c)SD

2.只能为线性组合,若为x²不可以

2.计算

1.直角坐标系与换序

1.换序时一定确保积分上限>下限

2.极坐标系与换序

1.换序前: 先θ后r,相当于先用一条射线旋转着射出去,先确定θ的取值,再根据射线的交点确定r的取值

2.换序后: 先r后θ,相当于先用一个以圆点为圆心,半径不断变大的圆一层层切出去,先确定r的取值,再根据圆的相交确定θ的取值

3.直极互化

注

1.关于积分区域D

1.直角系方程给出

1.已知曲线

2.未知曲线

学会画图: 见第三章-4.几何应用-补充

2.极坐标系给出

1.适用条件

1.D为圆或圆的一部分(圆环/扇)

2.被积函数: x²+y²,y/x=tanθ,arctan(y/x)=θ

3.参数方程给出

1.化为前述直角坐标/极坐标

4.动区域: x²+y²≤t²

2.关于被积函数f(x,y)

1.分段函数(含绝对值)

重点

2.最大/最小值函数: max/min{ }

3.取整函数: [x]

4.符号函数: sgn(x)

5.抽象函数: f(x),f''(x)

6.复合函数: f(u),u(x,y)

7.偏导函数: fxy''(x,y)

重点

3.换元法

1.f(x,y)中的x,y同时换掉: x=(u,v),y=(u,v), 多加一个系数|α(x,y)/α(u,v)|(行列式)

1.与累次积分中的换元(只能换一个)不同,另一个相等于常数

2.cos(x-y/x+y)

令x-y=u,x+y=v

整个D都会变化,用边界线确定

先对分子积,再对分母积

3.应用

1.面积

第六章 微分方程

1.一阶微分方程的求解

1.可分离变量型

1.能写成y'=f(x)g(y)

2.能写成y'=f(ax+by+c)

令u=ax+by+c,du/dx=a+b(dy/dx) →dy/dx=(du/dx-a)/b =f(u),再用分离变量

2.齐次型

3.能写成y'=f(y/x)或f(x/y)

令y/x=u或x/y=u, y=ux, dy/dx=u+xdu/dx

u也是x的函数

3.一阶线性型

4.能写成y'+p(x)y=q(x)

5.能写成y'+p(x)y=q(x)y^n

令z=y^(1-n)

伯努利方程

2.二阶可降阶微分方程的求解

1.能写成y''=f(x,y')

1.令y'=p,y''=p'

2.看到pdx-xdp

d(x/p)=(pdx-xdp)/p²

2.能写成y''=f(y,y')

1.令y'=p, y''=p(dp/dy)

3.高阶常系数线性微分方程的求解

1.能写成y''+py'+qy=f(x)

2.能写成y''+py'+qy=f₁(x)+f₂(x)

4.用换元法求解微分方程

1.用求导公式逆用来换元(数二不提示)

1.(siny)'=cosy(dy/dx)=y'cosy

2.用自变量来换元(有提示)

x=e^t,x=-e^t(欧拉方程)

注意:当x=e^t时: 1/x=e^-t, (1/x)'=-e^-t=-1/x(及时化简)

3.用因变量来换元

y=?

4.用x,y地位互换来换元

dx/dy=1/y' d²x/dy²=-y''/(y')³

5.应用题

1.用极限或导数定义建方程

2.用几何应用建方程

3.用变化率建方程

1.元素衰变问题(在减少,λ为负)

dN(t)/dt=-λN(t) →N(t)=N0·e^(-λt)

2.人口增长问题(在增加,λ为正)

dN(t)/dt=λN(t) →N(t)=N0·e^(λt)

3.曳物线问题(追踪问题)

利用两点之间距离不变 + 斜率(注意正负) 建立方程

4.冷却定律

dT/dt=-k(T-a)

任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质(a)的温差成正比

5.牛顿第二定律

F=ma

4.微元法(用不了有效的等量关系)

1.溶液浓度的变化

1.取t时刻溶质为m(t)

2.取[t,t+dt]时刻,dm=入-出=0-(m/100)(2dt)

有100L溶液,每分钟加入2L清水,抽出2L溶液

3.将dt除过来,即建立一阶线性微分方程,求解

做题技巧

1.总技巧

1.大题

1.★大题有2小问时: 第一问的所有结论一定都可以用在第二问中,一点都不会浪费

2.题型

1.直接求角度或某个量不好算时

可用tan(x-y)的公式转化

2.x的范围是无数个区间的组合,且两端极限相同,求f(x)/x 周期函数(都可用此法),求变上限积分/x

用夹逼定理,将x的区间代入变上限积分=图形的面积,取(n,n+1)区间的面积用夹逼定理

3.惯性思维

1.f(x)与f'(x)的关系

1.由f'(x) →f(x)

用N-L公式,先将f'(x)中不好积分的部分放缩掉

2.由f(x) →f'(x)

1.一般用拉格朗日中值定理

2.若已知f''(x)正负,用泰勒公式,可知f''(ξ)正负,放缩掉

3.由f(x) →f'(k)

