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张宇高等数学
张宇高等数学，汇总了 极限、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、二重积分、微分方程的知识，大家也可以用于备考复习。
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张宇高等数学
第一章 极限
1.函数极限的定义及使用
1.是个常数
1.导数值,偏导数值,定积分值,二重积分值都是常数
在等式中都可令为A
2.唯一性
3.局部有界性
4.局部保号性
1.由极限保函数→严格保号,由函数保极限→不严格保号
5.等式脱帽法
1.f(x)=A+α
极限不好算时(有未知量): 可直接将极限转化为函数
2.函数极限的计算
1.化简先行
2.洛必达法则
1.结果必须是0,c,∞,否则失效
2.f'(x)/g'(x)的极限存在,是法则成立的条件之一,极限不存在,并不代表原式的极限不存在
1.看到sin(1/x)特别注意
3.泰勒公式
4.无穷小比阶
3.函数极限的存在性
1.具体型
若洛必达法则失效,用夹逼定理
2.抽象型
单调有界准则
4.函数极限的应用
1.连续与间断
5.数列极限的定义及使用
1.是常数
2.唯一性
3.有界性
4.保号性
5.收敛的充要条件
所有子列均收敛与A
6.数列极限的存在性及计算
1.归结原则(变量连续化)
将n→∞直接换为x→∞: 数列存在,子列必存在
2.直接计算法
对表达式恒等变形
3.定义法(先斩后奏)(没考过)
1.思想
1.草稿纸上: 假设存在记为A,先求出极限
2.正式: 求|Xn+1-A|,将具体表达式代入,进行各种放缩工作
0.放缩最重要就是找想放缩量的范围
1.若为三角函数:和差化积公式
1.cos-cos=-2sin sin
2.若为平方:平方差公式,保留相减项
3.最后得到:|Xn+1-A|<a|Xn-A|(0<a<1)
4.再不断地递减放缩得到:|Xn+1-A|<aⁿ|X1-A|→0,所以n→∞时,极限→A
4.单调有界准则
0.重要结论
1.设数列A(n+1)=f(An),令y=f(x),若f'(x)>0
1.当a1<a2时,{An}单调递增
2.当a1>a2时,{An}单调递减
可用数学归纳法证明
1.两种证法
1.用已知不等式
1.任意x≥0: sinx≤x
2.任意x: e^x≥x+1
3.任意x>0: x-1≥lnx,x≥ln(x+1)
4.任意a>0,b>0: 根号ab≤a+b/2 (a+b为常数)
2.题设给出条件来推证
2.数列Xn单调
两种情况: 单调有界/单调无界
可假设有界,令极限为A,求出极限,若矛盾则无界→∞
3.证单调性
1.得到X(n+1)-Xn与Xn-X(n-1)关系 →两者同号,数列单调
5.夹逼准则
6.综合题总结
1.用导数综合
2.用积分综合
3.用中值定理综合
4.用方程(列)综合
5.用区间(列)综合(没考过)
6.用极限综合
补:递推公式的画法;Xn+1=ln(1+Xn)
先画出y=ln(1+x)的图像,再画出y=x的图像,在图1中任取a1,其纵坐标值即为a2,在图2中找到相同值,其横坐标值也为a2,继续在图1中找a2的纵坐标即为a3,重复下去,可看出极限是否趋向一定值,根据推导的过程也可判断数列是否单调,选择对应方法
第二章 一元函数微分学
1.导数定义
1.抽象函数在一点
1.与极限结合时: 可直接用脱帽法求出抽象函数表达式,不用计算极限
2.分段函数(含绝对值)在分段点
3.四则运算中的特殊点
1.太复杂的点
1.函数由两部分组成: 若一部分用公式方便,一部分用定义法方便,可分开求再相加
2.函数为若干项乘积: 先找到代入点后为0的项(其余不为0),将函数分为两部分乘积再求导,其中一项为0,只剩一项
2.不成立的点
2.公式求导时必须在成立的点处成立,不成立的点需要单独用定义法再求
2.导数计算
1.多项乘除,开方,乘方
对数求导法
2.高阶导数
1.归纳法
1.复杂函数的高阶导
可先求一两阶导数试一下,若能转化为乘积=常数,可用莱布尼兹公式展开(此时不用展开n阶)
arctanx
2.莱布尼兹公式
3.展开式(十个)(求具体阶导数)
若所求点为k≠0,展开时X0必须取k,对于要展开的项也应该先向(x-k)的形式凑
3.导数的几何应用
1.研究对象
1.祖孙三代
2.分段函数(含绝对值)
3.参数方程
4.隐函数
2.研究内容
1.切线,法线,截距
1.与x轴的截距就是x的坐标,可正可负
2.极值,单调
3.拐点,凹凸
1.凹凸性推广
f''(x)≥0时: 任意λ₁,λ₂∈(0,1)且λ₁+λ₂=1 →λ₁f(x₁)+λ₂f(x₂)≥f(λ₁x₁+λ₂x₂)
f(0)(1-x)+f(1)x≥f(x)
通常x₁故意取0,λ₁取x,不像凹曲线定义
2.凹凸性应用
1.f(x)=(x-1)(x-2)²(x-3)³(x-4)^4,问(1/2/3/4,0)哪个是拐点
1.直接求二阶导数不好求,利用凹凸性定义,比较f(x₁+x₂/2)与f(x₁)+f(x₂)/2的大小
2.对于(2,0)点,可以取3/2和2 与 5/2和2分别代入上式比较大小,分别求出两边的 凹凸性,不一致为拐点
2.f''(x)>0 →f(x)>f(xo)+f'(xo)(x-xo)
1.证明: 利用泰勒展开式到二阶,放缩后即可证明
2.
1.特点: 两边的运算完全相同,只有次序不同
2.将f(x)在[0,1]的积分视为常数=to,左边相当于lnx将to代入
3.构造辅助函数h(x)=lnx,二阶导<0,利用前面的性质
4.下面就是将不等式向右边凑近,将x用f(x)替换,再将整个不等式在[0,1]上积分
5.此时不等式的左边变为题目的右边,不等式右边括号里的x经过变化后正好是 f(x)在[0,1]的积分=to,将一阶导消去,剩下的h(to)正好就是题目的左边,得证
3.f(k₁x₁+k₂x₂+...+knxn)≤k₁f(x₁)+...+knf(xn)
1.条件: f''(x)>0,ki>0,k₁+k₂+...+kn=1
2.同样将左边括号内看做一个数=to,二阶导>0,利用前面性质得到不等式
3.同样将不等式向题目右边配凑,得到n个不等式
4.将n个不等式相加后,左边变为题目右边,右边根据已知正好将一阶导消去,剩下的为题目左边
4.渐近线
5.最值(值域)
6.曲率
4.中值定理
5.不等式问题
0.注意点
1.首先判断f(x)的奇偶性/周期性,缩减区间(含有ln时特别注意)
1.ln(1+x/1-x)=g(x)-g(-x)为奇函数
2.
