24重要！24考研数学！！ 函数、极限、连续知识点总结与考点

24重要！24考研数学！！必备重点知识点，占分很高，结合张宇、660、周洋鑫三本教材整理，欢迎大家学习。

1. 函数、极限、连续

• 1. 极限的定义和性质
  • 1. 求函数定义域
  • 2. 函数性质（奇偶性、周期性）
    • 原函数、导函数，原来函数的性质关系
    • 复合函数的性质关系
  • 3. 函数有界性判定
    • 极限和有界的关系
      • 极限存在——函数有界
      • 极限政党/不唯一——函数有界性无法判断
      • 极限无穷——函数无界
      • 极限的局部有界性
    • 极限判定——扯面定理
    • 有界函数的运算
    • 求初等函数的有界区间
      • step1：找初等函数无定义点
      • step2：扯面定理
  • 4. 分段函数的复合函数求解
    • step1：替换
    • step2：讨论
• 2. 无穷小及其比阶
  • 1. 等价无穷小的判定（充要条件）
  • 2. 等价无穷小的常见公式&泰勒公式
  • 3. 等价无穷小的替换原则
    • 乘除法
      • 直接替换
      • 非零因子淡化
    • 加减法
      • 化简到最简型式（提矛、泰勒）
      • 和取低阶原则
    • 次方
      • 大于0的次方幂可以等价
  • 4. 确定无穷小量的等价无穷小
    • 方1：等价无穷小公式替换
    • 方2. 利用定义法求极限
      • 无穷小比阶的定义
    • 方3. 用初等函数化简
  • 5. 导数定阶法
    • 变限函数/不定积分 求阶数
    • 方1：常规方法——求导
      • 变限函数求导的非标准型处理
    • 方2：秒杀法
  • 6. 反双曲正弦函数的性质
• 3. 函数极限计算
  • 1. 七种未定式的计算
  • 2. 洛必达的使用条件
  • 3. 极限的四则运算法则
  • 4. 两个极限四则运算后，整体极限存在性判定
  • 5. 抽象函数的极限计算
    • 方1：洛必达（洛到抽象函数连续的那一阶）
      • 可导和连续的关系
        • 表述：可导
        • 表述：导数存在
    • 方2：导数定义法
  • 6. 拉格朗日中值定理求极限
    • 定时思维：相同对应法则两函数做差
  • 7. 左右开工法求极限
    • 左右极限不同——极限不存在/极限存在必唯一
  • 8、已知极限求待定参数
    • 原则：按照未定式求极限做，如果不是未定式那么一定是未定式
    • 技巧：无穷减无穷，前后抓大头
• 4. 函数极限的定义和性质
  • 1. 函数极限的定义
    • 易错点
      • 1. 一点极限与该点函数值没有任何关系
      • 2. 若极限存在，则函数在极限的去鑫领域内有定义
    • 考点
      • 定义（极限存在/不存在）
      • 局部保号性
        • 考点标识：1. 已知极限的正负性，欲求被极限函数的政府性 2. 比较量函数在以一趋向下的大小
        • 脱帽保号性
        • 带帽保号性
        • 等式脱帽法求极限
• 5. 函数极限的定义和性质
  • 1. 数列极限的定义（极限存在/不存在）（24预测考点）
  • 2. 收敛数列和子数列的关系
    • 所有子数列都收敛于同一A——数列收敛于A（互推）
  • 3. 数列的局部保号性
  • 4. 数列的唯一性质和有界性
  • 5. 数列极限计算
    • 归结原则——换成函数可用等价；长得像七种未定式
    • 定积分定义——n项和（24预测考点）
      • 左端点、右端点、中点
      • n、2n、3n……
      • 技巧
        • 1. 补项凑n项和（一般这一项极限为0）
        • 2. 补常数系数凑左右端点/重点
        • 3. 用ln和e把n项积换n项和
    • 夹逼——常见放缩；分母相似；分子等差
      • 用夹逼计算
      • 用夹逼判断极限存在（易错）
    • 夹逼和定积分定义结合（24预测考点）
• 5. 连续与间断的判定
  • 1. 函数连续的判断方法
    • 1. 用定义
    • 2. 初等函数在定义区间内连续
    • 3. 图像在一定区间不断
    • 4. 连续的四则运算
  • 2. 连续的保号性
  • 3. 间断点
    • 步骤
      • step1：找无定义点
      • step2：求该点极限，判断间断点类型
    • 考法
      • 1. 用极限包装的函数
        • 一般要对x的取值范围做分类讨论，特别是x的n次方那种（强化讲义例题）
• 数列极限
  • 数列收敛判断
  • 数列极限计算规则
• 5. 函数连续
  • 间断点的分类
    • 第一类
    • 第二类
  • 函数连续的判断
    • 函数无定义点
    • 函数间断点
    • 【考】
      • 一般型式的函数间断点
      • 带有极限的函数间断点
        • 先算出极限，分段函数，特殊点，判断
• 4. 无穷小比阶
  • 无穷小定义
  • 无穷小比阶
    • 高阶
    • 低阶
    • 同阶
    • 等价
  • 无穷运算
  • 常见的等价无穷小
  • 无穷大无穷小判断
• 3. 函数极限
  • 函数极限存在
    • 若存在，必唯一（左右极限相等）
  • 函数极限计算
    • 夹逼准则
    • 洛必达
    • 泰勒公式
    • 归结原则
    • 七种未定式计算
    • 【题型】
      • 七种未定式
      • 知一极限算零一极限
        • 凑
        • 等式脱帽法
      • 知极限求参数
• 2. 函数性质
  • 有界
  • 单调
  • 周期
  • 奇偶
• 1. 函数概念和表示