泰勒公式,其中x0取k

2.求导判断单调性时

1.首先判断f(x)的奇偶性,缩减区间,含有ln时特别注意

3.放缩思想

1.将特别明显的与1的关系放缩掉: 1+f²(x),1+x²/1-x²

2.积分的两种放缩形式

1.对被积函数的放缩

放缩掉不好积分的部分:ln(1+x)≤x,sinx≤x,cosx≤1,e^t/(t+1)≤e^t

2.对积分区间的放缩

1.若被积函数为根号,将x放大到∞可得到具体值

2.若被积函数为sinx,将区间放缩到(0,π)面积最大

4.比较大小

1.看到函数与积分在一起

利用积分中值定理,都化为函数形式

2.看到函数与其一阶导数在一起

利用拉格朗日中值定理,都化为一阶导数形式

关键在于统一形式

3.n→∞时,x^n 与 x^2n

需要分情况讨论,在[0,1)上前者大,在(1,∞)上后者大

5.看到分式,分母为平方,且将f(x)展开特别复杂时

1. f'(x)(1+x)-f(x)/(1+x)²,f(x)已知

2.一定观察下分式是否为某个分式求导的结果

6.被积函数为抽象函数

1.考虑轮换对称性,相加后可以消去抽象函数

2.不会做,根据抽象函数满足的条件,取一个最简单满足条件的函数直接代入

7.sinx,cosx在周期上积分

1.在一个周期上,只要为奇次幂,结果都为0,偶次幂为2倍

2.在[0,π]上,sinx为2倍,cosx奇次幂为0,偶次幂为2倍

4.必背知识

1.奇函数(求导时可缩减区间,积分对称区间可直接去掉)

1.ln(1+x/1-x)=g(x)-g(-x)为奇函数

2.

2.背熟稍高阶的展开式,直接写答案

1.3阶系数:1,3,3,1

2.4阶系数:1,4,6,4,1

3.5阶系数:1,5,10,10,5,1

第一章 极限

1.惯性思维

0.理论

1.看到f(x)在[a,b]上连续

1.存在m,M,且对于任意c∈[m,M],存在ξ∈[a,b],使f(ξ)=c

最值定理+介值定理

2.如果f(a)f(b)<0,存在c∈(a,b),使f(c)=0

零点定理

2.只要看到关于两个函数相除/相乘的有关结论

1.考虑用相除/相乘和一个函数来表示另外一个函数,从而得到其性质

一般都是正确的

2.f(x)连续,g(x)有间断点

1.g(x)/f(x)必有间断点

2.可以反证,若g(x)/f(x)连续,则g(x)=g(x)/f(x)·f(x)也连续

3.f(x)g(x)在x→∞时=0

1.若1/f(x)为无穷小,则g(x)必为无穷小

2.g(x)=f(x)g(x)·1/f(x)为无穷小

1.x→∞时

1.极限中有分式不齐次

同乘某个数,将分式变成齐次,即可得到常数值(最高次系数比)

1.1 n→∞

1.含有n!

用定积分的定义,先用e抬底,将相乘化为相加的形式

2.x→-∞时

0.总规则

利用换元将x→-∞转化为x→+∞/0﹢,否则与根号有关时,还需要考虑正负号的问题

1.不是分式

用t=-1/x,t→0﹢,且变为分式,方便化简

2.是分式

用t=-x,t→﹢∞

只要是∞/∞型,不管含sinx,cosx,e^x,根号,都尝试同时除以大头

3.x→0时

1.x-ln(1+tanx)

补上 -tanx+tanx 后,可用等价无穷小替换

2.(1/根号x)^tanx

1.e抬底后,相乘的形式要及时将tanx等价为x,简化计算

2.ln中x的形式较复杂,及时化简出来,成为系数

3.根号+根号-a

可同乘 根号+根号+a,也可对根号用泰勒公式

4.复杂式子中含有e^x / e^(1/x)

想办法凑出(e^x-1)

4.x→0﹢时

1.分式中含有e^(1/x)

e^(1/x)→∞,不好计算,同乘e^(-1/x) →0,方便计算

2.lnxln(1-x)

ln(1-x)～-x, x^x=1 ,xlnx=0

5.x→1时

1.可尝试换元x-1=t,可能会更方便地看出常用的等价无穷小

1. x-1-lnx → t-ln(1+t)

2.题型

1.函数/极限性质

1.判断无界或无穷大

1.关系: 无穷大一定无界,无界不一定无穷大

2.常见无界但不是无穷大: x→0时,(1/x)sin(1/x) x→∞时,xsinx (换成cosx也一样)

1.对于x→∞,用x=2kπ和x=2kπ+π/2证明

2.对于x→0,取倒数即可

2.判断两个数列有界/无界的关系

1.可以用分段函数来举例(结论一般都不对)

3.已知一个数列为无穷小,判断另一个数列是否无穷小

1.用已知数列和题目凑出未知数列,从而进行判断

4.关于"ε-N"语言(99年考过一次)

2.计算

1.七种未定式

1.分母较复杂(不同类型)且容易比较高低阶

低+高=低,先将分母化简

2.含根号复杂式子-1 (或相反形式)

1.式子很复杂: 用等价无穷小替换:x-1～lnx(x→1),可消去1和根号

2.只有一个根号: 考虑根号下+1-1的等价无穷小

3.只要是∞/∞型,不管含sinx,cosx,e^x,根号

都尝试同时除以大头的形式

4.根号-根号

1.2次根号-2次根号

分子有理化

2.2次根号-3次根号

令6次根号=t

3.n次根号-n次根号(里面含有xⁿ)

提出xⁿ,凑成(1+x)ⁿ-1的形式

5.分子含sinx,arcsinx,tanx,arctanx,分母对应为x³ 分子含ln(1+x),分母对应为x²

0.都可以用加减某项,再拆开凑常见差函数的等价

1.x-ln(1+tanx)

补上 -tanx+tanx 后,可用等价无穷小替换

2.与二阶微分方程结合

1.y=y(x)是y''+py'+qy=e^3x满足y(0)=y'(0)=0的特解 求x→0时,ln(1+x²)/y(x)的极限

1.将初始条件都代入得: y''(0)=1

2.分子等价x²,用两次洛必达,得到y''(x),将0代入即可

3.含变限积分的极限

1.变限积分较复杂

1.不方便直接用洛必达时,不要硬凑,先对变限积分进行化简,自然会得到想要的结果

2.变限积分中出现f(x-t)