2.求导时
1.可将>0的因子去掉,对剩下部分再求导
2.将特别明显的与1的关系放缩掉: 1+f²(x),1+x²/1-x²
3.求导前
1.首先判断是否满足朗格朗日的形式(常考)
2.所有除法转化为乘法,方便求导
1.题型
1.含参数的函数
1.导数中不含参 →最值中含参 →k取值确定位置关系
2.导数中含参 →k取值定单调 →最值不含参
2.方法
1.用单调性
2.用最值
3.用凹凸性
1.题型
1.两端点值相同,能确定二阶导数符号
4.用拉格朗日中值定理
1.题型
1.证明连续不等式且前后结构类似
前后可能为求导后代入端点值的结果
2.含有分式,分子分母结构类似
5.用柯西中值定理
1.条件: 满足柯西定理条件,且x∈(a,b)时,F'(x)/G'(x)≥A
6.用带有拉格朗日余项的泰勒公式
1.条件: F''(x)存在且>0或更高阶存在
7.常数变异法
1.题型
1.式子中全都是常数,令b=x(注意x>a)
2.含有积分时,积分上下限全是常数
6.等式问题(方程的根,函数的零点)
1.理论依据
1.零点定理及其推广
区间(a,b),极限值A,B,可以是有限数,也可以是无穷大
2.用导数工具研究函数形态
需要求三阶以上且形式复杂,要转换思路
3.罗尔定理的推广
若f的n阶导=0最多有k个根,则f(x)=0最多有k+n个根
4.实系数奇次方程最少有一个根
2.考法
1.证明恒等式
f'(x)=0 →f(x)恒等于c,令x=xo →f(xo)=c
2.函数的零点个数(方程根的个数,曲线交点的个数)
3.方程列问题
4.区间列问题
见第一章
7.物理应用
1.以"A对B的变化率"为核心: dA/dB
第三章 一元函数积分学
1.概念与性质
1.祖孙三代的奇偶性,周期性
1.f(x)以T为周期,且f(x)在(0,T)的积分=0
f(x)的积分上限函数才是以T为周期的函数
2.积分比大小
1.看出正负,如(π,2π)上,sinx<0
不用换元,与sinx有关时,在任何区间上都可以直接判断正负
2.作差,再换元,常用x=π±t,x=π/2±t
3.相同区间时,只看函数的大小,与区间的范围无关
3.定积分定义
1.基本型(能凑成i/n,提出1/n)
1.从1加到n,转化为(0,1)上的积分,i/n直接换成x
2.从1加到2n,转化为(0,2)上的积分,i/n直接换成x
2.放缩型(不能凑成i/n)
1.夹逼定理: n²+i
2.放缩后再凑成i/n
1.(i/n)² < i²+1/n² < (i+1/n)²
3.变量型(凑成xi/n,提出x/n)
转化为(0,x)上的积分,xi/n直接换成t,其他部分不变
4.注意
1.有时前面给的不是1/n,而是sin(1/n)
用等价无穷小替换
4.反常积分的敛散性
1.题型
1.当分母为两式相加时,讨论x的趋向后,收敛性由大的那个数决定(比较大小)
注意与等价无穷小比阶的区别
2.sinx与cosx在(0,π/2)上与x具有相同的敛散性
sinx与x等价无穷小,而cosx与sinx关于x=π/4对称,同敛散性
3.1/xlnⁿx在(2,+∞)的敛散性 与1/xⁿ在(1,+∞)的敛散性相同
在n>1时收敛
n≠1时,积分= 1/(1-n)·(lnx)^(1-n),显然n>1时,lnx收敛
4.1/(x^a)(lnx^b)在(1,+∞)上收敛 →b<1,a>1
0.先将区间划分为(1,2)和(2,+∞)
1.x→1时,lnx与x同敛散性 →b<1
2.由3知:a=1发散
3.0<a<1,x^a < x,也发散(小的发散,大的发散)
4.a>1,lnx^b >1(大的收敛,小的也收敛)
用比较判别法
2.注意
1.做大题,有瑕点时
在瑕点处一定写成极限的形式: ε→0﹢或+∞
5.一些定理T
1.积分中值定理: ξ∈[a,b]
1.利用介值定理证明,所以为闭区间
2.一般用于积分前面的系数与积分区间长度互为相反数
2.积分中值定理的推广: ξ∈(a,b)
1.构造原函数,用拉格朗日中值定理证明,所以为开区间
2.用于区间和函数值会重合的情况,用此定理可保证取不到端点值
3.积分平均值
f(x)在[a,b]上的平均值=f(x)在[a,b]上的积分/(b-a)
4.积分第一中值定理
1.条件: f(x),g(x)在[a,b]上连续,g(x)≥0,存在ξ∈[a,b]
2.证明: 利用f(x)的介值定理,一步步推证,加到要证的形式,最后同除以g(x)在[a,b]上的积分≥0
5.柯西不等式
1.证明: f(x)恒等于0时,显然成立
2.f(x)不恒等于0: 任意t,[tf(x)+g(x)]²≥0,展开后关于t的二次函数,同时在[a,b]上积分,t²系数>0,且式子≥0,所以∆=b²-4ac≤0,得证
掌握证明
6.积分的不恒等问题
f(x),g(x)在[a,b]上连续,f(x)≥g(x)且f(x)不恒等于g(x),则f(x)在[a,b]上的积分>g(x)的积分
满足条件时,可将等号去掉
6.一些概念
1.原函数存在 与 可积性(定积分存在)
1.连续函数必有原函数,也一定可积
2.有第一类间断点的函数,没有原函数,但可积,且积分上限函数连续
个别点不影响积分的结果
3.无界函数一定不可积,但可能有原函数
4.f(x)可积 →积分上限函数F(x)连续,但不一定可导 f(x)连续 →F(x)可导
连续性 > 可积性
5.连续函数一定可积,但可积的不一定是连续函数
2.原函数 与 积分上限函数
1.当f(x)有第一类间断点时: 原函数不存在(原函数本质是不定积分,是一个函数)
2.当f(x)有第一类间断点时: 积分上限函数在X0处连续,也存在(本质是定积分,是一个数,个别点不影响结果)
3.当f(x)在x=a处为可去间断点时: 积分上限函数在x=a处可导
4.当f(x)在x=a处为跳跃间断点时: 积分上限函数在x=a处不可导
7.题型
1.S1=f(x)在[a,b]上积分,S2=f(b)(b-a),S3=1/2[f(a)+f(b)](b-a)
1.S1为曲边梯形面积,S2为长方形面积,S3为梯形面积
2.f'(x)>0时,S1<S2, f'(x)<0时,S1>S2
3.f''(x)>0时,S1<S3, f''(x)<0时,S1>S3
2.等式中含未知函数的定积分
1.定积分本质是个数,直接令定积分=A
2.替换后,不断对等式进行变换,向定积分的形式转化,最后得到关于A的等式,可解出A
2.计算
0.注意
1.含有根号的
1.含平方的
1.无论根号里面是什么,换元的目的都是出现平方相乘,可以消去根号(可令任何式子=asint,只要能消去根号)
2.不含平方的
1.无法消去根号,直接令整体=t
1.定积分的计算
1.区间再现公式
1.x+t=a+b
2.消去其中的x
若为cosx,应为偶次方时可用
2.华里士公式
1.偶数时: 最后为(1/2)(π/2) 奇数时: 最后为1
3.常用含三角函数的积分等式
1.在含sinx,cosx的积分计算/等式证明中,常令x=π±t,x=π/2±t
2.
必须在[0,π/2]上
4.区间简化公式
1.转化到[-π/2,π/2]: x-(b+a)/2=sint·(b-a)/2
适用于根号下(b-x)(x-a)
2.转化到[0,1]: x=a+(b-a)t
5.对称下的积分问题
1.在(a,b)上,x-(a+b)/2(对称轴)也为奇函数=0
看到积分中含有单独的x,必写成x-(a+b)/2+(a+b)/2,就只剩下常数
2.
1.(e^sint)sint在[x,x+2π]上积分
1.周期函数先转化到[-π,π]上
2.利用前面结论到[0,π]上
3.(e^sint-e^-sint)sint在[0,π]上≥0,且不恒等于0,积分>0
F2: 利用分部积分法 也可以判断
6.定积分换元法的几点注意
0.做之前,首先观察奇偶性,周期性,对称性(简化积分),再考虑换元/三角变换
注: 常考积分平均值
在(0,2)上的积分平均值=在(0,2)上的积分/2
2.变限积分的计算(数二必考)
1.f(x)的反函数为g(x) →g[f(x)]=x
2.f(x)与其变上限积分函数的原函数关系
3.积分等式与积分不等式
1.积分等式问题
1.常用积分等式(见定积分的计算)
1.区间再现/区间简化
2.通过证明某些特殊积分等式求某特殊积分
3.积分形式的中值定理(范围中出现闭区间)
2.积分不等式问题
1.用函数的单调性
1.将上限/下限变量化,移项构造辅助函数
1.多用于: f(x)在[a,b]上连续
2.整个式子除了积分变量外,无其他变量
2.处理被积函数
1.用积分保号性
告知f(x)≤g(x)
2.用拉格朗日: 再作不等式,再用积分保号性
1.多用于: f(x)一阶可导,且题中有较简单的函数值
2.告诉两个函数值相等,用两次朗格朗日
3.用泰勒公式: 再作不等式,再用积分保号性
1.多用于: f(x)二阶或更高阶可导,且题中有较简单函数值
4.用放缩法: 常见不等式,再用保号性
1.|sinx|≤1,|cosx|≤1,sinx≤x,|f(x)|≤M,基本不等式
5.用分部积分法: 升降阶为主
6.用换元法: 见到复合函数的积分,直接不好积,换元后上下限必然变复杂
sin(e^t)
1.令e^t=u,换元后用分部积分法
2.将所有的与cos有关的,用≤1放缩掉
sinf(x)
1.令f(x)=t,换元后涉及反函数的问题
2.写出反函数:x=f﹣¹(t)=ψ(t),方便对dx写出结果
3.ψ'(t)=1/f'(x),可确定范围放缩掉
4.换元后,上下限必然变化,放缩到[0,π],对sinx积分取最大值=2(一拱)
2.1 常用思想T
1.看到积分外面有绝对值
立刻放到积分里面去(变大)
2.看到积分外面有平方,积分里面为两函数相乘
将平方放到两函数上,且拆成两积分相乘的形式(放大)
柯西不等式定理
3.无平方,无绝对值
对等式积分
4.不等式两边的积分区间有明显变化[0,1]
用区间变化的换元公式
5.积分前面的系数与积分区间长度互为相反数
用积分中值定理
6.f(x)一阶可导
1.积分中无f'
用拉格朗日中值定理
2.积分中有f'
用N-L公式,上限为x
出现3个点,有两点相等时,都用两次
7.f(x)二阶/高阶可导:泰勒公式
1.若证ξ∈(a,b)
1.用F(x)积分上限函数在两个端点处展开,从而限制了两个ξ₁,ξ₂取不到端点
2.两个F(x)相减后得到要证的积分与两个ξ有关
3.再在[ξ₁,ξ₂]上用介值定理时ξ∈(a,b)开区间
2.若证ξ∈[a,b]
1.直接用f(x)在x处展开得到一个等式
2.直接在等式两边在所证区间积分,根据二阶导连续(存在m,M),可得到关于f''(ξ)积分的范围,变换为[m,M]
3.这时再用介值定理就是在[a,b]闭区间上
3.用夹逼准则: 求解一类积分的极限问题
1.对积分用夹逼准则,在极限下趋于同一值
2.对积分放缩时,只能确定一端,另一端先不用确定,一般都是常数,将确定的一端算出来即可确定另一端
4.曲边梯形面积的连续化与离散化问题
1.一般图像类似于反函数图像,且有明显的连加形式
2.利用曲线上方的n个长方形与下方的n个长方形用夹逼定理
[k,k+1]上的积分 < 1/k < [k-1,k]上的积分
1/k可换成其他类似反函数
3.常用公式: 1/(1-x)= 1+x+x²+...+xⁿ+...
