导图社区 一元函数微分学
一元函数微分学,导数应用题型有: 题型一函数的单调性、极值与最值 题型二曲线的凹凸性、拐点、渐近线及曲率 题型三方程的根的存在性及个数 题型四证明函数不等式 题型五微分中值定理的有关证明题
在资料分析中,平均数问题频繁出现,是考试的重点考察内容。该模板全面且系统地梳理了平均数问题的各个考点,为考生构建起清晰的知识体系。现期平均数是基础考点,模板中不仅给出了其公式定义“平均数 = 总数/个数”,还详细列举了常见的考察形式,如直接求平均数、求总数、求个数,同时提供了速算技巧——截位直除,帮助考生快速准确地得出答案。基期平均数的讲解同样细致,明确公式定义后,指出其速算技巧类似于基期比重的计算,让考生能够触类旁通,提高解题效率。两期平均数比较是考生容易出错的地方,模板通过清晰的升降判断规则“a > b 上升,a < b 下降”,帮助考生准确判断平均数的变化趋势,避免失误。平均数增长率和平均数增长量这两个考点也有深入剖析。借助万兴脑图制作的这一思维导图模板,考生可以在备考过程中快速梳理知识点,查漏补缺,加深对平均数问题考点的理解和记忆。在考试时,能够迅速调用相关知识,运用速算技巧,提高答题速度和准确率。它是考生提升资料分析成绩、实现考试突破的得力助手,助力考生在竞争激烈的考试中脱颖而出。
大学计划和规划,大学四年,是人生中一个充满无限可能与挑战的宝贵阶段。为即将或正在经历这一阶段的学子们提供一份详尽而实用的指南,帮助大家从入学之初就树立明确的目标,制定合理的计划,逐步构建起扎实的专业知识体系。
经济学基础(2025中级经济师),涵盖广泛的经济学基础知识,内容结构清晰,分为多个部分或章节,针对考试的重点和难点,进行有针对性的学习和练习,提高解题能力和应试技巧。
社区模板帮助中心,点此进入>>
英语词性
法理
刑法总则
【华政插班生】文学常识-先秦
【华政插班生】文学常识-秦汉
文学常识:魏晋南北朝
【华政插班生】文学常识-隋唐五代
【华政插班生】文学常识-两宋
民法分论
日语高考動詞の活用
一元函数微分学
导数与微分
题型一 导数与微分的概念
1. 定义求极限
2. 定义求导数
不知是否可导就用定义式
3. 定义判可导
先判断可导再判断导数连续
洛必达中,注意题设n阶是否可导(导到n-1,即导数连续的那个阶),再高阶就需要用导数定义。
一些结论
fx可导与|fx|可导不是充分必要
关于|f(x)|(结合图像)
若f(x0)≠0,则|fx|在x0处可导《==》fx在x0处可导
若f(x0)=0,|fx|在x0可导《==》f'(x0)=0
遇到f(x)=g(x)|x-a|,g(x)在a处连续,则fx在a处可导的充要条件为g(a)=0。
原理(推广使用),在这个fx的导数定义式中,根据导数定义需要x从两侧趋向于a,然而存在绝对值,使得最终结果不同(一正g(a)一负g(a)),若要使得互为相反数的两极限相同,则取两者都为0。也即令g(a)=0。推广一下到函数中f(x)=g(x)|p(x)|便可得到,若绝对值中函数p(x)=0的实根在g(x)=0中得到体现,则此点可导,否则不可导。在绝对值中px=0的点都不可导,但由于乘上了此时的gx=0,即让左右导数定义极限相等,变成了可导。
常用k|x|在0处不可导,x|x|在0处可导
可用此方法判断此类型函数的不可导点
题型二 导数的几何意义
切线、法线、参数方程
题型三 导数与微分的计算
1 复合函数求导
都存在才存在,有不存在不一定整体不存在
2 隐函数求导法
利用原方程化简
尽量将代入x后为零的因子作为一个整体求导
3 参数方程求导
极坐标→参数方程
4 反函数求导
导数的倒数
5 对数求导
对于连乘连除乘方开方
导数应用
题型一 函数的单调性、极值与最值
极值点 一必要 三充分
在连续函数中,若直接代入x无定义,可尝试使用两边求极限
遇见极限大于小于零,想局部保号性
题型二 曲线的凹凸性、拐点、渐近线及曲率
拐点一大必要 三充分
不是非要二阶导数等于零的点才是拐点,根据定义,只要拐点左右凹凸性改变即可,即使它不可导
渐近线中,在同一趋向中,有水平就无斜
构造原函数(辅助函数)
####
题型三 方程的根的存在性及个数
1 存在性
零点定理
罗尔定理
2 根个数
单调性
找根个数也可以用于证存在
求导时候将参数分离出来,求导后会消去,方便讨论。
罗尔定理的推论 罗尔原话
$在区间I上若f^{(n)}≠0,则f(x)=0最多有n个实根$
常用来辅佐证明,如手算至少n个根,罗尔推最多n个根,则为n个根
判断驻点也可用罗尔
题型四 证明函数不等式
单调性,最值,拉中,泰勒,凹凸性,基本不等式
题型五 微分中值定理的有关证明题
构造函数
1.分析还原
2.微分方程
3.常用基本公式(本质也是分析还原法)
4 根据题所给的启发构造函数
如 二阶导和函数的合
区间内连续,已知两端点值,中间有值大于或小于两端点值,则会存在最大值,且此最大值为极大值。
使用构造函数后用罗尔时,
若有一点为a,另一点应也为a,
注意观察 如何得出另一点值=a。 (a常为0)
定积分也可以用来求值,尤其是在一个一次项乘一个定积分常数时候,可以直接得出0,再由积分中值定理得出区间内有点满足此条件。
不要求两点不相等
两次中值定理(拉中)
柯西与拉中
要求两点不相等
确定分段点
确定分段点是此类题型的难重点,一般题中第一问会提供分段点的证明,若没有给出,则在第二问中进行中值定理的使用,用得到的结果反推分段点。
在反推分段点时,可使用变量代换法简化运算,还有可以从题设中猜测特殊点位
分别进行中值定理
若使用双中值,一般会使用双拉中,此时候要选定一个分段点,以此分段点为中介联系两边的中值。
泰勒
分析题中条件,对于已知的形式越多的x值进行泰勒展开,若若干x有相同数量的已知参数,则找导数值已知的那个x。如已知f(1)=0,f'(2)=1,则优先对2展开。
常用定理
罗尔
费马
一般罗尔优先,其次费马,在找不到两点相同的导数=0的情况下,考虑费马,而费马又常常需要一个连续区间内最值定是极值,这需要根据题意去进行极值点的寻找,极值点的导数就是0,这个点就是要找的点。
拉中
拉中也是关于斜率的
任何题中要求导数和函数关系的都可以考虑拉格朗日,尤其是又给出一些点的值
如,题中给fx的范围,则可以用拉中计算出f'(x)的范围。