1.立刻用x-t=u换元

2.确定上下限时,一定不要自己随意交换上下限顺序(上限<下限时)

3.只告诉f(x)连续

0.只能对变限积分求一次导,不能再对f(x)求导

1.f(0)≠0

向f(0)靠近,可用积分中值定理化简积分/极限四则运算拆开分别算

2.f(0)=0,f'(0)≠0

向f'(0)靠近,利用f(0)=0配凑出在x=0处的导数定义

一般同除以x/x²对积分可单独再求导

4.中值定理求极限

1.f(x)具体型

1.两式形式类似相减,用拉格朗日,根据x/n的趋向,用夹逼定理确定ξ的值

2.f(x)抽象型,二阶可导,已知f'(0)=0,f''(0)=a

1.抽象型用拉格朗日无法直接得到f'(ξ)的值,只能利用f'(0)向二阶导数的定义凑

2.此时会多出ξ/x,再利用x的趋向用夹逼定理求值(注意对x>0/<0的讨论)

5.含抽象函数的极限

1.利用基本的恒等变形,把待求极限与已知极限联系起来

2.对已知函数使用泰勒展开

3.利用脱帽法,将极限转化为函数,直接求未知函数

6.已知极限反求参数

1.利用两个常用结论: 分子极限为0,分母极限也为0,反之也成立

2.对已知函数用泰勒公式,与未知量重新组合,确定系数

3.直接利用常见的等价无穷小差式

3.局部保号性

1.已知极限的值(里面含二阶导数),问x=0是什么点

1.根据极限的值确定函数与0的关系,根据δ>0,确定分母的正负,进而确定二阶导数正负

2.由二阶导数正负,可确定一阶导数在(-δ,δ)内的单调性,从而确定x为什么点

4.n项和,积的极限

1.夹逼定理(分子分母各自的次数不齐)

2.定积分定义(分子分母各自的次数齐)

1.基本型(能凑成i/n,提出1/n)

1.从1加到n,转化为(0,1)上的积分,i/n直接换成x

2.从1加到2n,转化为(0,2)上的积分,i/n直接换成x

2.放缩型(不能凑成i/n)

1.夹逼定理: n²+i

2.放缩后再凑成i/n

1.(i/n)² < i²+1/n² < (i+1/n)²

3.变量型(凑成xi/n,提出x/n)

转化为(0,x)上的积分,xi/n直接换成t,其他部分不变

4.注意

1.有时前面给的不是1/n,而是sin(1/n)

用等价无穷小替换

2.不是n项和,而是n项积(n!)

1.先用e抬底,指数为ln形式,拆开即为n项和

2.

=(n!/n^n)^(1/n)

e抬底后可拆为n项相加

两者可结合使用,先用夹逼定理将分子分母放缩为齐次,再利用定积分的定义

3.先和,积,再极限(分式可拆为两项)

1. 2/(2k-1)(2k+1) =[1/(2k-1)]-[1/(2k+1)]

5.连续与间断点

1.注意

1.出现e^x,arctanx,趋向∞时,一定要分左右讨论

2.出现 |x|时,也要分左右,一般左右都不相等,相差一个负号

2.连续函数的复合运算

1.只有连续函数复合连续函数是连续函数,其他各种复合是没有结论的

2.一个连续函数和有间断点的函数复合,什么情况都是可能的,选项出现直接排除 f(g(x))

3.只要看到关于两个函数相除/相乘的有关结论

1.考虑用相除和一个函数来表示另外一个函数,从而得到其性质

一般都是正确的

2.f(x)连续,g(x)有间断点

1.g(x)/f(x)必有间断点

2.可以反证,若g(x)/f(x)连续,则g(x)=g(x)/f(x)·f(x)也连续

4.看到x/sinx类似形式讨论间断点时

1.一定要分x=0和x=kπ(k是不为0的整数)两种情况讨论,结果是不同的

2.第一种为可去间断点,第二种为无穷间断点

3.若为x-x³/sinπx,还要讨论x=±1的情况,也是可去间断点,求的时候不能用等价无穷小

5.求a为何值时,f(x)在x=0连续;x=0是可取间断点

1.先不用管两种情况的讨论,直接令0的左右两边相等,得到具体a的值(多个),再把每个值代入讨论

第二章 一元函数微分学

1.惯性思维

0.理论

1.Δy为曲线的增量,dy为曲线上某点处的导数的增量

1.中值定理

1.两式相减结果含θ

往拉格朗日的变体形式上凑: f(b)-f(a)=f'[a+θ(b-a)](b-a)

2.导数定义

1.看到f'(0)=0,f''(0)=a

利用f'(0)向二阶导数定义配凑

2.题型

1.导数与微分的定义

1.判断是否是可导的充要条件

1.x→+∞/0﹢时,一定错,只能保证右导数存在

2.分子都是变量形式的组合,没有常数f(a),一定错

不能拆开,不符合极限四则运算,可能两部分都不存在

2.可导函数与连续但不可导函数的乘积的可导性 (看到表达式中含有绝对值 |g(x)|)