可以直接将其中的x用其他量替换掉
4.几何应用
1.研究对象
2.研究内容
1.面积/旋转体体积/平均值
2.平面曲线的弧长
3.旋转曲面的面积(侧面积)
4."平面上的曲边梯形"的形心坐标公式(热点)
1.x的形心与y的形心利用累次积分展开后是不一样的
2.可由0→f(x),推广为g(x)→f(x)
3.若f'(x)>0,证x的形心>1/2
1.写出形心公式化简后要构造辅助函数,不能用1/2当作系数,因为形心随着x的变化而变化,用1/2当系数最后得不到具体值,应该也使用变量x/2当作系数,代入1即可
2.求导后,对积分用积分中值定理化为统一形式,即可比较大小,判断正负
3.若告诉f''(x)>0,求二阶导,先推一阶,再往回推即可
5.平面截面面积为已知的立体体积
补充: 复杂函数画图问题
1.直角坐标下
1.首先确定函数经过的特殊点
2.再确定函数是否具有奇偶性,周期性(对称画图)
3.最后确定函数的单调性与凹凸性,画出大致趋势
1.判断凹凸性可确定切线是在上方还是在下方
2.极坐标系下
1.先画出极坐标方程在对应的以θ为x轴,r为y轴下的直角坐标的图形(方程保持不变)
2.在直角坐标中找到特殊的点,对应点在极坐标系下一一描点即可
3.将直角坐标下θ的长度转化为极坐标系下θ的角度大小即可,r仍然为长度
5.物理应用(微元法)
1.总路程
2.变力沿直线做功
1.dW=Fdx
取距离微元dx,力在每个距离微元上都不同
3.提取物体做功
0.公式
W=Fx, F=ρgv=mg, V=A(x)dx
dW=xρgA(x)dx
1.抓斗上升
1.取距离为微元dx,因为在每个距离微元上,质量,做功都不一样
2.与时间有关时: 取时间微元dt,dx=vdt
2.球体内抽水
1.取体积为微元,因为在不同位置上体积不同,而同一体积在不同位置上没有变化
2.不同的微元体积在上升时所经过的路程是不一样的: h-y
3.将球捞出水面
1.会构建坐标系: 以水面为x轴做直角坐标系
4.静水压力
F=PS,其中P为压强P=ρgh,S=xy
取面积微元dS=xdy,随着面积在变化,h也在变化
5.细杆质心
在形心的基础上多加了线密度,公式中同时多乘线密度再积分
6.其他重要应用
单位面积上的量*单位面积
一般为圆环S=2πrdr
第四章 多元函数微分学
1.概念
1.求多元函数极限
除了洛必达法则/单调有界准则不能用,其他都可以用
2.题型
1.先对x求5阶偏导,再对y求5阶偏导
将x,y拆开分别用高阶导数展开式
2.由极限判断可微的条件
1.写出可微的定义式,其中A,B是与x,y无关的常数,可取0
2.将极限利用脱帽法化为等式,与定义式进行对比
3.求偏导数
0.总规则: 先代后求
1.求x的偏导时,一定先将y的值代入,其他与x无关的值也一样代入,简化计算
1.混合偏导数连续时
可以交换求导次序,简化混合偏导的计算
2.链式法则
无论z对哪个变量求导,无论z已经求了几次导,求导后的新函数仍然具有与原函数完全相同的复合结构(书写规范)
4.求dz时
一定写成dx+dy的形式,其系数为对x,y的偏导数
5.f(u,v)满足关于x,y的等式,求f(u,v)
将f内部的式子换元=u和v时,立刻反解x,y,即可用u,v表示x,y
不要想着将x,y向u,v凑
2.复合函数求导法
1.f里面套f
1.一定要保证里面的f与外面的f的对应法则完全一致,不能因为里面的简单就不一致
里面也要写成f₁' 不能写成fx'
2.f里面的东西不能省,否则就无法区分里外层的f
3.隐函数求导法
1.一个方程的情形
1.证明题用公式法比较简单
az/ax=-Fx'/Fz'(x,z相互独立)
2.方程组的情形
1.用补充公式,背公式
3.求某个式子的结果时
求偏导得到方程后,不需要将偏导数解出来,直接在方程上进行变换向题目凑,其他项自然会抵消
4.多元函数的极/最值
1.无条件极值
1.直接对x,y求偏导,令偏导=0得到x与y的关系,解出x,y(同时确定z)
2.再对x,y求偏导,得到三个二阶偏导数,将求出的x,y,z及两个一阶偏导数=0都代入
3.得到A,B,C的值,判断AC-B²,>0有极值,A>0,极小值
2.条件极值
1.解拉格朗日方程组的方法
0.L分别对x,y,z,λ求偏导
1.消元代入法(xy乘在一起)
消去λ,用两式相除,得到x与y的关系,再代入剩下的方程
2.定一个(方程中只含x或y)
先根据一个方程确定解的情况,分别代入其他方程
3.求λ(方程中有x,y,但未乘在一起)
先确定x,y同时取0不成立,所以方程组有非零解,行列式=0
4.观察法,直接看出解
5.字母的轮换对等性
x=y,若x²=y²,x=±y
技巧
1.没时间解方程组,随便写几个解(认真,工整),能得2分
2.方程中含有根号,不方便求导,把根号去掉,求导得到的点一样
三次根号也可直接去掉,|u|用u²
2.易错点
1.对于约束条件z=x²+y²
一定要转化为x²+y²-z=0的形式
2.对于曲线上的点到原点的距离
1.一定分清目标函数和约束条件(曲线为约束条件)
2.用距离的平方计算,没有根号,方便求导
3.一般在使用拉格朗日乘数法/解方程时
会默认一些变量>0,最后一定要讨论变量=0的情况下的极最值
3.闭区域上的最值
1.先求区域内部的驻点
直接对目标函数求偏导=0,得到驻点
2.再求边界上的最值
1.若边界方程简单,可直接使用消元法,代入目标方程求最值
2.若边界方程复杂,可利用拉格朗日乘数法求极值
3.将所有可能的点计算出来,进行比较
5.偏微分方程
1.已知偏导数(偏增量)的表达式,求z=f(x,y)
1.注意加的不是c,而是关于x或y的函数
2.偏增量形式: 只留下∆x,前面系数即对x的偏导,其余写成O(∆x)
3.fx'(x,y)+f(x,y)=0,求f(x,y)
移项写成相除=-1,两边对x积分,即为ln[f(x,y)]=-x+c(y)
2.给出变换,化已知偏微分方程为常微分方程,求f(u)
1.根据等式化简后,最后必然只能剩下u,必须将所有x,y转化为u,否则无法求解
3.给出变换,化已知偏微分方程为指定偏微分方程及其反问题
1.等式在线性变换ξ=x+ay,η=x+by化简
1.将ξ,η看作是中间变量,x,y看作是最终变量化简
2.z对ξ的偏导,与z本身有有相同的对应法则
第五章 二重积分
1.概念
1.和式极限
1.这里的D不是一般的平面有界闭区域,而是一个"长方形区域"
2.前面的系数为1/n²,相等于平分为n²等份
一重积分为1/n,相当于平分为n等份
2.普通对称性
0.利用对称性
1.首先判断积分区域关于哪个轴对称,再判断被积函数关于另外一个轴为奇函数=0,偶函数=2倍
1.找对称点: 设(x,y),在不同对称轴下找对称点,直接代入函数即可
1.关于x=a对称,对称点(2a-x,y)
2.找到在不同对称轴下变换与不变的量
必用技巧
1.D关于x=a对称(任意对称轴),被积函数为x+y的线性组合
1.x-对称轴 为奇函数 在D上的二重积分=0
2.x+y变化为x-a+a+y,前部分为0,只要算后部分
3.关于y=a也是同样的处理
3.轮换对称性
1.前提: D中x,y对调后,D不变才可以使用(相当于坐标轴的旋转)
一般为正方形区域/圆
2.适用条件: f(x,y)不好算,且f(x,y)+f(y,x)=a,则I=a/2SD
1.e^siny + e^(-sinx)
变换后用基本不等式
2.cosx²siny²
变换后=sin(x²+y²)
或放缩: ≤siny²≤y²≤x²+y²
4.二重积分比大小
1.对称性
1.被积函数为y-x,关于y=x对称的两点代入被积函数互为相反数
相当于y-x关于对称轴y=x为奇函数
2.D本身不对称,但D中包含对称区域
将D划分为两个区域,对称区域积分=0,非对称区域看x,y的关系
2.保号性
1.被积函数为y-x(开三次根号也一样),观察在D中x,y的大小关系,可直接确定二重积分的正负
5.周期性
1.化为累次积分后,一元积分有用周期性的机会,可简化计算
