(六）二次型

考研线代数学--二次型，二次型的矩阵形式：xT A x (A是对称矩阵）；标准型：只有平方项，平方和前有系数；规范型：平方项的系数只有0，-1，1... ...

(六）二次型

• 二次型
  • 含义:n个变量的二次齐次多项式
  • n元实二次型：系数全为实数
  • 二次型的矩阵形式：xT A x (A是对称矩阵）
  • 标准型：只有平方项，平方和前有系数
  • 规范型：平方项的系数只有0，-1，1
  • 正惯性指数p, 负惯性系数q, 0的个数是n-q-p
  • 二次型的秩：矩阵A的r
• 正定二次型
  • 含义；二次型为正数
  • 判定；
    • p=n
    • |A|>0
    • 特征值>0
    • 顺序主子式>0
    • 主角元素>0
    • A=DTD,D是可逆矩阵
• 合同矩阵
  • 含义
    • AB是n阶矩阵，C是可逆矩阵，CTAC=B，A合同于B.
  • 性质：
    • 反身性
    • 对称性
    • 传递性
  • 坐标变换
    • x=(x1,x2,x3)T到y=(y1,y2,y3)T
    • 用矩阵表示，，x=Cy,C是正交矩阵，特征向量，正交化后，单位化后
• 6.3惯性定理：二次型经过坐标变换后的p和q不变
• 6.2可以通过配方法得到标准型
• 6.1对于任何一个n元二次型f=xTAx,一定存在x=Qy.Q是正交矩阵（特征向量正交后，化二次型为标准型）