1.结论: f(x)在xo处可导,g(x)在xo处连续但不可导,则F(x)=f(x)g(x)在xo处可导当且仅当f(xo)=0 且F'(xo)=0

2.F(x)=f(x)(1+|sinx|),f(x)可导,乘出来后只需要判断f(x)|sinx|是否可导

3.增量Δy的线性主部

Δy=AΔx+O(Δx),其中AΔx为线性主部,A=y'(xo),注意y可能是复合函数

4.已知一点处导数的正负

不能确定函数在此点邻域内的单调性,只能用极限的局部保号性

5.看到n次根号下xⁿ的表达式

1.一般会写出分段函数,再结合图形,很容易地看出哪些点不可导

1.凹凸性

1.f(x)=(x-1)(x-2)²(x-3)³(x-4)^4,问(1/2/3/4,0)哪个是拐点

1.直接求二阶导数不好求,利用凹凸性定义,比较f(x₁+x₂/2)与f(x₁)+f(x₂)/2的大小

2.对于(2,0)点,可以取3/2和2 与 5/2和2分别代入上式比较大小,分别求出两边的 凹凸性,不一致为拐点

2.f''(x)>0 →f(x)>f(xo)+f'(xo)(x-xo)

1.证明: 利用泰勒展开式到二阶,放缩后即可证明

2.

1.特点: 两边的运算完全相同,只有次序不同

2.将f(x)在[0,1]的积分视为常数=to,左边相当于lnx将to代入

3.构造辅助函数h(x)=lnx,二阶导<0,利用前面的性质

4.下面就是将不等式向右边凑近,将x用f(x)替换,再将整个不等式在[0,1]上积分

5.此时不等式的左边变为题目的右边,不等式右边括号里的x经过变化后正好是 f(x)在[0,1]的积分=to,将一阶导消去,剩下的h(to)正好就是题目的左边,得证

3.f(k₁x₁+k₂x₂+...+knxn)≤k₁f(x₁)+...+knf(xn)

1.条件: f''(x)>0,ki>0,k₁+k₂+...+kn=1

2.同样将左边括号内看做一个数=to,二阶导>0,利用前面性质得到不等式

3.同样将不等式向题目右边配凑,得到n个不等式

4.将n个不等式相加后,左边变为题目右边,右边根据已知正好将一阶导消去,剩下的为题目左边

第三章 一元函数积分学

1.小技巧

变限积分中被积函数为根号形式,想得到具体值

将上限x放大到∞,对根号的积分能到具体值

2.必用技巧

0.做不出来,无法继续化简

分子分母同乘/除以 一个简单因子: e^x,x^k,sinx,cosx

1.定积分

0.做之前

1.首先观察奇偶性,周期性,对称性(简化积分),再考虑换元/三角变换

2.首先观察定积分是否为反常积分(尤其区间有限时),给出判断依据,换元时瑕点体现在开区间上

1.看到积分中含有单独的x(对称问题)

必写成x-(a+b)/2+(a+b)/2,就只剩下常数

2.看到根号下a²-t²

用上半圆的面积计算积分

3.看到

,即F'(x)F(x),对它积分可得到:1/2F²(x)+c

4.看到

1.里面(4-x)x,直接令x=4sin²t,不用化为完全平方形式,不用担心次数太高 (有华里士公式(0,π/2)上),这样对于外面的x²来说只有一项,计算更简便

2.不绝对,具体分析,有时配凑后可以都消去(对称),更简单

5.看到sinx,cosx在一个周期的积分

一个周期上的积分=0,及时消去,简化计算

6.看到分式,分母为平方,且将f(x)展开特别复杂时

1. f'(x)(1+x)-f(x)/(1+x)²,f(x)已知

2.一定观察下分式是否为某个分式求导的结果

2.分式拆分

1.不用全部算出来对比系数,因为是恒等式,直接令t取特殊值,消去其中的几部分

2.易错

1.一定先将分母因式分解,直到不能再化简为止(t²-1)=(t+1)(t-1)

2.拆开后全是相加的形式,不要用减号(除非很容易看出来的情况)

3.(x-a)²,分子为常数,主要看括号内x的次数,不是括号外的次数,一定拆成两项(x-a)和(x-a)²,分子都为常数

3.不定积分

1.含根号

1. 1/根号下x(x+1)

1.分母直接提出 根号x,放进去=2d(根号x),剩下的分母为其 根号下平方+1的形式

2.括号里为(x-1),(1-x),都是同样的操作

2. 1/x根号下x²-1

根号里提出x²,与外面的x组成x²,放入d中为-d(1/x),根号下为1-(1/x²),结果为-arcsin(1/x)

2.分部积分

1.分部积分时含有 lnx,arctanx等无法积分的,被积函数只能是lnx,其他都放到d里面(不必再d出来,直接分部积分)

2.充当dv的函数类型要保持一致,方便相互抵消或出现原式

3.倒代换:x=1/t

适用于分母中x的最高次比分子中x的最高次 高2次或以上

4. arctanx/x²(1+x²)

1.不能用x=tant换元,无法做

2.看到arctanx与1+x²,必定放在一起,将分母拆开相减,分子都为arctanx,前面分部积分,后面直接得结果

5.看到arcsinx与其他混一起时

直接令arcsinx=t换元更简单

6.含指数

1.xa^(x/a)

一定将指数函数放入d中,将x放入会更麻烦,做不出来

4.变限积分

1.tf(x²-t²)dt

令u=x²-t²,直接求dt不方便,利用du将t看作变量,求出du与dt的关系,反解后即可得到dt与du的关系

5.几何应用

1.求体积最值时

不用将体积通分算出来,比较麻烦,可直接对体积求导,确定驻点

2.求弧长时

根号下比较复杂时,先进行化简,一般可以直接开根号出来

3.求表面积

1. S=2π|y|ds

2.一般表面积都为几部分之和,不止一部分

4.必背结论

1.含根号

1. 1/根号下(x-a)(b-x)在[a,b]积分 =π(结论)