2.周期函数的面积在一个周期内与积分区间无关
1.cos(x+y)
1.对y积分时,cos(a+y)相当于cosy的水平平移
2.只要区间为2π,x取任何值都不影响结果=0(一拱=2,注意正负)
3.x和y的范围都必须是[0,2π],其他区间不行
4.若为|cos(x+y)|,周期为π,区间取[0,π]
6.形心公式反用
1.形心(x',y')
1.当被积函数为x,y的线性组合时: ax+by+c,二重积分=(ax'+by'+c)SD
2.只能为线性组合,若为x²不可以
2.计算
1.直角坐标系与换序
1.换序时一定确保积分上限>下限
2.极坐标系与换序
1.换序前: 先θ后r,相当于先用一条射线旋转着射出去,先确定θ的取值,再根据射线的交点确定r的取值
2.换序后: 先r后θ,相当于先用一个以圆点为圆心,半径不断变大的圆一层层切出去,先确定r的取值,再根据圆的相交确定θ的取值
3.直极互化
注
1.关于积分区域D
1.直角系方程给出
1.已知曲线
2.未知曲线
学会画图: 见第三章-4.几何应用-补充
2.极坐标系给出
1.适用条件
1.D为圆或圆的一部分(圆环/扇)
2.被积函数: x²+y²,y/x=tanθ,arctan(y/x)=θ
3.参数方程给出
1.化为前述直角坐标/极坐标
4.动区域: x²+y²≤t²
2.关于被积函数f(x,y)
1.分段函数(含绝对值)
重点
2.最大/最小值函数: max/min{ }
3.取整函数: [x]
4.符号函数: sgn(x)
5.抽象函数: f(x),f''(x)
6.复合函数: f(u),u(x,y)
7.偏导函数: fxy''(x,y)
重点
3.换元法
1.f(x,y)中的x,y同时换掉: x=(u,v),y=(u,v), 多加一个系数|α(x,y)/α(u,v)|(行列式)
1.与累次积分中的换元(只能换一个)不同,另一个相等于常数
2.cos(x-y/x+y)
令x-y=u,x+y=v
整个D都会变化,用边界线确定
先对分子积,再对分母积
3.应用
1.面积
第六章 微分方程
1.一阶微分方程的求解
1.可分离变量型
1.能写成y'=f(x)g(y)
2.能写成y'=f(ax+by+c)
令u=ax+by+c,du/dx=a+b(dy/dx) →dy/dx=(du/dx-a)/b =f(u),再用分离变量
2.齐次型
3.能写成y'=f(y/x)或f(x/y)
令y/x=u或x/y=u, y=ux, dy/dx=u+xdu/dx
u也是x的函数
3.一阶线性型
4.能写成y'+p(x)y=q(x)
5.能写成y'+p(x)y=q(x)y^n
令z=y^(1-n)
伯努利方程
2.二阶可降阶微分方程的求解
1.能写成y''=f(x,y')
1.令y'=p,y''=p'
2.看到pdx-xdp
d(x/p)=(pdx-xdp)/p²
2.能写成y''=f(y,y')
1.令y'=p, y''=p(dp/dy)
3.高阶常系数线性微分方程的求解
1.能写成y''+py'+qy=f(x)
2.能写成y''+py'+qy=f₁(x)+f₂(x)
4.用换元法求解微分方程
1.用求导公式逆用来换元(数二不提示)
1.(siny)'=cosy(dy/dx)=y'cosy
2.用自变量来换元(有提示)
x=e^t,x=-e^t(欧拉方程)
注意:当x=e^t时: 1/x=e^-t, (1/x)'=-e^-t=-1/x(及时化简)
3.用因变量来换元
y=?
4.用x,y地位互换来换元
dx/dy=1/y' d²x/dy²=-y''/(y')³
5.应用题
1.用极限或导数定义建方程
2.用几何应用建方程
3.用变化率建方程
1.元素衰变问题(在减少,λ为负)
dN(t)/dt=-λN(t) →N(t)=N0·e^(-λt)
2.人口增长问题(在增加,λ为正)
dN(t)/dt=λN(t) →N(t)=N0·e^(λt)
3.曳物线问题(追踪问题)
利用两点之间距离不变 + 斜率(注意正负) 建立方程
4.冷却定律
dT/dt=-k(T-a)
任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质(a)的温差成正比
5.牛顿第二定律
F=ma
4.微元法(用不了有效的等量关系)
1.溶液浓度的变化
1.取t时刻溶质为m(t)
2.取[t,t+dt]时刻,dm=入-出=0-(m/100)(2dt)
有100L溶液,每分钟加入2L清水,抽出2L溶液
3.将dt除过来,即建立一阶线性微分方程,求解
做题技巧
1.总技巧
1.大题
1.★大题有2小问时: 第一问的所有结论一定都可以用在第二问中,一点都不会浪费
2.题型
1.直接求角度或某个量不好算时
可用tan(x-y)的公式转化
2.x的范围是无数个区间的组合,且两端极限相同,求f(x)/x 周期函数(都可用此法),求变上限积分/x
用夹逼定理,将x的区间代入变上限积分=图形的面积,取(n,n+1)区间的面积用夹逼定理
3.惯性思维
1.f(x)与f'(x)的关系
1.由f'(x) →f(x)
用N-L公式,先将f'(x)中不好积分的部分放缩掉
2.由f(x) →f'(x)
1.一般用拉格朗日中值定理
2.若已知f''(x)正负,用泰勒公式,可知f''(ξ)正负,放缩掉
3.由f(x) →f'(k)
泰勒公式,其中x0取k
2.求导判断单调性时
1.首先判断f(x)的奇偶性,缩减区间,含有ln时特别注意
3.放缩思想
1.将特别明显的与1的关系放缩掉: 1+f²(x),1+x²/1-x²
2.积分的两种放缩形式
1.对被积函数的放缩
放缩掉不好积分的部分:ln(1+x)≤x,sinx≤x,cosx≤1,e^t/(t+1)≤e^t
2.对积分区间的放缩
1.若被积函数为根号,将x放大到∞可得到具体值
2.若被积函数为sinx,将区间放缩到(0,π)面积最大
4.比较大小
1.看到函数与积分在一起
利用积分中值定理,都化为函数形式
2.看到函数与其一阶导数在一起
利用拉格朗日中值定理,都化为一阶导数形式
关键在于统一形式
3.n→∞时,x^n 与 x^2n
需要分情况讨论,在[0,1)上前者大,在(1,∞)上后者大
5.看到分式,分母为平方,且将f(x)展开特别复杂时
1. f'(x)(1+x)-f(x)/(1+x)²,f(x)已知
2.一定观察下分式是否为某个分式求导的结果
6.被积函数为抽象函数
1.考虑轮换对称性,相加后可以消去抽象函数
2.不会做,根据抽象函数满足的条件,取一个最简单满足条件的函数直接代入
7.sinx,cosx在周期上积分
1.在一个周期上,只要为奇次幂,结果都为0,偶次幂为2倍
2.在[0,π]上,sinx为2倍,cosx奇次幂为0,偶次幂为2倍
4.必背知识
1.奇函数(求导时可缩减区间,积分对称区间可直接去掉)
1.ln(1+x/1-x)=g(x)-g(-x)为奇函数
2.
2.背熟稍高阶的展开式,直接写答案
1.3阶系数:1,3,3,1
2.4阶系数:1,4,6,4,1
3.5阶系数:1,5,10,10,5,1
第一章 极限
1.惯性思维
0.理论
1.看到f(x)在[a,b]上连续
1.存在m,M,且对于任意c∈[m,M],存在ξ∈[a,b],使f(ξ)=c
最值定理+介值定理
2.如果f(a)f(b)<0,存在c∈(a,b),使f(c)=0
零点定理
2.只要看到关于两个函数相除/相乘的有关结论
1.考虑用相除/相乘和一个函数来表示另外一个函数,从而得到其性质
一般都是正确的
2.f(x)连续,g(x)有间断点
1.g(x)/f(x)必有间断点
2.可以反证,若g(x)/f(x)连续,则g(x)=g(x)/f(x)·f(x)也连续
3.f(x)g(x)在x→∞时=0
1.若1/f(x)为无穷小,则g(x)必为无穷小
2.g(x)=f(x)g(x)·1/f(x)为无穷小
1.x→∞时
1.极限中有分式不齐次
同乘某个数,将分式变成齐次,即可得到常数值(最高次系数比)
1.1 n→∞
1.含有n!