利用区间简化公式到[-π/2,π/2]上, x-(b+a)/2=sint·(b-a)/2

2. 根号下(x-a)(b-x)在[a,b]积分 =(b-a)²π/8(结论)

2.(e^ax)(cos^bx) 或 (e^ax)(sin^bx)

1.大题: 一直将sinx/cosx放入d中,一定会出现原式

2.小题: 背公式=(1/a²+b²)(前导后不导 - 前不导后导) (前面必须是e^x)

3.Pn(x)e^ax Pn(x)sin^ax Pn(x)cos^ax

Pn(x)一直求导为常数,另一项一直对上一步积分(多积一次),错位相乘,正负相间 +C

4.(x^a)(e^-x)在(0,+∞)上积分

1.利用Γ函数: a为整数时=a! a为n/2时: 从n/2一直乘到1/2(每次n-2),最后再乘 根号π

2.当e的指数为-x²时,先换元x²=t,再利用Γ函数

3.惯性思维

1.三角积分

0.总规则

1.对于三角积分,实在不会做,就用万能公式

1.令u=tan(x/2),dx=2/(1+u²)du, sinx=2u/(1+u²) , cosx=(1-u²)/(1+u²), tanx=2u/(1-u²)

2.有时在被积函数很简单,但很难算时,用起来很方便

1. 1/(2+cosx)

2.被积函数较简单时可同乘一个简单因子,被积函数复杂时可考虑向半角转化

1.sinx=(1/2)sin(x/2)cos(x/2)

2. 1-cosx=2sin²(x/2) 1+cosx=2cos²(x/2)

1.处理技巧

1. 1/1+sinx (1+cosx)

同乘1-sinx,(1-cosx)

1.1 1/(1+cosx)

1.也可以用1+cosx=2cos²(x/2),变为sec²(x/2)d(x/2) =tan(x/2)+c

tan(x/2)=cscx-cotx+c

2.当分母中不为1,为a时,也可以这样用,需要再除以cos²(x/2),此时利用万能公式更简单

1.2 1/1+cos²x (sin²x同样操作)

1.同除以cos²x,d(tanx)/(2+tan²x) d(tanx)/(1+2tan²x)

2.若分子还有sinx或cosx,直接放入d中,分母中sin²x和cos²x可以相互转化

2. x/cosxcos(π/4-x)

1.在[0,π/4]上积分,用区间再现公式,分子变为1

一般含有x时使用区间再现公式

2.先将后面展开(有系数),再同除以cos²x →sec²x/(1+tanx) →积分后ln(1+tanx)

3. sec³x

先将sec²x放进去,分部积分后将tan²x写成(sex²x-1),会得到原式

4.(1+sinx/1+cosx)e^x

1.没有e^x时: 分式=1+2sin(x/2)cos(x/2) / 2cos²(x/2) =(1/2)(sec²x/2) +tan(x/2)

2.有e^x时: 第一项用分部积分正好与第二项抵消

5. 1/(1+sinx+cosx)

sinx与1+cosx都化为半角形式,再除以cos²(x/2)即可

5.1 1/(根号2+sinx+cosx)

1. sinx+cosx =(1/根号2)cos(x-π/4),分母提出 根号2,变为1+cos(x-π/4),积分直接得tan(x/2 - π/8)

2. 转化为cos的形式,方便直接得到结果,若为sin形式不好求

5.较高次

1. xsinx/cos³x

先将sinx放入d中,再将cos³x放入d中

2. 1/sinx(cosx)^4

1.将分子写成sin²x+cos²x,拆成两项分别做,前一项将sinx放入d可直接得到结果

2.后一项1/sinxcos²x,重复上述操作

分母较高次且分子为1=sin²x+cos²x

3. sinxcosx/ (sinx)^4+(cosx)^4

1.分子为sin2x,d(cos2x)

2.分母为1-2sin²xcos²x =1-(1/2)sin²2x,再转化为cos²2x的形式

4. (sinx)^4/(1+cosx)

同乘(1-cosx),分母变为sin²x,就可以约掉

6.反三角函数

1. arcsinx·arccosx

直接分部积分,两个求导后分母相同,分子为两个相减*x,拆开分别算,将分母同分子的x一起放入d中,再用分部积分正好抵消

2. arctan(1+根号x)

1.令 根号x=t,直接分部积分,不用怕求导复杂,若令1+根号x=t换元更麻烦

3. arcsin²x

直接分部积分,先将分子放入d中凑成分母的形式,再将分母也放入d中,再用分部积分就可以抵消

7. 1/ a²sin²x+b²cos²x,a,b不全为0

1.a≠0,b≠0,同除cos²x

2.一定要讨论a=0或b=0的情况

8. 1/ sin2x+2sinx

化简sin2x,sinx(cosx+1),都化为半角sin(x/2)cos³(x/2),同除以cos²(x/2),分子为d(tanx/2),分母必须向tan(x/2)凑,tan(x/2)cos²(x/2),只能将cos²(x/2)翻到分子变为tan²(x/2)+1

9.(sint+cost)³(cost-sint)

先别急着乘出来,一定先看看能否放入d中

10.(1+cost)³costsint

先将sint放入d中,同样不要直接乘出来,将后面的cost变为(1+cost-1)再乘出来

2.积分技巧

1. sinx/cos²x

写成tanxsecx,对x积分=secx

3.题型

1.分子分母仅为sinx/cosx的线性组合,不含其它常数

1.令分子=a(分母)+b(分母)' 解出a,b,分为两部分求积分

2.sinaxcosbx(任意两者相乘)