用定积分的定义,先用e抬底,将相乘化为相加的形式
2.x→-∞时
0.总规则
利用换元将x→-∞转化为x→+∞/0﹢,否则与根号有关时,还需要考虑正负号的问题
1.不是分式
用t=-1/x,t→0﹢,且变为分式,方便化简
2.是分式
用t=-x,t→﹢∞
只要是∞/∞型,不管含sinx,cosx,e^x,根号,都尝试同时除以大头
3.x→0时
1.x-ln(1+tanx)
补上 -tanx+tanx 后,可用等价无穷小替换
2.(1/根号x)^tanx
1.e抬底后,相乘的形式要及时将tanx等价为x,简化计算
2.ln中x的形式较复杂,及时化简出来,成为系数
3.根号+根号-a
可同乘 根号+根号+a,也可对根号用泰勒公式
4.复杂式子中含有e^x / e^(1/x)
想办法凑出(e^x-1)
4.x→0﹢时
1.分式中含有e^(1/x)
e^(1/x)→∞,不好计算,同乘e^(-1/x) →0,方便计算
2.lnxln(1-x)
ln(1-x)～-x, x^x=1 ,xlnx=0
5.x→1时
1.可尝试换元x-1=t,可能会更方便地看出常用的等价无穷小
1. x-1-lnx → t-ln(1+t)
2.题型
1.函数/极限性质
1.判断无界或无穷大
1.关系: 无穷大一定无界,无界不一定无穷大
2.常见无界但不是无穷大: x→0时,(1/x)sin(1/x) x→∞时,xsinx (换成cosx也一样)
1.对于x→∞,用x=2kπ和x=2kπ+π/2证明
2.对于x→0,取倒数即可
2.判断两个数列有界/无界的关系
1.可以用分段函数来举例(结论一般都不对)
3.已知一个数列为无穷小,判断另一个数列是否无穷小
1.用已知数列和题目凑出未知数列,从而进行判断
4.关于"ε-N"语言(99年考过一次)
2.计算
1.七种未定式
1.分母较复杂(不同类型)且容易比较高低阶
低+高=低,先将分母化简
2.含根号复杂式子-1 (或相反形式)
1.式子很复杂: 用等价无穷小替换:x-1～lnx(x→1),可消去1和根号
2.只有一个根号: 考虑根号下+1-1的等价无穷小
3.只要是∞/∞型,不管含sinx,cosx,e^x,根号
都尝试同时除以大头的形式
4.根号-根号
1.2次根号-2次根号
分子有理化
2.2次根号-3次根号
令6次根号=t
3.n次根号-n次根号(里面含有xⁿ)
提出xⁿ,凑成(1+x)ⁿ-1的形式
5.分子含sinx,arcsinx,tanx,arctanx,分母对应为x³ 分子含ln(1+x),分母对应为x²
0.都可以用加减某项,再拆开凑常见差函数的等价
1.x-ln(1+tanx)
补上 -tanx+tanx 后,可用等价无穷小替换
2.与二阶微分方程结合
1.y=y(x)是y''+py'+qy=e^3x满足y(0)=y'(0)=0的特解 求x→0时,ln(1+x²)/y(x)的极限
1.将初始条件都代入得: y''(0)=1
2.分子等价x²,用两次洛必达,得到y''(x),将0代入即可
3.含变限积分的极限
1.变限积分较复杂
1.不方便直接用洛必达时,不要硬凑,先对变限积分进行化简,自然会得到想要的结果
2.变限积分中出现f(x-t)
1.立刻用x-t=u换元
2.确定上下限时,一定不要自己随意交换上下限顺序(上限<下限时)
3.只告诉f(x)连续
0.只能对变限积分求一次导,不能再对f(x)求导
1.f(0)≠0
向f(0)靠近,可用积分中值定理化简积分/极限四则运算拆开分别算
2.f(0)=0,f'(0)≠0
向f'(0)靠近,利用f(0)=0配凑出在x=0处的导数定义
一般同除以x/x²对积分可单独再求导
4.中值定理求极限
1.f(x)具体型
1.两式形式类似相减,用拉格朗日,根据x/n的趋向,用夹逼定理确定ξ的值
2.f(x)抽象型,二阶可导,已知f'(0)=0,f''(0)=a
1.抽象型用拉格朗日无法直接得到f'(ξ)的值,只能利用f'(0)向二阶导数的定义凑
2.此时会多出ξ/x,再利用x的趋向用夹逼定理求值(注意对x>0/<0的讨论)
5.含抽象函数的极限
1.利用基本的恒等变形,把待求极限与已知极限联系起来
2.对已知函数使用泰勒展开
3.利用脱帽法,将极限转化为函数,直接求未知函数
6.已知极限反求参数
1.利用两个常用结论: 分子极限为0,分母极限也为0,反之也成立
2.对已知函数用泰勒公式,与未知量重新组合,确定系数
3.直接利用常见的等价无穷小差式
3.局部保号性
1.已知极限的值(里面含二阶导数),问x=0是什么点
1.根据极限的值确定函数与0的关系,根据δ>0,确定分母的正负,进而确定二阶导数正负
2.由二阶导数正负,可确定一阶导数在(-δ,δ)内的单调性,从而确定x为什么点
4.n项和,积的极限
1.夹逼定理(分子分母各自的次数不齐)
2.定积分定义(分子分母各自的次数齐)
1.基本型(能凑成i/n,提出1/n)
1.从1加到n,转化为(0,1)上的积分,i/n直接换成x
2.从1加到2n,转化为(0,2)上的积分,i/n直接换成x
2.放缩型(不能凑成i/n)
1.夹逼定理: n²+i
2.放缩后再凑成i/n
1.(i/n)² < i²+1/n² < (i+1/n)²
3.变量型(凑成xi/n,提出x/n)
转化为(0,x)上的积分,xi/n直接换成t,其他部分不变
4.注意
1.有时前面给的不是1/n,而是sin(1/n)
用等价无穷小替换
2.不是n项和,而是n项积(n!)
1.先用e抬底,指数为ln形式,拆开即为n项和
2.
=(n!/n^n)^(1/n)
e抬底后可拆为n项相加
两者可结合使用,先用夹逼定理将分子分母放缩为齐次,再利用定积分的定义
3.先和,积,再极限(分式可拆为两项)
1. 2/(2k-1)(2k+1) =[1/(2k-1)]-[1/(2k+1)]
5.连续与间断点
1.注意
1.出现e^x,arctanx,趋向∞时,一定要分左右讨论
2.出现 |x|时,也要分左右,一般左右都不相等,相差一个负号
2.连续函数的复合运算
1.只有连续函数复合连续函数是连续函数,其他各种复合是没有结论的
2.一个连续函数和有间断点的函数复合,什么情况都是可能的,选项出现直接排除 f(g(x))
3.只要看到关于两个函数相除/相乘的有关结论
1.考虑用相除和一个函数来表示另外一个函数,从而得到其性质
一般都是正确的
2.f(x)连续,g(x)有间断点
1.g(x)/f(x)必有间断点
2.可以反证,若g(x)/f(x)连续,则g(x)=g(x)/f(x)·f(x)也连续
4.看到x/sinx类似形式讨论间断点时
1.一定要分x=0和x=kπ(k是不为0的整数)两种情况讨论,结果是不同的
2.第一种为可去间断点,第二种为无穷间断点
3.若为x-x³/sinπx,还要讨论x=±1的情况,也是可去间断点,求的时候不能用等价无穷小
5.求a为何值时,f(x)在x=0连续;x=0是可取间断点
1.先不用管两种情况的讨论,直接令0的左右两边相等,得到具体a的值(多个),再把每个值代入讨论
第二章 一元函数微分学
1.惯性思维
0.理论
1.Δy为曲线的增量,dy为曲线上某点处的导数的增量
1.中值定理
1.两式相减结果含θ
往拉格朗日的变体形式上凑: f(b)-f(a)=f'[a+θ(b-a)](b-a)
2.导数定义
1.看到f'(0)=0,f''(0)=a
利用f'(0)向二阶导数定义配凑
2.题型
1.导数与微分的定义
1.判断是否是可导的充要条件
1.x→+∞/0﹢时,一定错,只能保证右导数存在
2.分子都是变量形式的组合,没有常数f(a),一定错
不能拆开,不符合极限四则运算,可能两部分都不存在
2.可导函数与连续但不可导函数的乘积的可导性 (看到表达式中含有绝对值 |g(x)|)
1.结论: f(x)在xo处可导,g(x)在xo处连续但不可导,则F(x)=f(x)g(x)在xo处可导当且仅当f(xo)=0 且F'(xo)=0
2.F(x)=f(x)(1+|sinx|),f(x)可导,乘出来后只需要判断f(x)|sinx|是否可导
3.增量Δy的线性主部
Δy=AΔx+O(Δx),其中AΔx为线性主部,A=y'(xo),注意y可能是复合函数
4.已知一点处导数的正负
不能确定函数在此点邻域内的单调性,只能用极限的局部保号性
5.看到n次根号下xⁿ的表达式
1.一般会写出分段函数,再结合图形,很容易地看出哪些点不可导
1.凹凸性
1.f(x)=(x-1)(x-2)²(x-3)³(x-4)^4,问(1/2/3/4,0)哪个是拐点
1.直接求二阶导数不好求,利用凹凸性定义,比较f(x₁+x₂/2)与f(x₁)+f(x₂)/2的大小
2.对于(2,0)点,可以取3/2和2 与 5/2和2分别代入上式比较大小,分别求出两边的 凹凸性,不一致为拐点
2.f''(x)>0 →f(x)>f(xo)+f'(xo)(x-xo)
1.证明: 利用泰勒展开式到二阶,放缩后即可证明
2.