用积化和差公式sin(ax+bx)±sin(ax-bx)(共四个公式,自己配凑,不用背)

3.分母较高次且分子为1=sin²x+cos²x

2.不定积分

1.含根号

1.根号下(a²-e^2x)

令e^x=asint

2.0 1/根号下x(x+1)

1.分母直接提出 根号x,放进去=2d(根号x),剩下的分母为其 根号下平方+1的形式

2.最后为2ln|x+分母|+c

2.1 1/根号下x(x-1)

1.最后为2ln|x+分母|+c

2.2 1/根号下x(1-x)

1.最后为2arcsin根号x +c

3. 1/ 根号(1+x)+根号(1-x)+2

三项也可以用分母有理化,同乘 根号(1+x)+根号(1-x)-2,再拆开分别算

4. 1/ x根号(1+x^4)

同乘x³,分子放入为d(x^4),分母也都为4次方,可直接令4次方换元,换元后再令根号换元

5. 根号下(1+x/1-x)

1.不要直接令整个根号=t,反解出x特别麻烦,积分也特别麻烦

2.分式同乘(1+x),化为(1+x)/根号(1-x²),拆开分别算,前面为arcsinx,后面将分子放入d(1-x²)

根号下分子分母都有x且次数相近

6. 1/x根号下x²-1

根号里提出x²,与外面的x组成x²,放入d中为-d(1/x),根号下为1-(1/x²),结果为-arcsin(1/x)

7. x³/根号下1+x²

将分子的一个x放入d中,剩下的写为x²+1-1

8. tanx/根号cosx

将tanx=sinx/cosx,sinx放入d中

9. x²/根号下1-x²

换元x=sint,比对分字拆分更简单

10. 根号下1-sinx

化为(sin(x/2)-cos(x/2))²,开出来时注意对不同区间的正负的讨论

11. 根号下1-cosx

化为2cos²(x/2)

2.高阶分式

1.(x^4-1)/x(x²+1)²

令x²=t,化完后,分式拆分

2. 1/(1+x^4)

分子拆成(x²+1)-(x²-1),拆成两项分别算,两项同时除以x²,再将分子放入d中,分母凑成分子的完全平方形式

3.配凑法(e^x)

1.(1+x)/x(2+xe^x)

同乘e^x,分子为d(xe^x),分母拆开为两项相减(系数为1/2)

2.xe^x/(x+1)²

将分子的x拆为(x+1-1),分解为两项(相似),第一项保持不动,第二项用分部积分后可与第一项抵消

3. 1/(1+e^x)

同乘e^-x,将分子放入d中,比分子变为1+e^x-e^x更好

4.含指数

1.xa^(x/a)

一定将指数函数放入d中,将x放入会更麻烦,做不出来

4.题型

1.根号下分子分母都有x,且次数相同/相近

不适宜将整个根号直接换元,对分式同乘因子进行变换,将一部分开出根号

3.定积分

0.总规则

1.遇到积分表达式特别复杂时,且积分区间近似对称区间[0,2]

考虑能否用对称性/奇偶性化简积分(先将区间变换到对称区间)

1.含根号

1. 1/根号下(x-a)(b-x)在[a,b]积分 =π(结论)

利用区间简化公式到[-π/2,π/2]上, x-(b+a)/2=sint·(b-a)/2

2. 根号下(x-a)(b-x)在[a,b]积分 =(b-a)²π/8(结论)

3.根号下1-sinx在[0,π]上积分

1.化为(sin(x/2)-cos(x/2))²,开出来时注意对不同区间的正负的讨论

2.(x^a)(e^-x)在(0,+∞)上积分

1.利用Γ函数: a为整数时=a! a为n/2时: 从n/2一直乘到1/2(每次n-2),最后再乘 根号π

2.当e的指数为-x²时,先换元x²=t,再利用Γ函数

3.区间再现(x+t=a+b)

1.在[0,π/2]上,sinx与cosx混在一起

1.

必须在[0,π/2]上

2. cosx/(sinx+cosx) = sinx/(cosx+sinx),相加=1

2.在[0,π]上,x和sinx/cosx的函数混在一起

0.本质: 区间再现公式: 令x+t=π,会出现原式

1.若为sinx,直接将x换成π/2

2.若为cosx,应为偶次方/绝对值时可用

3.若为d(cosx)/(1+cos²x),同样可以用,d里面不一定是x

3.在[0,π/2]上,1/(1+tanx)

1.其中tanx可以为任意次方,不影响结果

2.tanx变换后为cotx=1/tanx,通分后与原式相加=1

4.ln(sinx)

1.变换后为ln(cosx),相加后=ln(1/2)+ln(sin2x)

2.再将ln(sin2x)换元后变为ln(sinx),即出现原式(注意换元后上下限的变化)

4.换元时

1.令x=sect: 找t的范围用sect不好找,转化为用cost=1/sect在[0,π]找,若为sint在[-π/2,π/2]上找

4.综合题

1. tanx/根号cosx

将tanx=sinx/cosx,sinx放入d中

2. arctanx/x²(1+x²)

1.不能用x=tant换元,无法做

2.看到arctanx与1+x²,必定放在一起,将分母拆开相减,分子都为arctanx,前面分部积分,后面直接得结果

3. arcsine^x/e^x

直接令arcsine^x=t比令e^x=t更简单,换元要换的更彻底

4. x²arcsinx/根号下1-x²

含有x²时,直接将分母放入d中,会变得很麻烦,不如直接换元arcsinx=t

对于arcsinx与其他混一起时直接令arcsinx换元更简单

5. e^2x·arctan根号下e^x-1

1.不要令根号下e^x-1=t换元,特别麻烦,主动换个思路

2.含e^x形式时,一般都放到d中,用分部积分较简单

配凑的逆向思维

1.三角函数

1. sin2x =d(sin²x)