1.特点: 两边的运算完全相同,只有次序不同
2.将f(x)在[0,1]的积分视为常数=to,左边相当于lnx将to代入
3.构造辅助函数h(x)=lnx,二阶导<0,利用前面的性质
4.下面就是将不等式向右边凑近,将x用f(x)替换,再将整个不等式在[0,1]上积分
5.此时不等式的左边变为题目的右边,不等式右边括号里的x经过变化后正好是 f(x)在[0,1]的积分=to,将一阶导消去,剩下的h(to)正好就是题目的左边,得证
3.f(k₁x₁+k₂x₂+...+knxn)≤k₁f(x₁)+...+knf(xn)
1.条件: f''(x)>0,ki>0,k₁+k₂+...+kn=1
2.同样将左边括号内看做一个数=to,二阶导>0,利用前面性质得到不等式
3.同样将不等式向题目右边配凑,得到n个不等式
4.将n个不等式相加后,左边变为题目右边,右边根据已知正好将一阶导消去,剩下的为题目左边
第三章 一元函数积分学
1.小技巧
变限积分中被积函数为根号形式,想得到具体值
将上限x放大到∞,对根号的积分能到具体值
2.必用技巧
0.做不出来,无法继续化简
分子分母同乘/除以 一个简单因子: e^x,x^k,sinx,cosx
1.定积分
0.做之前
1.首先观察奇偶性,周期性,对称性(简化积分),再考虑换元/三角变换
2.首先观察定积分是否为反常积分(尤其区间有限时),给出判断依据,换元时瑕点体现在开区间上
1.看到积分中含有单独的x(对称问题)
必写成x-(a+b)/2+(a+b)/2,就只剩下常数
2.看到根号下a²-t²
用上半圆的面积计算积分
3.看到
,即F'(x)F(x),对它积分可得到:1/2F²(x)+c
4.看到
1.里面(4-x)x,直接令x=4sin²t,不用化为完全平方形式,不用担心次数太高 (有华里士公式(0,π/2)上),这样对于外面的x²来说只有一项,计算更简便
2.不绝对,具体分析,有时配凑后可以都消去(对称),更简单
5.看到sinx,cosx在一个周期的积分
一个周期上的积分=0,及时消去,简化计算
6.看到分式,分母为平方,且将f(x)展开特别复杂时
1. f'(x)(1+x)-f(x)/(1+x)²,f(x)已知
2.一定观察下分式是否为某个分式求导的结果
2.分式拆分
1.不用全部算出来对比系数,因为是恒等式,直接令t取特殊值,消去其中的几部分
2.易错
1.一定先将分母因式分解,直到不能再化简为止(t²-1)=(t+1)(t-1)
2.拆开后全是相加的形式,不要用减号(除非很容易看出来的情况)
3.(x-a)²,分子为常数,主要看括号内x的次数,不是括号外的次数,一定拆成两项(x-a)和(x-a)²,分子都为常数
3.不定积分
1.含根号
1. 1/根号下x(x+1)
1.分母直接提出 根号x,放进去=2d(根号x),剩下的分母为其 根号下平方+1的形式
2.括号里为(x-1),(1-x),都是同样的操作
2. 1/x根号下x²-1
根号里提出x²,与外面的x组成x²,放入d中为-d(1/x),根号下为1-(1/x²),结果为-arcsin(1/x)
2.分部积分
1.分部积分时含有 lnx,arctanx等无法积分的,被积函数只能是lnx,其他都放到d里面(不必再d出来,直接分部积分)
2.充当dv的函数类型要保持一致,方便相互抵消或出现原式
3.倒代换:x=1/t
适用于分母中x的最高次比分子中x的最高次 高2次或以上
4. arctanx/x²(1+x²)
1.不能用x=tant换元,无法做
2.看到arctanx与1+x²,必定放在一起,将分母拆开相减,分子都为arctanx,前面分部积分,后面直接得结果
5.看到arcsinx与其他混一起时
直接令arcsinx=t换元更简单
6.含指数
1.xa^(x/a)
一定将指数函数放入d中,将x放入会更麻烦,做不出来
4.变限积分
1.tf(x²-t²)dt
令u=x²-t²,直接求dt不方便,利用du将t看作变量,求出du与dt的关系,反解后即可得到dt与du的关系
5.几何应用
1.求体积最值时
不用将体积通分算出来,比较麻烦,可直接对体积求导,确定驻点
2.求弧长时
根号下比较复杂时,先进行化简,一般可以直接开根号出来
3.求表面积
1. S=2π|y|ds
2.一般表面积都为几部分之和,不止一部分
4.必背结论
1.含根号
1. 1/根号下(x-a)(b-x)在[a,b]积分 =π(结论)
利用区间简化公式到[-π/2,π/2]上, x-(b+a)/2=sint·(b-a)/2
2. 根号下(x-a)(b-x)在[a,b]积分 =(b-a)²π/8(结论)
2.(e^ax)(cos^bx) 或 (e^ax)(sin^bx)
1.大题: 一直将sinx/cosx放入d中,一定会出现原式
2.小题: 背公式=(1/a²+b²)(前导后不导 - 前不导后导) (前面必须是e^x)
3.Pn(x)e^ax Pn(x)sin^ax Pn(x)cos^ax
Pn(x)一直求导为常数,另一项一直对上一步积分(多积一次),错位相乘,正负相间 +C
4.(x^a)(e^-x)在(0,+∞)上积分
1.利用Γ函数: a为整数时=a! a为n/2时: 从n/2一直乘到1/2(每次n-2),最后再乘 根号π
2.当e的指数为-x²时,先换元x²=t,再利用Γ函数
3.惯性思维
1.三角积分
0.总规则
1.对于三角积分,实在不会做,就用万能公式
1.令u=tan(x/2),dx=2/(1+u²)du, sinx=2u/(1+u²) , cosx=(1-u²)/(1+u²), tanx=2u/(1-u²)
2.有时在被积函数很简单,但很难算时,用起来很方便
1. 1/(2+cosx)
2.被积函数较简单时可同乘一个简单因子,被积函数复杂时可考虑向半角转化
1.sinx=(1/2)sin(x/2)cos(x/2)
2. 1-cosx=2sin²(x/2) 1+cosx=2cos²(x/2)
1.处理技巧
1. 1/1+sinx (1+cosx)
同乘1-sinx,(1-cosx)
1.1 1/(1+cosx)
1.也可以用1+cosx=2cos²(x/2),变为sec²(x/2)d(x/2) =tan(x/2)+c
tan(x/2)=cscx-cotx+c
2.当分母中不为1,为a时,也可以这样用,需要再除以cos²(x/2),此时利用万能公式更简单
1.2 1/1+cos²x (sin²x同样操作)
1.同除以cos²x,d(tanx)/(2+tan²x) d(tanx)/(1+2tan²x)
2.若分子还有sinx或cosx,直接放入d中,分母中sin²x和cos²x可以相互转化
2. x/cosxcos(π/4-x)
1.在[0,π/4]上积分,用区间再现公式,分子变为1
一般含有x时使用区间再现公式
2.先将后面展开(有系数),再同除以cos²x →sec²x/(1+tanx) →积分后ln(1+tanx)
3. sec³x
先将sec²x放进去,分部积分后将tan²x写成(sex²x-1),会得到原式
4.(1+sinx/1+cosx)e^x
1.没有e^x时: 分式=1+2sin(x/2)cos(x/2) / 2cos²(x/2) =(1/2)(sec²x/2) +tan(x/2)
2.有e^x时: 第一项用分部积分正好与第二项抵消
5. 1/(1+sinx+cosx)
sinx与1+cosx都化为半角形式,再除以cos²(x/2)即可
5.1 1/(根号2+sinx+cosx)
1. sinx+cosx =(1/根号2)cos(x-π/4),分母提出 根号2,变为1+cos(x-π/4),积分直接得tan(x/2 - π/8)
2. 转化为cos的形式,方便直接得到结果,若为sin形式不好求
5.较高次
1. xsinx/cos³x
先将sinx放入d中,再将cos³x放入d中
2. 1/sinx(cosx)^4
1.将分子写成sin²x+cos²x,拆成两项分别做,前一项将sinx放入d可直接得到结果
2.后一项1/sinxcos²x,重复上述操作
分母较高次且分子为1=sin²x+cos²x
3. sinxcosx/ (sinx)^4+(cosx)^4
1.分子为sin2x,d(cos2x)
2.分母为1-2sin²xcos²x =1-(1/2)sin²2x,再转化为cos²2x的形式
4. (sinx)^4/(1+cosx)
同乘(1-cosx),分母变为sin²x,就可以约掉
6.反三角函数
1. arcsinx·arccosx
直接分部积分,两个求导后分母相同,分子为两个相减*x,拆开分别算,将分母同分子的x一起放入d中,再用分部积分正好抵消