2. 1/(1+cosx) =d(tan(x/2))

1/ 2cos²(x/2) =sec²(x/2)d(x/2)

3. 1/sinxcosx =d(lntanx)

2.e^x

1. (1+x)e^x =d(xe^x)

3.lnx

1. 1/xlnx =d(lnlnx)

4.分式

1. 1/t(1+t²) =1/t - t/(1+t²)

对于只相差一次的两个分式,都可拆成类似形式,只要确定系数即可

2. 1+1/x² =d(x- 1/x)

1-1/x² =d(x+ 1/x)

3. 1/x² =d(-1/x)

1/x³ =-1/2d(1/x²)

5.根号

1. 1/根号x =d(2根号x)

4.大题题型

1.定积分

1.等式中含未知函数的定积分

1.定积分本质是个数,直接令定积分=A

2.替换后,不断对等式进行变换,向定积分的形式转化,最后得到关于A的等式,可解出A

2.证明积分不等式

1.因为是不等式,没必要精确算出积分的值,看到sinx/cosx一般都直接放缩掉

3.变上限积分函数的定积分计算

1.直接用分部积分法,将f(x)之外的放入d中

2.先将第一项算出来参与到计算中,后面必然会抵消掉

4.抽象函数积分(表达式未知)

1.先看奇偶性,再用分部积分法: 一般将f'(x)/f''(x)放入d中

两者的分部积分的对象正好相反

5.含绝对值(分段函数)的变上限积分

0.一定对x的范围进行讨论,确定积分区间有几部分,x范围之前的一定全部包含

1. (1-|t|)在[-1,x]上积分(x≥-1)

1.积分变量为t,且t的范围确定为[-1,x],只需讨论x的范围(范围不同,对绝对值的影响不同)

2.x≤0时: |t|=-t,不用分区间讨论,直接去掉

3.x>0时: 在[-1,0]上去掉绝对值为负,在[0,x]去掉绝对值为正

2.|t²-x²|在[0,1]上积分(x>0)

1.先分0<x≤1,这里必须用1(具体的数当分界点),不能用t当分界点

2.在分x>1,求出两段后用定义法确定在1处的导数值是否相等,来确定导数是否连续

6.f(x)为变上限积分函数,求f(x)+f(1/x)

求f(1/x)时最重要的是统一上下限,换元令t=1/u,这样两个积分就可以相加

7.判断哪个变限积分为偶函数

直接利用定义判断,设F(x),求出F(-x),换元令u=-t即可

也可以利用f(x)与F(x)奇偶性的关系(相反),更简单

8.求变限积分函数的值域

1.若为周期函数,只需求一个周期上面的值域即可

2.与普通函数一样,求导,求驻点,与端点值的大小进行比较

9.直接求某图形的体积

1.用截面法,确定一个截面的面积,再对截面进行积分

2.立体图形不方面看时,将截面转化为平面图形更直观

5.一些结论

1.(1/n)sin(nx)在[0,2π]上的弧长与n无关,是个定值,但求不出

第四章 多元函数微分学

1.惯性思维

1.fx'(x,y)+f(x,y)=0,求f(x,y)

移项写成相除=-1,两边对x积分,即为ln[f(x,y)]=-x+c(y)

2.必用技巧

1.求偏导数

0.总规则: 先代后求

求x的偏导时,一定先将y的值代入,其他与x无关的值也一样代入,简化计算

1.混合偏导数连续时

可以交换求导次序,简化混合偏导的计算

2.隐函数求导

1.一定用公式法(所有变量地位平等),无论一个方程还是多个方程

2.求某个式子的结果时

求偏导得到方程后,不需要将偏导数解出来,直接在方程上进行变换向题目凑,其他项自然会抵消

3.解拉格朗日方程组

1.没时间解方程组,随便写几个解(认真,工整),能得2分

2.方程中含有根号,不方便求导,把根号去掉,求导得到的点一样

三次根号也可直接去掉,|u|用u²

第五章 二重积分

1.必用技巧

0.对于二重积分计算

首先考虑有无对称性(普通对称性,轮换对称性),尤其轮换对称性,使用后可简化计算

1.D关于x=a对称(任意对称轴),被积函数为x+y的线性组合

1.x-对称轴 为奇函数 在D上的二重积分=0

2.x+y变化为x-a+a+y,前部分为0,只要算后部分

3.关于y=a也是同样的处理

2.利用对称性

1.首先判断积分区域关于哪个轴对称,再判断被积函数关于另外一个轴为奇函数=0,偶函数=2倍

2.被积函数为x²时,y相等于1,此时关于y轴为偶函数

3.积分区域含有y=sinx时

1.必然先对y积分,不要怕积分麻烦,若先对x积分,需要写成反函数的形式,更麻烦

2.学会对区域为sinx划分对称区域的方法

4.被积函数为抽象函数

1.考虑轮换对称性,相加后可以消去抽象函数

2.不会做,根据抽象函数满足的条件,取一个最简单满足条件的函数直接代入

5.积分区域不方便表示

立刻看看能否用其他易表示的区间表示此区间(分块法)

6.看到含有x²+y²(无论被积函数还是积分区域)

必用极坐标表示,不要去尝试直角坐标法,即使区间再方便表示也不要用,必然复杂,浪费时间

7.积分区域为圆,但圆心不在原点

直接用极坐标不好表示,利用x-a=rcosθ,y-b=rsinθ,这样就从圆心开始确定范围,相等于将圆转化为标准圆,但积分区域没变(若直接换元,区域会变化)

8.直极互化时

1.首先判断区域的对称性,对于其中的奇函数不会再计算,直接=0

2.当区域面积方便计算时,其中的常数也不用再直极互化,直接就是常数倍面积值

9.区域用参数方程表示(不好化简)

1.假设y=y(x),正常用直角坐标计算,先对y积分,代入y(x),对x积分时再全部转化为对t积分

2.惯性思维

1.看到积分区域D为正方形/圆

考虑是否能用轮换对称性

2.看到变上限积分函数和f(x)dx在一起

令变上限积分函数=F(x),dF(x)=f(x)dx

3.f(x)为抽象函数,看到f(x-y)

1.令x-y=t,累次积分中对x积分时,换元时y相当于常量,是将x换成t,只能换一个,不能一起换

2.换元后由x与y的函数,转化为t与y的函数,整个D都会变化

4.累次积分时,对f(x)无法积

立刻换序,先对f(y)积分

5.对偏导数的累次积分

1.fxy''(x,y)dy=dfx'(x,y) fxy''(x,y)dx=dfy'(x,y)

一阶偏导数也类似

2.放入后,利用分部积分法展开,写范围时一定要写清楚谁的范围,根据已知可消去一部分=0

3.f(x,y)先代入y=1,再对x求偏导 与先对x求偏导,再代入y=1,最后得到的fx'(x,1)相同

3.知识点

1.定积分与积分变量记号无关

可以将累次积分中的所有x,y对调

第六章 微分方程

1.惯性思维

1.看到pdx-xdp

d(x/p)=(pdx-xdp)/p²

2.看到y=te^t是特解

y=e^t也是特解

3.看到y=sin2t是特解

y=cos2t也是特解

易错点

第一章 极限

1.使用等价无穷小时

x必须→0,其他趋向时,就算是0/0型,也不能用等价无穷小,只能用洛必达法则

2.无穷小比阶时

1.等式一边含有O(x³),里面不包含x³,对另一边用泰勒公式展开时,必须展开到x³,且其系数=0

第二章 一元函数微分学

1.已知一点处导数的正负

不能确定函数在此点邻域内的单调性,只能用极限的局部保号性

第三章 一元函数积分学

1.分段函数积分

分开分别积分后,最后确定C1与C2之间的关系,用一个表示另一个

2.确定上下限时

一定不要自己随意交换上下限顺序(尤其是上限<下限时)

3. 1/ a²sin²x+b²cos²x,a,b不全为0

1.a≠0,b≠0,同除cos²x

2.一定要讨论a=0或b=0的情况

4.积分结果为lnx时

一定注意x的取值,该加绝对值时一定要加

5.运用公式时

交叉相乘,一定注意要正负相间,最后+c

6.分式拆分时

1.一定先将分母因式分解,直到不能再化简为止(t²-1)=(t+1)(t-1)

2.拆开后全是相加的形式,不要用减号(除非很容易看出来的情况)

3.(x-a)²,分子为常数,主要看括号内x的次数,不是括号外的次数,一定拆成两项(x-a)和(x-a)²,分子都为常数

7.根号下1-sinx在[0,π]上积分

1.化为(sin(x/2)-cos(x/2))²,开出来时注意对不同区间的正负的讨论

8.定积分dcosx在[1,2]上积分

结果为cos2-cos1,不是2-1

9.反常积分

1.做大题,有瑕点时

在瑕点处一定写成极限的形式: ε→0﹢或+∞

10.变上限积分

1.一定对x的范围进行讨论,确定积分区间有几部分,x范围之前的一定全部包含

11.求面积

1.有多个零点时,一定要确定图像在x轴的上下方,下方的面积为负数,要取相反数

2.极坐标系下的面积=1/2r²(θ)dθ

12.求体积

1.题目中有多个图形时,一定要分清到底求的哪个图形的体积

13.含指数

1.xa^(x/a)

一定将指数函数放入d中,将x放入会更麻烦,做不出来

14.求表面积

1. S=2π|y|ds

2.一般表面积都为几部分之和,不止一部分

第四章 多元函数微分学

1.已知偏导数(偏增量)的表达式,求z=f(x,y)

1.注意加的不是c,而是关于x或y的函数

2.链式法则

无论z对哪个变量求导,无论z已经求了几次导,求导后的新函数仍然具有与原函数完全相同的复合结构(书写规范)

3.有二阶混合偏导时

连续时,一定将混合偏导合并

4.求dz时

一定写成dx+dy的形式,其系数为对x,y的偏导数

5.给出变换,化已知偏微分方程为常微分方程,求f(u)

1.根据等式化简后,最后必然只能剩下u,必须将所有x,y转化为u,否则无法求解

6.给出变换,化已知偏微分方程为指定偏微分方程及其反问题

1.等式在线性变换ξ=x+ay,η=x+by化简

1.将ξ,η看作是中间变量,x,y看作是最终变量化简

2.z对ξ的偏导,与z本身有有相同的对应法则

7.拉格朗日乘数法

1.对于约束条件z=x²+y²

一定要转化为x²+y²-z=0的形式

2.对于曲线上的点到原点的距离

1.一定分清目标函数和约束条件(曲线为约束条件)

2.用距离的平方计算,没有根号,方便求导

3.一般在使用拉格朗日乘数法/解方程时

会默认一些变量>0,最后一定要讨论变量=0的情况下的极最值

第五章 二重积分

1.累次积分换序时

1.一定保证上限>下限,及时调整

2.一定看清区间的选取界限(从谁到谁),确定正确的积分区间

2.直极互化时

一定要多加一个r

第六章 微分方程

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