2. arctan(1+根号x)
1.令 根号x=t,直接分部积分,不用怕求导复杂,若令1+根号x=t换元更麻烦
3. arcsin²x
直接分部积分,先将分子放入d中凑成分母的形式,再将分母也放入d中,再用分部积分就可以抵消
7. 1/ a²sin²x+b²cos²x,a,b不全为0
1.a≠0,b≠0,同除cos²x
2.一定要讨论a=0或b=0的情况
8. 1/ sin2x+2sinx
化简sin2x,sinx(cosx+1),都化为半角sin(x/2)cos³(x/2),同除以cos²(x/2),分子为d(tanx/2),分母必须向tan(x/2)凑,tan(x/2)cos²(x/2),只能将cos²(x/2)翻到分子变为tan²(x/2)+1
9.(sint+cost)³(cost-sint)
先别急着乘出来,一定先看看能否放入d中
10.(1+cost)³costsint
先将sint放入d中,同样不要直接乘出来,将后面的cost变为(1+cost-1)再乘出来
2.积分技巧
1. sinx/cos²x
写成tanxsecx,对x积分=secx
3.题型
1.分子分母仅为sinx/cosx的线性组合,不含其它常数
1.令分子=a(分母)+b(分母)' 解出a,b,分为两部分求积分
2.sinaxcosbx(任意两者相乘)
用积化和差公式sin(ax+bx)±sin(ax-bx)(共四个公式,自己配凑,不用背)
3.分母较高次且分子为1=sin²x+cos²x
2.不定积分
1.含根号
1.根号下(a²-e^2x)
令e^x=asint
2.0 1/根号下x(x+1)
1.分母直接提出 根号x,放进去=2d(根号x),剩下的分母为其 根号下平方+1的形式
2.最后为2ln|x+分母|+c
2.1 1/根号下x(x-1)
1.最后为2ln|x+分母|+c
2.2 1/根号下x(1-x)
1.最后为2arcsin根号x +c
3. 1/ 根号(1+x)+根号(1-x)+2
三项也可以用分母有理化,同乘 根号(1+x)+根号(1-x)-2,再拆开分别算
4. 1/ x根号(1+x^4)
同乘x³,分子放入为d(x^4),分母也都为4次方,可直接令4次方换元,换元后再令根号换元
5. 根号下(1+x/1-x)
1.不要直接令整个根号=t,反解出x特别麻烦,积分也特别麻烦
2.分式同乘(1+x),化为(1+x)/根号(1-x²),拆开分别算,前面为arcsinx,后面将分子放入d(1-x²)
根号下分子分母都有x且次数相近
6. 1/x根号下x²-1
根号里提出x²,与外面的x组成x²,放入d中为-d(1/x),根号下为1-(1/x²),结果为-arcsin(1/x)
7. x³/根号下1+x²
将分子的一个x放入d中,剩下的写为x²+1-1
8. tanx/根号cosx
将tanx=sinx/cosx,sinx放入d中
9. x²/根号下1-x²
换元x=sint,比对分字拆分更简单
10. 根号下1-sinx
化为(sin(x/2)-cos(x/2))²,开出来时注意对不同区间的正负的讨论
11. 根号下1-cosx
化为2cos²(x/2)
2.高阶分式
1.(x^4-1)/x(x²+1)²
令x²=t,化完后,分式拆分
2. 1/(1+x^4)
分子拆成(x²+1)-(x²-1),拆成两项分别算,两项同时除以x²,再将分子放入d中,分母凑成分子的完全平方形式
3.配凑法(e^x)
1.(1+x)/x(2+xe^x)
同乘e^x,分子为d(xe^x),分母拆开为两项相减(系数为1/2)
2.xe^x/(x+1)²
将分子的x拆为(x+1-1),分解为两项(相似),第一项保持不动,第二项用分部积分后可与第一项抵消
3. 1/(1+e^x)
同乘e^-x,将分子放入d中,比分子变为1+e^x-e^x更好
4.含指数
1.xa^(x/a)
一定将指数函数放入d中,将x放入会更麻烦,做不出来
4.题型
1.根号下分子分母都有x,且次数相同/相近
不适宜将整个根号直接换元,对分式同乘因子进行变换,将一部分开出根号
3.定积分
0.总规则
1.遇到积分表达式特别复杂时,且积分区间近似对称区间[0,2]
考虑能否用对称性/奇偶性化简积分(先将区间变换到对称区间)
1.含根号
1. 1/根号下(x-a)(b-x)在[a,b]积分 =π(结论)
利用区间简化公式到[-π/2,π/2]上, x-(b+a)/2=sint·(b-a)/2
2. 根号下(x-a)(b-x)在[a,b]积分 =(b-a)²π/8(结论)
3.根号下1-sinx在[0,π]上积分
1.化为(sin(x/2)-cos(x/2))²,开出来时注意对不同区间的正负的讨论
2.(x^a)(e^-x)在(0,+∞)上积分
1.利用Γ函数: a为整数时=a! a为n/2时: 从n/2一直乘到1/2(每次n-2),最后再乘 根号π
2.当e的指数为-x²时,先换元x²=t,再利用Γ函数
3.区间再现(x+t=a+b)
1.在[0,π/2]上,sinx与cosx混在一起
1.
必须在[0,π/2]上
2. cosx/(sinx+cosx) = sinx/(cosx+sinx),相加=1
2.在[0,π]上,x和sinx/cosx的函数混在一起
0.本质: 区间再现公式: 令x+t=π,会出现原式
1.若为sinx,直接将x换成π/2
2.若为cosx,应为偶次方/绝对值时可用
3.若为d(cosx)/(1+cos²x),同样可以用,d里面不一定是x
3.在[0,π/2]上,1/(1+tanx)
1.其中tanx可以为任意次方,不影响结果
2.tanx变换后为cotx=1/tanx,通分后与原式相加=1
4.ln(sinx)
1.变换后为ln(cosx),相加后=ln(1/2)+ln(sin2x)
2.再将ln(sin2x)换元后变为ln(sinx),即出现原式(注意换元后上下限的变化)
4.换元时
1.令x=sect: 找t的范围用sect不好找,转化为用cost=1/sect在[0,π]找,若为sint在[-π/2,π/2]上找
4.综合题
1. tanx/根号cosx
将tanx=sinx/cosx,sinx放入d中
2. arctanx/x²(1+x²)
1.不能用x=tant换元,无法做
2.看到arctanx与1+x²,必定放在一起,将分母拆开相减,分子都为arctanx,前面分部积分,后面直接得结果
3. arcsine^x/e^x
直接令arcsine^x=t比令e^x=t更简单,换元要换的更彻底
4. x²arcsinx/根号下1-x²
含有x²时,直接将分母放入d中,会变得很麻烦,不如直接换元arcsinx=t
对于arcsinx与其他混一起时直接令arcsinx换元更简单
5. e^2x·arctan根号下e^x-1
1.不要令根号下e^x-1=t换元,特别麻烦,主动换个思路
2.含e^x形式时,一般都放到d中,用分部积分较简单
配凑的逆向思维
1.三角函数
1. sin2x =d(sin²x)
2. 1/(1+cosx) =d(tan(x/2))
1/ 2cos²(x/2) =sec²(x/2)d(x/2)
3. 1/sinxcosx =d(lntanx)
2.e^x
1. (1+x)e^x =d(xe^x)
3.lnx
1. 1/xlnx =d(lnlnx)
4.分式
1. 1/t(1+t²) =1/t - t/(1+t²)
对于只相差一次的两个分式,都可拆成类似形式,只要确定系数即可
2. 1+1/x² =d(x- 1/x)
1-1/x² =d(x+ 1/x)
3. 1/x² =d(-1/x)
1/x³ =-1/2d(1/x²)
5.根号
1. 1/根号x =d(2根号x)
4.大题题型
1.定积分
1.等式中含未知函数的定积分
1.定积分本质是个数,直接令定积分=A
2.替换后,不断对等式进行变换,向定积分的形式转化,最后得到关于A的等式,可解出A
2.证明积分不等式
1.因为是不等式,没必要精确算出积分的值,看到sinx/cosx一般都直接放缩掉
3.变上限积分函数的定积分计算
1.直接用分部积分法,将f(x)之外的放入d中
2.先将第一项算出来参与到计算中,后面必然会抵消掉
4.抽象函数积分(表达式未知)
1.先看奇偶性,再用分部积分法: 一般将f'(x)/f''(x)放入d中
两者的分部积分的对象正好相反
5.含绝对值(分段函数)的变上限积分
0.一定对x的范围进行讨论,确定积分区间有几部分,x范围之前的一定全部包含
1. (1-|t|)在[-1,x]上积分(x≥-1)
1.积分变量为t,且t的范围确定为[-1,x],只需讨论x的范围(范围不同,对绝对值的影响不同)
2.x≤0时: |t|=-t,不用分区间讨论,直接去掉
3.x>0时: 在[-1,0]上去掉绝对值为负,在[0,x]去掉绝对值为正
2.|t²-x²|在[0,1]上积分(x>0)
1.先分0<x≤1,这里必须用1(具体的数当分界点),不能用t当分界点
2.在分x>1,求出两段后用定义法确定在1处的导数值是否相等,来确定导数是否连续
6.f(x)为变上限积分函数,求f(x)+f(1/x)
求f(1/x)时最重要的是统一上下限,换元令t=1/u,这样两个积分就可以相加
7.判断哪个变限积分为偶函数
直接利用定义判断,设F(x),求出F(-x),换元令u=-t即可
也可以利用f(x)与F(x)奇偶性的关系(相反),更简单
8.求变限积分函数的值域
1.若为周期函数,只需求一个周期上面的值域即可
2.与普通函数一样,求导,求驻点,与端点值的大小进行比较
9.直接求某图形的体积
1.用截面法,确定一个截面的面积,再对截面进行积分
2.立体图形不方面看时,将截面转化为平面图形更直观
5.一些结论
1.(1/n)sin(nx)在[0,2π]上的弧长与n无关,是个定值,但求不出
第四章 多元函数微分学
1.惯性思维
1.fx'(x,y)+f(x,y)=0,求f(x,y)
移项写成相除=-1,两边对x积分,即为ln[f(x,y)]=-x+c(y)
2.必用技巧
1.求偏导数
0.总规则: 先代后求
求x的偏导时,一定先将y的值代入,其他与x无关的值也一样代入,简化计算
1.混合偏导数连续时
可以交换求导次序,简化混合偏导的计算
2.隐函数求导
1.一定用公式法(所有变量地位平等),无论一个方程还是多个方程
2.求某个式子的结果时
求偏导得到方程后,不需要将偏导数解出来,直接在方程上进行变换向题目凑,其他项自然会抵消
3.解拉格朗日方程组
1.没时间解方程组,随便写几个解(认真,工整),能得2分
2.方程中含有根号,不方便求导,把根号去掉,求导得到的点一样
三次根号也可直接去掉,|u|用u²
第五章 二重积分
1.必用技巧
0.对于二重积分计算
首先考虑有无对称性(普通对称性,轮换对称性),尤其轮换对称性,使用后可简化计算
1.D关于x=a对称(任意对称轴),被积函数为x+y的线性组合
1.x-对称轴 为奇函数 在D上的二重积分=0
2.x+y变化为x-a+a+y,前部分为0,只要算后部分
3.关于y=a也是同样的处理
2.利用对称性
1.首先判断积分区域关于哪个轴对称,再判断被积函数关于另外一个轴为奇函数=0,偶函数=2倍
2.被积函数为x²时,y相等于1,此时关于y轴为偶函数
3.积分区域含有y=sinx时
1.必然先对y积分,不要怕积分麻烦,若先对x积分,需要写成反函数的形式,更麻烦
2.学会对区域为sinx划分对称区域的方法
4.被积函数为抽象函数
1.考虑轮换对称性,相加后可以消去抽象函数
2.不会做,根据抽象函数满足的条件,取一个最简单满足条件的函数直接代入
5.积分区域不方便表示
立刻看看能否用其他易表示的区间表示此区间(分块法)
6.看到含有x²+y²(无论被积函数还是积分区域)
必用极坐标表示,不要去尝试直角坐标法,即使区间再方便表示也不要用,必然复杂,浪费时间
7.积分区域为圆,但圆心不在原点
直接用极坐标不好表示,利用x-a=rcosθ,y-b=rsinθ,这样就从圆心开始确定范围,相等于将圆转化为标准圆,但积分区域没变(若直接换元,区域会变化)
8.直极互化时
1.首先判断区域的对称性,对于其中的奇函数不会再计算,直接=0
2.当区域面积方便计算时,其中的常数也不用再直极互化,直接就是常数倍面积值
9.区域用参数方程表示(不好化简)
1.假设y=y(x),正常用直角坐标计算,先对y积分,代入y(x),对x积分时再全部转化为对t积分
2.惯性思维
1.看到积分区域D为正方形/圆
考虑是否能用轮换对称性
2.看到变上限积分函数和f(x)dx在一起
令变上限积分函数=F(x),dF(x)=f(x)dx
3.f(x)为抽象函数,看到f(x-y)
1.令x-y=t,累次积分中对x积分时,换元时y相当于常量,是将x换成t,只能换一个,不能一起换
2.换元后由x与y的函数,转化为t与y的函数,整个D都会变化
4.累次积分时,对f(x)无法积
立刻换序,先对f(y)积分
5.对偏导数的累次积分
1.fxy''(x,y)dy=dfx'(x,y) fxy''(x,y)dx=dfy'(x,y)
一阶偏导数也类似
2.放入后,利用分部积分法展开,写范围时一定要写清楚谁的范围,根据已知可消去一部分=0
3.f(x,y)先代入y=1,再对x求偏导 与先对x求偏导,再代入y=1,最后得到的fx'(x,1)相同
3.知识点
1.定积分与积分变量记号无关
可以将累次积分中的所有x,y对调
第六章 微分方程
1.惯性思维
1.看到pdx-xdp
d(x/p)=(pdx-xdp)/p²
2.看到y=te^t是特解
y=e^t也是特解
3.看到y=sin2t是特解
y=cos2t也是特解
易错点
第一章 极限
1.使用等价无穷小时
x必须→0,其他趋向时,就算是0/0型,也不能用等价无穷小,只能用洛必达法则
2.无穷小比阶时
1.等式一边含有O(x³),里面不包含x³,对另一边用泰勒公式展开时,必须展开到x³,且其系数=0
第二章 一元函数微分学
1.已知一点处导数的正负
不能确定函数在此点邻域内的单调性,只能用极限的局部保号性
第三章 一元函数积分学
1.分段函数积分
分开分别积分后,最后确定C1与C2之间的关系,用一个表示另一个
2.确定上下限时
一定不要自己随意交换上下限顺序(尤其是上限<下限时)
3. 1/ a²sin²x+b²cos²x,a,b不全为0
1.a≠0,b≠0,同除cos²x
2.一定要讨论a=0或b=0的情况
4.积分结果为lnx时
一定注意x的取值,该加绝对值时一定要加
5.运用公式时
交叉相乘,一定注意要正负相间,最后+c
6.分式拆分时
1.一定先将分母因式分解,直到不能再化简为止(t²-1)=(t+1)(t-1)
2.拆开后全是相加的形式,不要用减号(除非很容易看出来的情况)
3.(x-a)²,分子为常数,主要看括号内x的次数,不是括号外的次数,一定拆成两项(x-a)和(x-a)²,分子都为常数
7.根号下1-sinx在[0,π]上积分
1.化为(sin(x/2)-cos(x/2))²,开出来时注意对不同区间的正负的讨论
8.定积分dcosx在[1,2]上积分
结果为cos2-cos1,不是2-1
9.反常积分
1.做大题,有瑕点时
在瑕点处一定写成极限的形式: ε→0﹢或+∞
10.变上限积分
1.一定对x的范围进行讨论,确定积分区间有几部分,x范围之前的一定全部包含
11.求面积
1.有多个零点时,一定要确定图像在x轴的上下方,下方的面积为负数,要取相反数
2.极坐标系下的面积=1/2r²(θ)dθ
12.求体积
1.题目中有多个图形时,一定要分清到底求的哪个图形的体积
13.含指数
1.xa^(x/a)
一定将指数函数放入d中,将x放入会更麻烦,做不出来
14.求表面积
1. S=2π|y|ds
2.一般表面积都为几部分之和,不止一部分
第四章 多元函数微分学
1.已知偏导数(偏增量)的表达式,求z=f(x,y)
1.注意加的不是c,而是关于x或y的函数
2.链式法则
无论z对哪个变量求导,无论z已经求了几次导,求导后的新函数仍然具有与原函数完全相同的复合结构(书写规范)
3.有二阶混合偏导时
连续时,一定将混合偏导合并
4.求dz时
一定写成dx+dy的形式,其系数为对x,y的偏导数
5.给出变换,化已知偏微分方程为常微分方程,求f(u)
1.根据等式化简后,最后必然只能剩下u,必须将所有x,y转化为u,否则无法求解
6.给出变换,化已知偏微分方程为指定偏微分方程及其反问题
1.等式在线性变换ξ=x+ay,η=x+by化简
1.将ξ,η看作是中间变量,x,y看作是最终变量化简
2.z对ξ的偏导,与z本身有有相同的对应法则
7.拉格朗日乘数法
1.对于约束条件z=x²+y²
一定要转化为x²+y²-z=0的形式
2.对于曲线上的点到原点的距离
1.一定分清目标函数和约束条件(曲线为约束条件)
2.用距离的平方计算,没有根号,方便求导
3.一般在使用拉格朗日乘数法/解方程时
会默认一些变量>0,最后一定要讨论变量=0的情况下的极最值
第五章 二重积分
1.累次积分换序时
1.一定保证上限>下限,及时调整
2.一定看清区间的选取界限(从谁到谁),确定正确的积分区间
2.直极互化时
一定要多加一个r
第六章 微分方程
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